适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数课时规范练7函数的单调性与最值

课时规范练7函数的单调性与最值基础巩固组1.(2023北京海淀三模)已知函数f(x)=12x-2x,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数2.函数f(x)=|x-1|+3x的单调递增区间是()A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.[0,+∞) D.(-∞,+∞)3.已知函数f(x)=-x2+2x-1,x≤1,|x-1|,xA.(-4,1) B.(-∞,-4)∪(1,+∞)C.(-1,4) D.(-∞,-1)∪(4,+∞)4.(2023河南开封一模)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则满足f(x)<f(x-2)的x的取值范围是()A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)5.(2023广西柳州模拟)已知f(x-1)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,且f(x)在[-1,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,则不等式f(2x-3)<0的解集为()A.(1,2)B.(-∞,1)C.(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)6.若函数f(x)=ax2-x在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.

7.已知函数f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x≥0满足对任意8.已知函数f(x)=a-3x1+(1)求实数a的值;(2)用定义证明f(x)在R上为减函数;(3)若对于任意t∈[2,5],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.综合提升组9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-y)=f(x)-f(y),且当x<0时,f(x)>0,则关于x的不等式f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)(其中0<m<2)的解集为()A.xm<x<2m B.xx<m或x>2mC.x2m<x<m D.xx>m或x<2m10.(多选)下列函数在区间(2,4)内单调递减的是()A.y=13x B.y=log2(x2+3x)C.y=1xD.y=cosx11.(2023江西九江二模)定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集为()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(1,+∞)12.(2023辽宁葫芦岛二模)已知函数f(x)=x2-3x,x≤3,13x-1,13.能使“函数f(x)=x|x-1|在区间I上不是单调函数,且在区间I上的函数值的集合为[0,2]”是真命题的一个区间I为.

创新应用组14.(多选)已知函数f(x)的定义域为D,若存在区间[m,n]⊆D使得f(x)满足:(1)f(x)在区间[m,n]上是单调函数;(2)f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m,2n],则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”.下列函数存在“倍值区间”的是()A.f(x)=x2 B.f(x)=1C.f(x)=x+1xD.f(x)=315.已知正实数x,y,且满足xy=3,则x3+27y3A.1 B.32 C.3 D.

课时规范练7函数的单调性与最值1.D解析∵函数f(x)的定义域为R,f(-x)=12-x-2-x=2x-12x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.又函数y=12x和函数y=-2x都为R上的减函数,则函数f(x)=12x-2x在R上为减函数,故选D.2.D解析f(x)=|x-1|+3x=4x-1,x≥1,2x+1,x<1,显然当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)也单调递增,且4×1-1=3.D解析f(x)=-x2+2x-1,x≤1,|x-1|,x>1,即f(x)=-x2+2x-1,x≤1,x-1,4.D解析∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称.又f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,由f(x)<f(x-2),得|x-2|<|x|,解得x>1.故选D.5.D解析∵f(x-1)是定义在R上的奇函数,∴函数f(x)关于点(-1,0)中心对称,则f(-1)=0,又f(1)=0,∴f(-3)=0,∵f(x)在[-1,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(-∞,-2]上单调递减,函数f(x)的图象如图所示.由不等式f(2x-3)<0,得-3<2x-3<-1或2x-3>1,解得x<1或x>2.∴不等式f(2x-3)<0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).故选D.6.12,+∞解析若a=0,则f(x)=-x,在区间[1,+∞)上单调递减,不符合题意;若a≠0,则必有a>0,12综上,实数a的取值范围是12,+∞.7.0,14解析因为函数f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2,都有f(x18.(1)解由函数f(x)=a-3x1+3x是R上的奇函数知f(0)=0,即a(2)证明由(1)知f(x)=1-3x1+3x.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(因为x1<x2,所以3x所以3x2-又因为1+3x1>0且1+3所以2(3x所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在R上为减函数.(3)解不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0可化为f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以-f(2t2-k)=f(k-2t2),所以不等式f(t2-2t)<-f(2t2-k)可化为f(t2-2t)<f(k-2t2).由(2)知f(x)在R上为减函数,故t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t.即对于任意t∈[2,5],不等式k<3t2-2t恒成立.设g(t)=3t2-2t,t∈[2,5],则8≤g(t)≤65,因此k<g(t)min=8,所以实数k的取值范围是(-∞,8).9.A解析任取x1<x2,由已知得f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以函数f(x)在R上单调递减.由f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)可得f(mx2)-f(2x)>f(m2x)-f(2m),即f(mx2-2x)>f(m2x-2m),所以mx2-2x<m2x-2m,即mx2-(m2+2)x+2m<0,即(mx-2)(x-m)<0.又因为0<m<2,所以2m>m,此时原不等式解集为xm<x<2m.10.AC解析对于A,y=13x在区间(2,4)内单调递减,故A正确;对于B,y=log2t为定义域上的增函数,t=x2+3x在区间(2,4)内单调递增,所以y=log2(x2+3x)在区间(2,4)内单调递增,故B错误;对于C,y=1x-2在区间(2,4)内单调递减,故C正确;对于D,y=cosx在区间(2,π)内单调递减,在区间(π,4)内单调递增,故D11.A解析因为f(x)为奇函数,且f(-1)=0,则f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,且当x∈(-∞,-1)∪(0,1)时,f(x)<0;当x∈(-1,0)∪(1,+∞)时,f(x)>0.所以xf(x)<0⇔x>0,f(x)<0或x<12.(-∞,0)解析当x≤3时,f(x)=x2-3x在-∞,32上单调递减,在32,3上单调递增,当x>3时,f(x)=13x-1是增函数,且13×3-1=0=f(3),∴f(x)在-∞,32上单调递减,在32,+∞上单调递增.∵1-x<2-x,∴当1-x≥32,即x≤-12时,恒有f(1-x)<f(2-x)成立,则x≤-12;当x>-12时,52<2-x≤3,不等式化为(1-x)2-3(1-x)<(2-x)2-3(2-x),解得x<0,则-12<x<0,∴f(1-x)<f(2-x)的解集为(13.12,2(答案不唯一)解析f(x)=x|x-1|=x(x-1),x≥1,x(1-x),x<1,其图象如图所示,易得f12=114.ABD解析函数存在“倍值区间”,则(1)f(x)在区间[m,n]上是单调函数,(2)f(m)=2m,f(n)=2n或f(m)=2n,f(n)=2m.对于A,f(x)=x2,若存在“倍值区间”[m,n],则f(m)=2m,f(n)=2n,n>m,即m2=2m,n2=2n,n>m,解得m=0,n=2,∴f(x)=x2存在“倍值区间”[0,2];对于B,f(x)=1x,若存在“倍值区间”[m,n],则当x>0时,1m=2n,1n=2m,得mn=12,例如14,2为函数f(x)=1x的“倍值区间”;对于C