2020-2021学年驻马店市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年驻马店市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

若a<6<0,则下列不等式关系中不能成立的是（）A.B.|a|>\b\C.5>

iD.a2>b2

b

1.从抛物线P=4x图象上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且=3,设抛物线焦点为F,

则AMPF周长为（）

A.6+3&B.5+2V3C.8D.6+2V3

2.设函数/（久）的导函数是广（久），若/（久）=/'©）•cosx—sinx,则/仁）=（）

A.-

2

3.已知命题pi：3x0&R,Xg—2x0+1<0;p2：Vx6[1,2],x—1>0,则下列命题中为假命题的

是()

A.("力A(%)B.Plv(%2)c.("力vp2D.PlAp2

4.在△ABC中，内角4,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足as讥BcosC+cs讥BcosA=1b,

则NB=()

A57rr*兀­兀c57r

A.z或下B.-C.-D.—

66366

X—y—1<0

5.已知无，y满足约束条件,2x-y+1》0,则z=|尤+y的最大值为()

.%+y-2<0

6.已知数列｛斯｝为等差数列，｛%｝为等比数列,且满足的003+121013=兀，b6-b9=2,则

B.-1D.V3

如图所示，旋转一次的圆盘（指针不落在边界），指针落在圆盘中3分处的

概率为a,落在圆盘中2分处的概率为b,落在圆盘中0分处的概率为c,

（a,瓦ce（O,l））,己知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则"蠢的最小值为（）

D.-

3

8.已知双曲线C：器一3=l（a>0,b>0）的渐近线经过圆E：久2+,2_2%+4y=0的圆心，则

双曲线C的离心率为（）

A.V5B.匹C.2D.V2

2

9.已知函数/（乂）=/+£1/+（£1+6）乂+1有极大值和极小值，则实数。的取值范围是（）

A.—1<a<2B.—3<a<6

C.a<-3或a>6D.a<-1或a>2

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）

10.已知｛厮｝为等差数列，其前n项和Sn，a7+a8<0,则下列结论一定正确的是（）

A.若的>0,则公差d<0B.若的<0,则57最小

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.已知等差数列｛5｝的前13项之和为等，则tan（a6+a7+口8）等于.

13.若曲线y=/+。％+b在点（0,力）处的切线方程是久一y+1=o,则a-b=

14.在△ABC中，已知/=半b=l,△ABC的外接圆半径为1,则又说=；

15.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2%与椭圆器+左=l(a>b>0)在第一象限内交于点P,

且以0P为直径的圆恰好经过右焦点F,则椭圆的离心率是

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

16.已知p：|1-|<2,q：(x-1+m)(x-1-m)<0(m>0),若q是p充分不必要条件，求

实数6的取值范围.

17.已知有限数列｛即｝，从数列｛即｝中选取第1项、第12项、……、第九项G<i2<-<品)，顺次

排列构成数列｛耿｝,其中瓦^ak,l<k<m,则称新数列｛尻｝为｛5｝的长度为小的子列.规定：

数列｛即｝的任意一项都是｛即｝的长度为1的子列.若数列｛即｝的每一子列的所有项的和都不相同,

则称数列为完全数列.

设数列｛心｝满足厮=兀，1<n<25,neN*.

(I)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列(1)：3,5,1,9,11；数列(2)：2,4,8,16.

(口)数列｛5｝的子列｛在｝长度为小，且｛尻｝为完全数列，证明：爪的最大值为6；

11111

(ni)数列｛%｝的子列｛须｝长度爪=5,且｛瓦:｝为完全数列，求良+豆+工+区+工的最大值.

18.设函数，奠礴=富普融/皆勘如富，曲线朋=,负崎过点P(l,0),且在P点处的切斜线率为2.

(1)求陋，物的值；

(2)证明：横感钢岂筑戌-£

19.设A4BC的内角4,B,C所对的边分别为a、b、c,已知btarM=(2c—b)tcm8.

(1)求角4的大小；

(2)若△4BC的面积为3百，b+c=5V2,求a的值.

22

20.已知椭圆C；器+、=1(爪>0)与无轴交于两点A2,与y轴的一个交点为8,△<84血的面

积为2.

(I)求椭圆C的方程及离心率;

(口)在y轴右侧且平行于y轴的直线I与椭圆交于不同的两点B，P2,直线&Pi与直线42P2交于点P•以

原点。为圆心，以力道为半径的圆与x轴交于两点M,N(点M在点N的左侧)，求|PM|-|PN|的值.

21.已知函数/(x)=(2—a)(x-1)—2"x,aE.R.

(I)若。=1,求曲线y=/(x)在点(1)(1))处的切线方程;

(E)若不等式/(%)>0在区间(0,》上恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

本题主要考查不等关系与不等式的性质.直接利用性质判断即可.

