导数及微积分教案

姓名李鸿铭学生姓名吴天嘉填写时间2012.11.18学科数学年级高三教材版本人教A版阶段观察期□：第（4）周维护期□本人课时统计第（7、8）课时共（）课时课题名称导数及其应用（一轮复习）课时计划2上课时间2012.11.18教学目标同步教学知识内容导数及其应用。个性化学习问题解决能熟练掌握函数的导数的求法，并利用导数解决实际问题。教学重点函数的导数的求法、单调区间、最值、函数在某一点的切线的方程。教学难点含有参数的函数的单调区间的求法（涉及分类讨论）教学过程教师活动一、命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计20XX年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）13年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。要点精讲1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。即f（x）==。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。3．常见函数的导出公式．（１）（C为常数）（２）（３）（４）（5）（6）4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|=y＇|·u＇|5．导数的应用（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6．定积分（1）概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。（2）定积分的性质①（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。典例解析题型1：导数的基本运算例1．（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数。解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y’==；（5）y＝－x＋５－y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例2．写出由下列函数复合而成的函数：（1）y=cosu,u=1+（2）y=lnu,u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。点评：通过对y=（3x-2展开求导及按复合关系求导，直观的得到=..给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型2：导数的几何意义例3．（1）（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．（2）（06全国II）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）（A）（B）（C）（D）解析：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A；（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确，选D。点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例4．（1）（06湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2req\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,1)式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于eq\o\ac(○,1)的式子：eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,2)式可以用语言叙述为：。（2）（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。解析：（1）V球＝，又故eq\o\ac(○,2)式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；（2）曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是。点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型3：借助导数处理单调性、极值和最值例5．（1）（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）（2）（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个（3）（06全国卷I）已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。解析：（1）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C；（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。（3）：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=eq\f(ax2+2－a,(1－x)2)e－ax。(ⅰ)当a=2时,f'(x)=eq\f(2x2,(1－x)2)e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞).为增函数；(ⅱ)当0<a<2时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数.；(ⅲ)当a>2时,0<eq\f(a－2,a)<1,令f'(x)=0,解得x1=－eq\r(\f(a－2,a)),x2=eq\r(\f(a－2,a))；当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:x(－∞,－eq\r(\f(a－2,a)))(－eq\r(\f(a－2,a)),eq\r(\f(a－2,a)))(eq\r(\f(a－2,a)),1)(1,+∞)f'(x)＋－＋＋f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－eq\r(\f(a－2,a))),(eq\r(\f(a－2,a)),1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－eq\r(\f(a－2,a)),eq\r(\f(a－2,a)))为减函数。(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1；(ⅱ)当a>2时,取x0=eq\f(1,2)eq\r(\f(a－2,a))∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)<f(0)=1；(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有eq\f(1+x,1－x)>1且e－ax≥1，得：f(x)=eq\f(1+x,1－x)e－ax≥eq\f(1+x,1－x)>1.综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例6．（1）（06浙江卷）在区间上的最大值是（）(A)－2(B)0(C)2(D)4（2）（06山东卷）设函数f(x)=（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。解析：（1），令可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C；（2）由已知得，令，解得。（Ⅰ）当时，，在上单调递增；当时，，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型4：导数综合题例7．（06广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(=1\*ROMANI)求点的坐标；(=2\*ROMANII)求动点的轨迹方程.解析：(Ⅰ)令解得；当时,，当时,，当时，。所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。所以,点A、B的坐标为。（Ⅱ）设，，，，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型5：导数实际应用题例8．（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：。帐篷的体积为（单位：m3）：求导数，得；令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<x<4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。题型6：定积分例13．计算下列定积分的值；（2）；（3）；（4）；（5）解析：（1）（2）因为，所以；（3）（4）（5）积分函数可以看成是半圆，因此利用定积分的几何意义，求半圆的面积就是此积分的值。变式引申：求的值。例14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．解析：（1）物体的速度。媒质阻力，其中k为比例常数，k>0。当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为：（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．于是代入（1）式得：，；令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五．思维总结1．本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2．我们应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。课后作业函数与导数（高考真题）选择题：1.（全国一1）函数的定义域为（）A． B．C． D．2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）sstOA．stOstOstOB．C．D．3.（全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A． B． C． D．4.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2 B． C． D．5.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．6.（全国二3）函数的图像关于（）A．轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称8.（全国二4）若，则（）A．<< B．<< C．<< D．<<9.（北京卷2）若，，，则（）A． B． C． D．10.（北京卷3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11.（四川卷10）设，其中，则是偶函数的充要条件是()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）12.（四川卷11）设定义在上的函数满足，若，则()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）13.（天津卷3）函数（）的反函数是（）（A）（）（B）（）（C）（）（D）（）14.（天津卷10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）（A）（B）（C）（D）15.（安徽卷7）是方程至少有一个负数根的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（）A． B． C． D．17.（安徽卷11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A． B．C． D．18.（山东卷3）函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是（）19.（山东卷4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（）(A)3(B)2(C)1(D)-120.（江西卷3）若函数的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．21.（江西卷6）函数在区间内的图象是（）22.（江西卷12）已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．23.（湖北卷4）函数的定义域为（）A.B.C.D.24.（湖北卷7）若上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.25.（湖南卷10）设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是()A. B.C. D. 26.（陕西卷7）已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）A． B．1 C．4 D．1027.（陕西卷11）定义在上的函数满足（），，则等于（）A．2 B．3 C．6 D．928.（重庆卷4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为（）(A) (B) (C) (D)29.（重庆卷6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（）(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数 30.（福建卷4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为（）A.3 B.0 C.-1 D.-231.（福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）32.（广东卷7）设，若函数，有大于零的极值点，则（）A． B． C． D．33.（辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．34.（辽宁卷12）设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（）A． B． C． D．填空题：1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝2.（上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)＞0的x的取值范围是3.（上海卷11）方程x2+eq\r(2)x－1＝0的解可视为函数y＝x+eq\r(2)的图像与函数y＝eq\f(1,x)的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,eq\f(4,xi))（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是4.（全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则．2BCAyx1O345612342BCAyx1O345612346.（北京卷13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：①； ②； ③．其中能使恒成立的条件序号