《高等数学》标准教案

高等数学教案课程名称微积分初步授课专业、班级08工程造价课程类型专业基础课课程学时数68课程学分数4学分教材版本__《高等数学》孙伟主编___________考核方式考勤、理论、平时成绩、期末考试授课教师授课时间08.09——08.12.3120082009学年第一学期………………………一、课程单元、章节第一章函数、极限与连续二、教学要求理解函数的概念，掌握函数的表示方法。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单应用问题中的函数关系式。三、重点和难点1.重点：基本初等函数的性质及其图形2.难点：复合函数及分段函数的概念。四、教学进度：理解函数的概念，掌握函数的表示方法。1.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。2.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。3.掌握基本初等函数的性质及其图形。4.会建立简单应用问题中的函数关系式。五、课时数4六、教学方式：课堂讲解，学生课堂课后练习七、作业：教材第9页1，3，4，7，10八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章的主要内容在中学已讲过，在教授时注意将以前所学的知识作系统的回顾，并作适当的加深，使学生对初等函数形成比较完整的概念，为学习定积分奠定良好的基础。学生对该章节的内容反映较好。十、教学过程及内容：§1.1函数1。1。1函数的概念①定义设SKIPIF1<0为点集，则映射SKIPIF1<0：SKIPIF1<0称为定义在SKIPIF1<0上的函数，记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0称为函数的定义域，SKIPIF1<0称为自变量，SKIPIF1<0称为因变量。SKIPIF1<0称为函数的值域。函数常用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等表示，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等。函数的定义域：使得表达式（算式）有意义的全体实数。如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0集合SKIPIF1<0称为函数SKIPIF1<0的图形。②函数的参数变形（复习）。例：SKIPIF1<0例：SKIPIF1<0③函数的图像函数图像的描绘。（描点法，举例介绍）函数图像的平移：例：SKIPIF1<0平移一单位后，解析式是？④函数的单调性SKIPIF1<0SKIPIF1<0则f(x)单增。反之单减。从图像上看，单增的图像在x的正方向上往上。即例：判断SKIPIF1<0的单调性。（单增）以后判断函数的单调性还有别的方法，例如利用复合函数地方法和导数地方法。⑤函数的奇偶性奇函数：SKIPIF1<0，偶函数：SKIPIF1<0奇函数和偶函数定义域对称。例：函数综合复习题。1.11．基本初等函数（要求能做出图像，定义域。注意牢记。）1）．幂函数：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，定义域SKIPIF1<0以SKIPIF1<0SKIPIF1<0为例2）．指数函数：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，定义域SKIPIF1<0例如：SKIPIF1<03）．对数函数：SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<04）．三角函数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<05）．反三角函数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例题：1，做出函数SKIPIF1<0的图像。2，做出函数SKIPIF1<0的图像。3，求SKIPIF1<0的定义域。4，求SKIPIF1<0的定义域。注意分SKIPIF1<0以及它的奇偶性讨论。2．初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成并可由一个式子表示的函数称为初等函数。如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是初等函数。SKIPIF1<0是初等函数。注意，要能区分初等函数和复合函数。例：3．复合函数设SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，而且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0称为由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0复合而成的复合函数，记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以复合的条件。如SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不能复合。有时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0复合的定义域可能是SKIPIF1<0的定义域的一部分，如SKIPIF1<0与SKIPIF1<0复合得SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的定义域SKIPIF1<0的一部分。单调性相同的函数复合成增函数，单调性不同的函数复合成减函数。例1.求下列函数的定义域SKIPIF1<0SKIPIF1<04。分段函数：不同的区间段对应不同的解析式，这时候往往用分段函数来表示。例如SKIPIF1<01.1.4常见的经济函数1需求函数Qd=Qd(p)一般是减函数。2供给函数Qs=Qs(p)一般是增函数。3成本函数C=C0+C1C0是固定成本，一般为常数，C1是变动成本，是产量的函数，即C1=C14收入函数R=pq=qp(q)q为产量,这里价格一般是产量的函数。5利润函数L=R-C§1.2函数的极限1.2.1极限的1数列的极限数列是自变量为自然数的函数，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极限，记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0是一个有限的常数。例：求下列数列的极限SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列极限的基本性质①数列若有极限，则极限唯一。②有极限的数列一定有界，有界的数列不一定有极限。无界的数列一定无极限。注：SKIPIF1<0有界SKIPIF1<0例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.都有界但无极限。对第二条简要证明:只需考察当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是否是个有限数。由SKIPIF1<0容易得到。2函数的极限（1）自变量趋向于无穷时函数的极限例SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.定义：当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时的极限。记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0是一个有限的常数。例：求极限SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0思考SKIPIF1<0SKIPIF1<0是否存在？(2)自变量趋向于某一个有限值时函数的极限定义3：当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时的极限。记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0是一个有限的常数例3：求SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0思考：SKIPIF1<0是否存在？(3)单侧极限思考？两函数①SKIPIF1<0SKIPIF1<0从左边趋近0和从右边趋近于0时，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0从左边趋近0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0从右边趋近于0时SKIPIF1<0当SKIPIF1<0是从左边趋近时，记为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0是从右边趋近时，记为SKIPIF1<0定义3若SKIPIF1<0时SKIPIF1<0称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的左极限。记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0时SKIPIF1<0称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的右极限，记为SKIPIF1<0左极限和右极限统称单侧极限。＊SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在极限SKIPIF1<0左右极限存在且相等。即SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2：判断下列函数在SKIPIF1<0是否有极限SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01.2.2极限的运算法则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4：求下列极限SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0一般地：SKIPIF1<0例5：练习：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例6：求极限：SKIPIF1<0SKIPIF1<01.2.3无穷小量1定义：如果当SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）时，函数f(x)的极限为零，称函数f(x)为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）时的无穷小量，简称无穷小。定理：若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0。其中为SKIPIF1<0时的无穷小.例：2。无穷小性质性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小。性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小。例：SKIPIF1<03。无穷小的比较定义设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为无穷小如果SKIPIF1<0，则说SKIPIF1<0是比SKIPIF1<0高阶的无穷小，记作SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0，则说SKIPIF1<0是比SKIPIF1<0低阶的无穷小；如果SKIPIF1<0，则说SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是同阶无穷小；如果SKIPIF1<0，则说SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是等价无穷小，记作SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则说SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0阶无穷小。无穷小替换方法：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极限存在，则SKIPIF1<0的极限等于SKIPIF1<0的极限。注意：替换时无穷小必须是因子。常用的等价的无穷小量。SKIPIF1<0～SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0例3SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例4SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，故极限为零，解法是否正确？1.2.4两个重要极限SKIPIF1<0与SKIPIF1<01．夹逼定理和极限SKIPIF1<0定理：若在某邻域内SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0存在，且SKIPIF1<0。证明：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0为偶函数，故在SKIPIF1<0内，也有SKIPIF1<0。由于当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0由夹逼准则，得SKIPIF1<0，由夹逼准则，得SKIPIF1<0一般地：SKIPIF1<0例1:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调数列极限和SKIPIF1<0若SKIPIF1<0称数列是单调增数列。SKIPIF1<0称数列是单调减数列。定理：单调有界数列必有极限。例2：SKIPIF1<0是单调增加数列。故SKIPIF1<0是存在的，令SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0显然SKIPIF1<0定理：SKIPIF1<0证明：对于任何SKIPIF1<0，存在正整数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0得SKIPIF1<0一般地：SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0例3：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0思考：SKIPIF1<0SKIPIF1<0§2.4函数的连续性与连续函数的运算1．函数连续性概念（1）连续性定义连续性即是当自变量作微小变动时，函数值也相应的做微小变动，体现在函数图象上就是没有断点。定义.1：当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0称SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续。即SKIPIF1<0.显然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续的充要条件是SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在定义域内每一点连续，称SKIPIF1<0是连续函数。例1：SKIPIF1<0在任意区间内连续。例.2：讨论SKIPIF1<0，和SKIPIF1<0在x=0的连续性。2。函数的间断点如果函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处不连续，则SKIPIF1<0称为函数SKIPIF1<0的一个间断点。间断点有三种情况：(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处没有定义；(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处没有极限；(3)SKIPIF1<0；例如SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处没有定义；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时没有极限。SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0定义2.如果SKIPIF1<0是间断点，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左右极限都存在时，称SKIPIF1<0为第一类间断点。其余称为第二类间断点。例3：判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的间断点是什么类型。例4：指出SKIPIF1<0的间断点，及其类型。3.函数在一点连续的性质SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续SKIPIF1<0例5：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<04.闭区域上连续函数的性质定理1:最大最小值定理：在闭区间上连续的函数，在该区间上必有最大值和最小值。定理2：零点定理：设函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。例6：证明方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内至少有一个根。定理3（介值定理）设函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则对于介于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的任意一个数SKIPIF1<0，在开区间SKIPIF1<0内至少有一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。证明：令SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0应用零点定理，得存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0……………一、课程单元、章节第三章导数与微分二、教学要求理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。会求分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。三、重点和难点1.点：四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。2.点：复合函数的求导法则，隐函数和由参数方程所确定的函数的导数四、教学进度：1．导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。3.高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4.分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。5.隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。五、时数10六、教学方式：课堂讲解七、作业：教材第48页1，2，5，11，14八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章主要内容是导数与微分的定义，计算以及应用。