解：4项,留吧1啜0,

所以4>：脑1if-&ii**，

故A项错误，符合题意.

B项，甘嗯3嚼。，

故B项正确，不符合题意；

C项，刽嗯3嚼。，

所以一冬洪—迪冬戏，

所以[B]>]*|，

故C项正确，不符合题意；

D项，因为[

所以卜蝇学的卜姨即沙菖鹉

故。项正确，不符合题意；

故选A.

2.答案：D

解析：

本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.属于基础题.

先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，运用定义，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求

得P的纵坐标，进而得到三角形周长.

解:设POo,y°)，则I,九)

依题意可知抛物线准线久=-1,焦点F为(1,0),

由抛物线的定义可得，\PM\=\PF\=3,

则沏+1=3

即尤0=3-1=2,

|y0|=2y/2,即有M(—l,±2近)，

.'.AMPF的周长为|PF|+\PM\+\FM\=6+V4T8=6+2遍.

故选D

3.答案：A

解析：

本题主要考查了导数的运算，属于基础题.

对函数/(乃的解析式求导，得到其导函数，把％=以弋入导函数中，列出关于尸©)的方程，进而得到

/‘©)的值,再求出/‘€)即可.

解：f(x)=/'€)-cosx-sinx,

则/''(久)——f'§)sinx—cosx,

1G)=-f(5sin2-C0SP

"G)=o,

•••/'(%)=—cosx,

故选：A.

4.答案：A

解析：解：命题pi：3x0ER,XQ—2XQ+1<0;

当%o=l时，等号成立，

故命题Pi为真命题.

2

p2：VxG[1,2],%—1>0,

则命题P2为真命题.

故：(~MA("2)为假命题・

故选：A.

直接利用真值表求出命题的真假.

本题考查的知识要点：真值表的应用，命题真假的判断，主要考查学生的运算能力和转化能力，属

于基础题型.

5.答案：A

解析：

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题.

由正弦定理化简已知等式可得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=^sinB,又sinBW0,解得sinB=

结合范围0VBV冗,即可求得B的值.

解：asinBcosC+csinBcosA=1b,

・♦.由正弦定理可得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=|sinB,

又sinBW0,

•••sinAcosC+sinCcosA=解得：sin(Z+C)=sinB=

V0<B<7T,

...解得：B=N或..

o6

故选：A.

6.答案：C

解析：解：由约束条件作出可行域如图，

目标函数z=1%+y,即为y=-1%+z,作出直线y=-：x,

由图可知，当直线y=-1%平移至C处时，z取得最大值，

联立昌工?-=。°，解得呜》

则目标函数Z的最大值为Z=?X：+?=

ZDDO

故选：C.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标

代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

7.答案：D

解析：解:因为数列｛/J为等差数列，｛4｝为等比数列,且满足：a1003+a1013=n,b6-b9=2,

所以+。2015=。1003+a1013=兀，

by•Z)g—力6°bg=2,

所以tan°i+a2oi5—tan^-=tan-=V3.

771八l+b7b81+23

故选：D.

利用等差数列与等比数列的性质，可得的+。2015=^1003+。1013=江，力7，力8=力6，既=2,于是

可得誓萨=?从而可得答案.

■L十。7。8$

本题考查等差数列与等比数列的性质，考查特殊角的正切，求得岂鬻=5是关键，考查运算求解

能力，属于中档题.

8.答案：A

解析：解：由题意可得数学期望为3a+26+0xc=l,

2121

%+需=（£+五）加+2出

24ba204ba32

=6+3+T+b-T+2—•一=—

ab3

当且仅当冷抑a/b=［时取等号,

*，•~+白的最小值为

a3b3

故选：A.

由数学期望可得3a+2b=l,可得々+/=S+白)(3a+26)=6+|+竺+g由基本不等式可得.

a3b3by''3ab

本题考查基本不等式，涉及数学期望的应用，属基础题.

9.答案：A

解析：解：根据题意，双曲线C：1一4=l(a>0,6>0),

a2b2-v'

其焦点在工轴上，则其渐近线方程为y=±：x,

圆E：/+丫2一2%+4y=0的圆心为(1,-2),若双曲线的渐近线经过圆E的圆心，

则双曲线的一条渐近线方程为y=-2x,

则有2=2,即匕=2a,

a

则=a2+b2=5a2,即c=ma,

则双曲线的离心率e=(=有；

故选：力.

根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y=±(x,求出圆E的圆心，分析可得双

曲线的一条渐近线方程为y=-2乂，则有3=2,即6=2a,由双曲线的几何性质可得c=逐心由离

心率公式计算可得答案.

本题考查双曲线的几何性质以及圆的一般方程，注意先求出双曲线的渐近线方程.

10.答案:C

解析：

本题主要考查导数的应用，熟悉导数求函数极值的方法是解答本题的关键，是高考中常见的题型,

属于基础题.

