（学生版）第1讲 数与式-基础班

第1讲数与式

知识点1实数

无理数与实数

有理数和无理数统称为实数.

L实数的分类

'正有理数'

有理数专有限小数或无限循环小数

实数负有理数

‘正无理数'

无理数无限不循环小数

负无理数

2.实数与数轴上的点——对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对

应.

3.实数的三个非负性及性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

(1)任何一个实数。的绝对值是非负数，即|20；

(2)任何一个实数。的平方是非负数，即。2>0;

(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即20(«>0).

非负数具有以下性质：

(1)非负数有最小值零；

(2)有限个非负数之和仍是非负数；

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

4.实数的运算

数。的相反数是-a;一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反

数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、

开方、再乘除，最后算加减.同级运算，按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

6.平方根和立方根

理

平方根立方根

项目X.

非负数侬诩

±4a

YIK靖一个正的立方根；

相反数；一个第靖一个负的立方根；

零的平会为零；零的立月根是零；

负数没启平方根；

（Va）2=a{a>0）（加y=4

重要结论行叫=卜（。叫=a

N

1-4（4<0）4—Q=-

【典例】

例1（2020秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内.

①-若，②姬,③-〃，@0,⑤-VUZ⑥遍，⑦-$⑧0.23,⑨3.14

（1）整数集合{-};

（2）分数集合{…};

（3）无理数集合{--}.

例2（2020秋•青山区期中）①12的平方根是；

②网的立方根是；

③苧的倒数是—.

例3（2020春•西乡塘区校级月考）如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来.请

在每个字母后面的空格填写对应的实数：-标n,0,V2,2,-V3.

点A表示的数是—；点B表示的数是—；点。表示的数是—；点C表示的数是一；

点。表示的数是；点E表示的数是.

ABOCDE

-2-1612.34^

例4（2020秋•沙坪坝区校级月考）实数°,6在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子

正确的是（填序号）

①a6<0；@\a\<\b\-,③-a>b-,④a-b>0.

--------1------------1--------1------>

a0h

例5（2020秋•海陵区期中）先在数轴上画出表示3、|-2|、-7、-3、-（-4.5）、3寺各

数的点，再按从小到大的顺序用把这些数连接起来.

-7-6-5-I-3-2-1012345

例6计算：-12+(V7)0+cos450+|1—V2|.

【随堂练习】

1.（2020秋•江阴市期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：

1nn

-2.5,3,-2020,一寸，0.1010010001,-2.3,0,-（-30%）,-|-4|

（1）正数集合：｛,"｝；

（2）无理数集合：｛—｝；

（3）分数集合：｛…｝;

（4）非正整数集合：｛—•••｝.

2.（2020•成都模拟）已知实数a,b互为相反数，且|a+2例=1,b<0,则6=.

3.（2020•香洲区校级一模）实数a、6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立

的是（）

,ab,

-1—«~।----1~e-l----j

-2-1012

A.\a-fe|<1B.|iz|<|Z?|

a

C.|6i+l|+|l-b\=a-bD.—<0

b

4.（2020春•渝中区校级月考）已知x是整数，当|x-闻|取最小值时，尤的值是（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2020秋•沈北新区期末）计算:2sin30°-4cos45°+|1-tan60°|.

知识点2二次根式

二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如&(a>0)的式子叫做二次根式，如区"7002,VO等式子渚B叫做二次根式.

2.二次根式的性质

(1)>0(a>0)；

(2)(6)=a(a>0)；

3.最简二次根式

(1)被开方数是整数或整式；

(2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如行，，石,36,77谖等都是最简

二次根式.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

5.二次根式的运算

①乘除法

（1）乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法yfaxyfb=y[ab(a>0,Z?>0)

Jab=s/ax4b(a>0,Z?>0)

商的算术平方根化简公式：

二次根式的除法

第=第—>0)百里…">0)

②.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变,

即合并同类二次根式.

【典例】

例1（2020秋•汝阳县期末）无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（）

A.7-x—2B.V%C.V%2+2D.yjx2—2

例2（2020秋•温江区期末）-瓜乖、遮、中是最简二次根式的是.

例3（2020秋•沙坪坝区校级月考）计算：2闻+56+'强U.