微分学有两个基本概念：一个是导数，一个是微分，导数与微分有着密切的联系，她们从不同的角度刻画了两个变量间的某种变化特征。十、教学过程、内容：§3.1导数概念1．引例(1)．直线运动的速度一物体作直线运动，位置与时间的关系为SKIPIF1<0，确定物体在某时刻SKIPIF1<0的速度。从时刻SKIPIF1<0到时刻SKIPIF1<0，物体从SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0，在该时间段内物体运动的平均速度为SKIPIF1<0物体在SKIPIF1<0时刻的速度定义为SKIPIF1<0(2)曲线的切线函数SKIPIF1<0的图形一般为一条曲线SKIPIF1<0，确定曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线。在SKIPIF1<0的邻近取一点SKIPIF1<0，则割线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0当点SKIPIF1<0沿曲线SKIPIF1<0趋向于SKIPIF1<0，割线SKIPIF1<0的极限位置称为曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点的切线。因此，切线的斜率为SKIPIF1<02．导数的定义（1．）导数的定义如果记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0相当于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0定义3.1设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某邻域内有定义，当自变量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得增量SKIPIF1<0，相应地函数SKIPIF1<0取得增量SKIPIF1<0，如果极限SKIPIF1<0存在，则说函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，极限值称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数，记为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数也可记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0如果记SKIPIF1<0，导数也可表示为SKIPIF1<0及SKIPIF1<0如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的每一点都可导，则说函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内可导，即对任何SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数（简称为SKIPIF1<0的导数），而且SKIPIF1<0（2）运用定义求导数例1求函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）的导数。例2求函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0处的导数。解：由于SKIPIF1<0因此得SKIPIF1<0更一般地，有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为实数）例如SKIPIF1<0SKIPIF1<0例3.求函数SKIPIF1<0的导数。解：计算得SKIPIF1<03。导数的几何意义如果函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可导，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的导数值为曲线C：SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率，即SKIPIF1<0因此，曲线C：SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的方程为SKIPIF1<0过曲线C：SKIPIF1<0的切点SKIPIF1<0，与切线垂直的直线称为曲线在点SKIPIF1<0处的法线。如果SKIPIF1<0，曲线C：SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的法线方程为SKIPIF1<0例4求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线和法线的方程。例5求SKIPIF1<0，在任一点的切线和法线方程，并观察函数在极值处的切线和法线的特点。4、函数可导与连续的关系定理3.1函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可导，则函数一定在SKIPIF1<0连续。证明：因为SKIPIF1<0存在，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0注：定理的逆命题不真，例如，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处不可导；※单侧导数如果极限SKIPIF1<0存在，则称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的右导数，记为SKIPIF1<0。如果极限SKIPIF1<0存在，则称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的左导数，记为SKIPIF1<0；例6：求SKIPIF1<0在x=0的左右导数。例7：求SKIPIF1<0在x=0的左右导数。显然由极限存在的充要条件可得到：定理3.2：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导的充要条件是函数在SKIPIF1<0的左右导数存在且相等。例8：判断函数SKIPIF1<0在x=0的可导性。练习：判断SKIPIF1<0在x=0的可导性。§3.2导数的运算1。初等函数的导数公式(1)SKIPIF1<0,(2)SKIPIF1<0,(3)SKIPIF1<0,(4)SKIPIF1<0,(5)SKIPIF1<0,(6)SKIPIF1<0,(7)SKIPIF1<0,(8)SKIPIF1<0,(9)SKIPIF1<0,(10)SKIPIF1<0(11)SKIPIF1<0,2。函数的和、差、积、商的求导法则定理3.3如果函数SKIPIF1<0及SKIPIF1<0都在点SKIPIF1<0具有导数，则(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)。证明：(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0例1求下列函数的导数(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0，(3)SKIPIF1<03。复合函数的导数对于复合函数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有求导法则，称为链式法则。定理3.4如果SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0可导，SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0可导，则复合函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0可导，且导数为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0可导，故SKIPIF1<0时必有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2求下列函数的导数(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0(5)SKIPIF1<04。隐函数的导数一般地，方程SKIPIF1<0可确定一个函数SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，称为由方程SKIPIF1<0确定的隐函数。现在来求隐函数的导数，通过例子来说明。例3.2.3设SKIPIF1<0是由方程SKIPIF1<0确定的隐函数，求SKIPIF1<0。解：由于SKIPIF1<0由方程SKIPIF1<0确定，得SKIPIF1<0两边对SKIPIF1<0求导数，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0练习：设SKIPIF1<0由方程SKIPIF1<0确定，求SKIPIF1<0解：方程两边对SKIPIF1<0求导数，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0例4求SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的导数。解：两边取对数，得SKIPIF1<0两边对SKIPIF1<0求导数，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0一般情况，对于幂指函数：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）求导数SKIPIF1<0的方法为：先取对数，得SKIPIF1<0对SKIPIF1<0求导数，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0以上求导数方法称为对数求导法。