解：由于/'(%)—x3+ax2+(a+6)x+1,有/'‘(%)=3x2+2ax+(a+6).

若f(x)有极大值和极小值,则小=4a2-12(a+6)>0,

从而有a>6或a<-3,

故选C.

11.答案：AD

解析：解：4、当%>0时，因为a7+=2a1+13d<0,所以d<0,故A正确.

B、当的<0,d<0时，满足a7+a8<0,Sn无最小值，故2错误.

C、当a1>0,d<0,且满足a7+<0时，a8<0,此时S15=15。8，当的<0，d>0,且满足

a7+a8<OH1t,48的符号无法确定，故C错误.

£>、S]4=7((17+。8)<0,故。正确.

故选：AD.

由题意利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质，得出结论.

本题主要考查等差数列的求和公式以及等差数列的性质，属于基础题.

12.答案:ABC

解析：解：对于4因为当M在&D上运动时，AQl平面2/1CD,

于是力Di1CM,所以4对；

对于8,因为点M存在无数个位置满足到直线4。和点。1的距离相等,

即抛物线段，因为G久1平面4415。，

所以GDilMDi，即为M到直线GA距离，所以B对；

对于C,三棱锥B-GMD的体积等于三棱锥M-BCiD的体积，

当M运动到4时其体积最大，体积为1-g所以C对；

OD

V2广

对于D,因为CO〃CiDi〃A/i/M%4i=6为异面直线BiM与CD所成的角，汝加=生吧>五=①>

A1B1~12

渔，所以6>30。，所以D错.

3

故选：ABC.

根据直线和平面位置关系，寻找满足条件的点M即可判断4BC；寻找成角最小者大于30。判断0.

本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，属于基础题.

13.答案：一1

解析：试题分析：根据等差数列小｝的前13项之和空空应=13a7=学，求得。7=则tanQ+

244

a7+a8)=tan(3a7),运算求得结果.

由题意可得曳竽应=13a7=等，i=p

3TC

则tan(Q6+与+为)=tan(3a7)=tan—=—1,

故答案为：-1.

14.答案：0

解析：解：,曲线y=/+。％+b在点(0/)处的切线方程是％-y+1=0,

.・・切线的斜率为1,切点为(0,1),可得b=l.

又・・•yr=2x+a,・,.2x0+a=1,解得a=1.

••・a—b=0.

故答案为：0.

根据导数的几何意义求出函数y在％=0处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出。，再根

据点(0,b)在切线久-y+1=0上求出b即可.

熟练掌握导数的几何意义和切线方程是解题的关键.

15.答案：立

2

解析：解：由正弦定理可得：a=2Rs讥4=2xlxsing=b,sinB=±=^-=1,

32R2X12

_TT

由a=V5>1=6,可得B为锐角，从而解得：B=O

故解得：c=TI-A-B=71-^-^^.

DOZ

则SUBC=|ctbsinC=|xV3x1xsin

故答案为：坦.

2

由正弦定理可求a=2RsinA=百，s出B=白=；,由大边对大角a=b>1=6，可得B为锐角，

从而解得B,C,利用三角形面积公式即可得解.

本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查.

16.答案：V2—1

解析：解：以。尸为直径的圆恰好经过右焦点F(c,0),

可得尸Fl%轴，令％=C,可得y=±bjl一捺=±9，

设可得—=2c,

即为M—c2=b2=2ac,

由e=£可得02+2e-1=0,

a

解得e=V2—1(负的舍去)，

故答案为：V2-1.

由题意可得PFlx轴，求得P的坐标，由P在直线y=2x上，结合离心率公式，解方程可得所求值.

本题考查椭圆的方程和性质，以及圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

17.答案：解：由：|1—~~|<2,得一2<久W10,

■■■m>0,1+m>1—m

:由[x—(1+m)][x—(1—m)]<0,

得：1—m<x<l+m

因为q是p的充分不必要条件，

(1—m>—2

所以|l+niW10,.••0<mW3,

.m>0

故实数m的取值范围是(0,3].

解析：先分别求得p,q所对应的集合，再根据q是p的充分不必要条件，可求实数小的取值范围.

本题以集合为载体，考查四种条件，解不等式，利用q是p的充分不必要条件，构建不等式组是解题

的关键.

18.答案：解：(I)数歹！1(1)不是｛册｝的完全数列；数歹！)(2)是｛时｝的完全数列.

理由如下：

数列(1)：3,5,7,9,11中，因为3+9=5+7=12,所以数歹鼠1)不是｛时｝的完全数列；

数列(2)：2,4,8,16中，所有项的和都不相等，数列(2)是｛即｝的完全数列.

(口)假设数列｛瓦｝长度为爪27,不妨设m=7,各项为瓦<b2<b3<■■■<b7.