例4（2020秋•浦东新区月考）计算：V24X4■^748.

例5（2020春•珠海校级期中）你能找出规律吗？

（1）计算：V4xV9=,V45T9=；V16xV25=,-16x25=

结论：V4XV9V43T9；V16XV25716x25.（填“>”，”="，“<

（2）请按找到的规律计算：

®V5xV20；

（3）已知：a=y/2,b=VTO,则=（可以用含a,。的式子表示）.

例6（2020秋•青羊区校级月考）已知尤=逐+百，y=V5—V3,求f+xy+y2的值.

【随堂练习】

1.（2020春•荔湾区月考）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.VaB.AP2C.Va+2D.Va2+1

2.（2020秋•道外区期末）下列二次根式是最简二次根式的为（）

A.710B.V20D.V3?6

3.（2020秋•石鼓区校级月考）计算：（V^+?—2

（2020春•庆云县期中）

5.（2020秋•郸城县期中）已知x=2返一3vLy=2V3+3V2,求Wy+孙2的值.

6.（2020春♦汶上县期末）【计算下列各式】

（1）V4xV9=,V4x9=.

V16xV25=，V16x25=.

【归纳发现】

(2)观察以上计算结果，尝试用含有字母小b(其中，a》0,b20)的式子表示发现的

规律；

【实践应用】

(3)运用发现的规律进行计算：

@V3XV5.

②J|x同

知识点3代数式

L代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.

注：单独一个字母或一个数也是代数式.

2.代数式的分类：

「整式f单项式

塾立I多项式

「有理式1

代数式，1分式

、无理式

3.代数式的书写规则：

(1)数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写作"・"或省略不写，字母之间的

顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母之前如：3。不要写成。3

(2)在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如：2"b写成丝

b

3

(3)代数式中，如果字母系数是分数，要写成假分数，不能写成带分数.如：:〃不要写成

2

1-a

2

(4)代数式运算中结果是加减运算的式子，若需注明单位，那么必须用括号把代数式括起

来，.

4.简单的代数式求值

1、求代数式的值的一般步骤：

（1）代入，将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成

数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原.

（2）计算，按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按

照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行.

2、求代数式值的一般方法：Q）直接代入求值；（2）整体代入求值

3、对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值.

【典例】

例1（2020秋•玉田县期末）下列各式最符合代数式书写规范的是（）

1b人

A.1-^aB.-C.3。-1个D.“X3

za

例2（2020秋•武威期末）若a2+a+l=0,则2a2+2a+2014的值是（）

A.2014B.2015C.2013D.2012

例3（2020秋•铁西区期末）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+6=（）

1235813a34......

2358132134b......

A.55B.66C.76D.110

【随堂练习】

1.（2020秋•万州区校级期中）下列代数式的书写格式规范的是（）

23

A.l^xyzB.〃XZ?+5+lC.ab2D.-ab

2.（2020秋•抚顺县期末）若f-3尤-2=0,则2?-6x+2020的值为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

3.（2020秋•涪城区校级期末）按一定规律排列的单项式：a,浸，。5,

第2020个单项式是（）

A.2020aB.-2020aC.a2020D.-a2020

知识点4整式

1.单项式：数与字母的乘积，叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.

3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.

4.多项式：几个单项式的和叫做多项式.

5.多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项.

6.常数项：在多项式中，不含字母的项叫做常数项.

7.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.

8.升幕排列：按某个字母的指数从小到大的顺序排列.

9.降黑排列：按某个字母的指数从大到小的顺序排列.

10.整式：单项式与多项式统称为整式.

11.同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.

12.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项的运算叫做合并同类项；合并同类项后,

所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母不变.

13.合并同类项的步骤：①找同类;②同类项系数相加，字母部分不变;③不是同类项的项

照抄为结果的一项.

14.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号

相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反

15.添括号法则：如果添括号的前面是正号，添括号后括号内各项符号不变；

如果添括号的前面是负号，添括号后括号内各项符号与以前的相反

整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同

类项.