5。高阶导数对于路程函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为速度，SKIPIF1<0为加速度，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0二阶导数，记成SKIPIF1<0。对于一般函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的二阶导数，记成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0类似，可定义三阶导数SKIPIF1<0、四阶导数SKIPIF1<0乃至于SKIPIF1<0阶导数SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0一阶导数，二阶以及二阶以上导数都称为高阶导数。例.5设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例6SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0思考：1设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<02设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0§3.4微分1．微分的概念边长为SKIPIF1<0的正方形的面积SKIPIF1<0，如果边长从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时，面积的增量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0包含两部分，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0。相对比较SKIPIF1<0比SKIPIF1<0小得多，而且SKIPIF1<0这样，当SKIPIF1<0很小时，SKIPIF1<0，而且SKIPIF1<0。对于一般的函数SKIPIF1<0，当自变量SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时，函数增量SKIPIF1<0定义：设函数SKIPIF1<0在某区间SKIPIF1<0内有定义，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0属于SKIPIF1<0。如果函数的增量可表为SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为与SKIPIF1<0无关的常数，则说函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可微的，SKIPIF1<0称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的微分，记为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0下面论述函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可微的条件。定理3.9SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可微当且仅当它在SKIPIF1<0可导。证明：如果函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可微，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可导，而且SKIPIF1<0。反之，如果函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可导，即SKIPIF1<0因此得SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时的无穷小。即SKIPIF1<0综上，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可微等价于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是可微，而且SKIPIF1<0。特别地，函数SKIPIF1<0的微分为SKIPIF1<0。因此，函数SKIPIF1<0的微分为SKIPIF1<0例1求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的微分例2求函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时的微分2．微分的几何意义设函数SKIPIF1<0，当自变量SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0，相应的函数增量为SKIPIF1<0如图，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的微分SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的切线当SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时的增量，即SKIPIF1<03．参数方程所确定的函数的导数一般情况，平面曲线的参数方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例3设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0例4求椭圆曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0相应点的切线方程。练习：计算摆线SKIPIF1<0的二阶导数SKIPIF1<0。特别对一元函数SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0常用的近似公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……………一、程单元、章节第四章导数的应用二、教学要求了解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。4握用洛比达法则求未定式极限的方法。三、重点和难点1重点：洛比达法则求未定式极限，理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。2难点：会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形四、教学进度：按教学要求的过程五、课时数6六、教学方式：课堂讲解七、作业：教材第66页1，3，5，6八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章学习的三个中值定理是微分学的理论基础。掌握函数单调性的判定是本章的重点。十、教学过程及内容：§4.1中值定理1.罗尔定理费马引理设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某邻域SKIPIF1<0内有定义，并且在SKIPIF1<0处可导，如果对于任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）则SKIPIF1<0。证明：不妨设SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0。于是，对于SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0从而当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0故SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，故SKIPIF1<0罗尔定理如果函数SKIPIF1<0满足在闭区间SKIPIF1<0上连续；(2)在开区间SKIPIF1<0内可微；在区间端点处的函数值相等，即SKIPIF1<0，则至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。证明：由于SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上连续，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得其最大值SKIPIF1<0和最小值SKIPIF1<0。分两种情况：(1)如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为常数，故SKIPIF1<0。这样，任取SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0。(2)如果SKIPIF1<0，则最大值SKIPIF1<0与最小值SKIPIF1<0至少有一个不等于SKIPIF1<0在区间端点处的函数值。不妨设SKIPIF1<0，因此至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。因此，对于任何SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，由费马引理SKIPIF1<0。例4.1.1SKIPIF1<0在[0,1]上是否满足罗尔定理条件。例4.1.2SKIPIF1<0，在取间SKIPIF1<0上是否满足？