考虑数列｛4｝的长度为2，3,...7的所有子列，一共有27-1-7=120个.

记数列｛尻｝的长度为2,3,…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a,最大值为从

所以a=瓦+匕2，4=&+与+25+24+23+22+21=&+历+115.

所以其中必有两个子列的所有项之和相同.

所以假设不成立.

再考虑长度为6的子列：12,18,21,23,24,25,满足题意.

所以子列｛尻｝的最大长度为6.

（m）数列5｝的子列｛3长度w=5,且｛尻｝为完全数列，且各项为瓦<无<&<•♦•<为.

所以，由题意得，这5项中任意i（lWiW5）项之和不小于2»-1.

即对于任意的1<i<5,有瓦+无+么+…+打22,一1,

即瓦++…+济21+2+4+…+2^1.

对于任意的1<i<5,（瓦—1）+（历一2+…+（仇-2»T）>0,

设&=仇一2i_1（i=1,2,3,4,5）,则数列｛1｝的前/项和3>0。=1,2,3,4,5）.

下面证明：怖+怖+户1+打'

因为（1+#卜勺+怖+*+2+2）=（1_（）+©/）+©_e+*_意+段/）

_/_1+_2-2+匕3-4|匕4-8+匕5-16

匕12b24匕38匕416匕5'

=2+吐曳+吐丝+空巴+三3

%2匕24匕38匕416b5

=Ml京）+4（京一加+。3（表—京）+。4脸—盅）+。5・嘉20.

所以高+£+*+2+*1+!+5+上=+当且仅当仇=2»-10=1,2,3,4,5）时,等号成立.

所以求++++++京++的最大值为2

。2。3。4。516

解析：（I）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果.

（n）根据定义的应用求出子列的长度.

（田）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值.

本题考查的知识要点：数列的信息题的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于中档题型.

19.答案：（1）翻=一4描=覆；（2）详见解析.

解析：试题分析：（1）由曲线弹=,观城过点更（1,。），将点更坐标代入解析式中，得关于礴盘的方程，

再利用/tD=&得关于螭撒的另一个方程，联立求出魏题；（2）证明磷士教：磷，可构造差函数

，微磁=题感一惫燎，证明就0M“，此题记或磷燃）图=循-富-.一带鼬!篇，然

后利用导数求密《感:的最大值.

前僚=@［于喇=幽

试题解析：⑴演黑礴=也如好，*由已知条件得i式二£即相;」“「二解得谢=-肥=氮;

湍$《期二及"LlT翱jfTT耀=房.

⑵加黛的定义域为购盘由由。)知於域=富-一带瓠相；，设煲城：="翼域:-簪富'-瀚：=

罢一害一一书3&砂则rW=_卜超，-=8*例，当@Y/cn时，当

:嘉时，息飞檄Y帆所以息嗖礴在例须上单调增加，在(1,+翻)上单调减少，•,•,颜磷心二番磔:=®，

故当第隈⑩时，息《'礴唱顺，即防侬加£公霁-冥

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数的最值.

20.答案：解：(l)ZkABC中，btanA=(2c—b^tanB,

由正弦定理得sinB,附”=(2sinC-sinB)•三巴

cosAcosB

因为sinBW0,所以s讥/cosB=2sinCcosA-cosAsinB,

^sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,

所以sin(/+B)=2sinCcosB,

即sinC=2sinCcosA；

又Ce所以sinCW0,所以cosZ=I；

又/e(0,7T),所以A=p

(2)因为△ABC的面积为：

S--bcsinA=-bcsin-=—bc=3A/3»

LABC2234

所以be=12；

又b+c=5V2,

所以炉+2bc+c2=50,

所以炉+c2=26；

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=26-12=14,

所以a=V14.

解析：(1)根据题意利用正弦定理与三角恒等变换，结合三角形内角和定理，即可求出4的值;

(2)利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求得a的值.

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

21.答案:(共13分)

解：(I)因为TH>0,由椭圆方程知：a2—4m,b2-m,a=2y[m,b-

S^BA1A2=Ix2ab=2yjm•y/m=2m=2,所以TH=1.

所以椭圆C的方程为次+y2=i.

4

222

由a=2,b=1,a=b+cf得c=百，

所以椭圆C的离心率为苧.…(5分)

(II)设点P(久p,yp),Pi(x0,y0),P2(x0,—y0)(x0>0),

不妨设4(—2,0),4(2,0)，

设PMi：y=-^-(x+2),P2A2；y=^(x-2),

(y=(%+2),(xP—

由J)x+2V々日「%。'

由"言0(一产"当

卜0=/，

即|。Ay

,7_配一_知_2yp

V0~2~2~Xp'

又F+据=1,得率+誓=1,

化简得资—煽=l(xP>0).

因为&(-