【典例】

例1（2020秋•绥中县期末）下列说法正确的是（）

A.单项式x的系数是0

B.单项式-32^2的系数是-3,次数是5

C.多项式/+2x的次数是2

D.单项式-5的次数是1

例2（2020秋•镇原县期末）下列说法中，正确的是（）

A.7-3x的项是7,3xB.-j-是单项式

C.TO,d+1都是整式D.32bc-2是二次二项式

2

1

例3（2020秋•朝阳区期末）计算：一（12冽+4）+2（m-1）.

4

1

例4（2020秋•松江区期末）计算：6a2.必-廿）-22b.

例5（2020秋•嵯酮区期末）计算：3〃3b•（-2加4-（-3ao2.

例6（2020秋•广州期末）先化简，再求值：5（3m2n-mn2）-（mn2+3m2n）-4（3m2n-

m/i2）,其中m=-3,n=可

例7（2020秋•朝阳区期末）若a+6=5,ab=3,

（1）求/+廿的值；

（2）求a-6的值.

例8(2020秋•吉林期末)计算：(3x+2)(3x-2)-x(5-3x).

【随堂练习】

1.（2020秋•莫旗期末）下列说法中，不正确的是（）

A.5/。的系数是一］,次数是4

B.把—1是整式

3

C.6?-3x+l的项是67、-3x,1

D.2TiR+nR2是三次二项式

c13ab23ab

2.（2020秋•马山县期中）下列式子：/+2,—+4,------，—，-5x,0中，整式的个数

a7c

有（）

A.6B.5C.4D.3

3.（2020秋•松江区期末）计算：2x+（x+3y-1）-（4厂5）.

4.（2020秋•嘉定区期末）计算：2（a-b）2-（。+6。）（〃-2b）.

5.（2020秋•喀什地区期末）计算：（m+2n）（m-2n）-（m-几）（m+8n）.

6.（2020秋•浦东新区期末）计算：（-6/■+3/）+必+5ab.

7.（2020秋•昌图县期末）先化简，再求值：2x-3（X-#）+2（-1x+y2）,其中尤=3,

y=-2.

21

8.（2020秋•延边州期末）计算：C-ab2-2ab）-ab.

32

知识点5因式分解

1.分解因式

(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

(2)因式分解与整式乘法是互逆关系.

注意：因式分解与整式乘法的区别和联系：

①整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

2.提公共因式法

(1)如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化

成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:ab+ac=a(b+c)

(2)概念内涵：

①因式分解的最后结果应当是"积"；

②公因式可能是单项式，也可能是多项式；

③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即:ma+mb-me=m(a+b-c)

3.运用公式法

(1)如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做

运用公式法.

(2)主要公式：

①平方差公式:心及=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a1±2ab+b2=(。土b)~

(3)易错点:

因式分解要分解到底如(x2+,/)就没有分解彻底.

【典例】

例1(2020秋•绥中县期末)已知孙=3,x-y=-2,则代数式。-孙2的值是()

A.6B.-1C.-5D.-6

例2(2020春•温江区校级月考)因式分解：机2_层-2加+1=.

例3(2020春•常熟市期末)将下列各式分解因式:

(1)/+2尤-15；

(2)-8孙2+8y3；

(3)9(x+2y)2-4(尤-y)2.

例4(2020春•江阴市期中)甲、乙两个同学分解因式f+ar+b时，甲看错了b,分解结果

为(x+2)(尤+4)；乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9).请你分析一下。的值,

并写出正确的因式分解过程.

【随堂练习】

1.(2020秋•西丰县期末)若》?-"=-2,则加^+如尸二()

A.6B.5C.4D.3

2.(2020秋•肇州县期末)分解因式：

(1)%2(尤-y)+(y-x)；

(2)Sax2-6axy+3ay2.

3.(2020春•海珠区校级期中)分解因式：

(1)ab1-4a；

(2)9(x-1)2-12(x-1)+4.

知识点6分式

分式的有关概念及性质

A

1.分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式.

B

其中A叫做分子，B叫做分母.

2.分式的基本性质

一JxM一=/7

SBxM'B战(M为不等于0的整式).

3.最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

分式的运算

1.约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值,

这样的分式变形叫做分式的约分.

2.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分

母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

3.基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：

(1)加减运算

-+-=归；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

CCC

7±4=卑生；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

bdba

ncetc

(2)乘法运算丁;二乙，其中a、Ac、d是整式，MwO.

baba

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

acadad,,,

（3）除法运算=--=—，其中a、b、c、d是整式，bcdwO.

babcbe

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.