2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数SKIPIF1<0满足（1）在闭区间SKIPIF1<0上连续；(2)在开区间SKIPIF1<0内可微，则至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0(1)或SKIPIF1<0证明：构造辅助函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。又由于SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0公式(1)称为拉格朗日中值公式。关于拉格朗日中值公式，有以下几点说明：(1)如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。(2)当SKIPIF1<0时，公式(1)也成立。如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足拉格朗日中值定理条件，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）(2)公式(2)称为有限增量公式。定理如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的导数恒为零，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是一个常数。证明：任取SKIPIF1<0，由拉格朗日中值定理SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0。由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的任意性，得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是一个常数。例4.1.3证明当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0证明：令SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上应用拉格朗日中值定理，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0得SKIPIF1<0例4.1.4：证明:若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<03、柯西中值定理（略）如果曲线SKIPIF1<0由参数方程表示，即SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0但是，弦SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0因此，在SKIPIF1<0点有SKIPIF1<0注意，当SKIPIF1<0时，柯西中值定理便转化为拉格朗日中值定理。§4.2洛必达法则4.2.1罗必塔法则（SKIPIF1<0）型定理：若函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某去心邻域存在，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的去心邻域OSKIPIF1<0存在，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续，在SKIPIF1<0可导。由拉格朗日中值定理得到：存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0让SKIPIF1<0，这时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例4.2.1求下列极限SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<04.2.1罗必塔法则（SKIPIF1<0）型定理：若函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某去心邻域存在，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0例4.2.2求下列极限SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0§4.3函数的单调性4.3.1一元函数的单调性定理：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可导，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单减SKIPIF1<0证明：取SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得结论。例4.3.1试证：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增。例4.3.2求SKIPIF1<0的单调区间。思考：用单调性证明:若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0§4.4函数的极值与最大、最小值1函数的极值例SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧邻近，SKIPIF1<0单调增加；在点SKIPIF1<0的左侧邻近，SKIPIF1<0单调减少，即存在SKIPIF1<0的去心邻域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，使得SKIPIF1<0。同理，对于点SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0的去心邻域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，使得SKIPIF1<0。定义设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0某邻域SKIPIF1<0内有定义，如果对于任何SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）则SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的一个极大值（极小值）。极大值、极小值都称为函数的极值，使得函数取得极值的点称为极值点。定理1（必要条件）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，且在SKIPIF1<0处取得极值，则SKIPIF1<0。定理2（第一充分条件）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处，且在SKIPIF1<0某去心邻域SKIPIF1<0内可导，（1）若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值；（2）若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值；（3）若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的符号保持不变，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处没有极值。如果SKIPIF1<0某区间内连续，除个别点外处处可导，求SKIPIF1<0在该区间内极值点和极值的方法如下：（1）求出导数SKIPIF1<0（2）求出SKIPIF1<0的全体驻点与不可导的点；（3）考察SKIPIF1<0的符号在每个驻点和不可导的点的左、右邻近的符号，以确定该点是否为极值点，如果是极值点，是极大值点还是极小值点；（4）对于极值点，求出极值。例4.3.3求函数SKIPIF1<0的极值。解：SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0内，SKIPIF1<0。故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0达极大值。定理3（第二充分条件）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处具有二阶导数且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（1）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值；（2）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值。证明：由于SKIPIF1<0由极限的保号性，存在SKIPIF1<0的邻域SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的两侧改变符号，且由正变负，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值。例1求函数SKIPIF1<0的极值。解：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得驻点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。计算得SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为极小值。因为SKIPIF1<0，故需用第一充分条件，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不是极值点。练习：求SKIPIF1<0的极值。§4.5函数的凹凸性及拐点以下考虑函数SKIPIF1<0二阶可导。定理：在区间SKIPIF1<0内，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<