（4）乘方运算启*=—,

bbs

分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.零指数

a0-l（a至0）

5.负整数指数

?l

a~=二"（盘聿0111p为正整数工

6.分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.

【典例】

例1（2020秋•嘉定区期末）在代数式马，当，-空旦中，分式有（）

715x乙x-3

A.1个B.2个C.3个D.4个

1x1—1

例2（2020秋•讷河市期末）若分式一士一的值为0,则X的值为（）

xz-3x+2

A.-1B.0C.1D.±1

3y

例3（2020秋•镇原县期末）如果把分式上中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）

x+y

A.不变B.缩小3倍C.扩大3倍D.扩大6倍

例4（2020秋•鞍山期末）下列各分式中，最简分式是（）

x2+y2x2-y2

A.---------B.---------

x+yx-y

x2-y22x+2y

•(x+y)26x-6y

例5（2。2。春•沙坪坝区期末）分式白会的最简公分母是（

)

A.12oB.12。C.3xD.12xy

例（春•江宁区月考）在信产（凯（务。中，最大的数是

62020)

A.d)-2B.已下C.（务。D.无法确定

…a+3…x-yx-xmc2+

例7（2020秋•西峰区期末）下列4个分式:①a2+3；®x2-y2；③赤④二,中

最简分式有一个.

例8（2020春•滨湖区期中）约分:

12xy

(1)——

18一川

2m-8

(2)———.

m2-16

3z2\q-l

例9（2020秋•海淀区校级月考）计算:la-a)------

a2+aa

332x+32

例10（2。2°秋.高新区校级月考）已知X为整数,且云+二+亦为整数,求所有

符合条件的x的值.

例U（2。2°秋•沙河口区期末）计算：（1-^3）十信后

X—27v_7_|_1

例12（2020秋•齐河县期末）先化简,再求值：+目/+%v,其中x=2020.

【随堂练习】

1.（2020秋•道外区期末）下列式子中分式的是（）

%m+2711

A.一B.------C.一D.——

233a2+l

2.（2020秋•新宾县期末）下列分式中一定有意义的是（)

%+1x-1XX2

A.B.C.D.-----

z9z

X乙%+l%-l%+1

\x\—2

3.（2。2。秋•虎林市期末）若分式/2的值为°，则x的值为（）

A.2B.0C.-2D.%—2

4.（2020秋•香坊区期末）如果分式旦中的尤、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中,

x+y-

正确的是（）

A.分式的值不变

B.分式的值缩小为原来的;

C.分式的值扩大为原来的2倍

D.分式的值扩大为原来的4倍

123

5.（2020春•江阴市期中）式子：,,—的最简公分母是

A.B.12^y2C.24?7D.24^y2xy

6.（2020秋•南岗区期末）计算（-3）°-2一3的结果是（）

17

A.一卷B.-C.6D.7

88

7.（2。2°秋•武都区期末）当、=—时,分式无石无意义•

8.（2020秋•聊城期中）约分:

24al2%3y2

(1)

18a6%3'

ma+mb-mc

(2)

a+b-c'

a2-4ab+4b2

(3)

a2-4b2,

9.(2020秋•喀什地区期末)计算：(1-i)+%2产+1.

10.(2020秋•道里区期末)计算：

(1)(1--1)+x-51

XX2

2

(2)(1+33)+丁m=—"l/--2-m---2.

m—Zmz—4m+42—m

2qi

11.(2020秋•松江区期末)先化简，再求值：-X---—-2-X--—-3+(x+2—刍)，其中

x-2x-22

综合运用

1.(2020秋•靖江市期中)将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内.

35Jr30

-3,1-,-0.25,|-12|,-3-,-(-1.5),-|-5.2|,206,0,21%,—,2.010010001-

49Z5

分数集合｛

负有理数集合｛…｝;

无理数集合｛•••｝.

2.(2020秋•达州期中)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示：

(1)用或填空：b-c0,a+b0,c-a0.

(2)化简:|a+b|-|a+c|+|b-c\-\a\.

_______I______II.I»

aQbc

3.（2020春•丛台区校级月考）已知实数m