2.4.6 函数的奇偶性-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第2.4章函数的概念与性质2.4.6函数的奇偶性高中要求1掌握函数奇偶性的概念及其性质；2掌握判断函数奇偶性的方法.1函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.注①从定义可知，若x是函数定义域中的一个数值，则−x也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如fx②函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)=0，x2性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；证明∵f(x)为奇函数，∴f−x令x=0，则f−0=−f(0)，即f0④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．3判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x),看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.【题型1】判断函数的奇偶性【典题1】判断函数f(x)=|x|解析函数的定义域为R．方法1∵f(−x)=|−x|(−x)2+1=方法2∵y=|x|和y=x2+1是偶函数，∴变式练习1.下列说法正确的是()A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)=0，则f(x)是奇函数答案B解析奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如y=x+1．由此可判断A、C项错误，B项正确．奇函数若在原点处有定义，则f(0)=0，反之不一定成立，如y=x2，因此D2.函数f(x)=|x|+1是()A.奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案B3.函数f(x)=3−A．原点对称B．轴对称C．y轴对称D．直线y=x对称答案A解析根据题意，f(x)=3−x2则有f(−x)=−f(x)，其图象关于原点对称，故选：A．4.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)=f(x)−f(−x)在R上一定是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案：A5.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(−x)是奇函数B．f(x)|f(−x)|是奇函数C．fx−f(−x)是偶函数D．答案D解析选D.设F(x)=f(x)f(−x)，则F(−x)=F(x)为偶函数．设G(x)=f(x)|f(−x)|，则G(−x)=f(−x)|f(x)|.∴G(x)与G(−x)关系不定．设Mx=fx设N(x)=f(x)+f(−x)，则N(−x)=f(−x)+f(x)．N(x)为偶函数．【题型2】函数奇偶性的运用【典题1】若函数f(x)=2x−a2xA．−1 B．1 C．1或−1 D．不存在解析可知函数fx为偶函数，则f令x=1得，f(−1)=f(1)，即2−1−a2将a=−1代入解析式验证，符合题意．故选：A．变式练习1.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)f(−x)>0 B．f(x)f(−x)<0C．f(x)<f(−x) D．f(x)>f(−x)答案B解析∵函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)∴f(x)⋅f(−x)=f(x)[−f(x)]=−[f(x)]2<02.已知函数f(x)=x5−ax3A．19 B．13 C．−19 D．−13答案D解析∵gx=x∵f(−5)=17=g(−5)+2∴g(5)=−15∴f(5)=g(5)+2=−15+2=−13，故选：D．3.已知函数f(x)是奇函数，当x⩾0时，f(x)=2x−1A．1 B．−34 C．3 答案D解析根据题意，当x⩾0时，f(x)=2x−1又由f(x)为奇函数，则f(−2)=−f(2)=−3；故选：D．4.若函数f(x)=x2−|x+a|为偶函数，则实数答案0解析∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)恒成立即x2−|x+a|=x所以a=0故答案为：0．5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)为增函数，且f(3)=0，那么不等式xf(x)<0的解集是.答案(−3,0)∪(0,3)解析∵f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(3)=0，∴f(3)=−f(−3)=0，在(−∞,0)内是增函数∴xf(x)<0则x>0f(x)<0=f(3)或根据在(−∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数，解得x∈(−3,0)∪(0,3)．【题型3】函数的奇偶性与单调性的综合【典题1】函数f(x)=ax+b1+x2是定义在区间(−1,1)(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(−1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t−1)+f(t)<0．解析(1)由题意知&f(0)=0&f12=2故f(x)=x(2)任取−1<x1<fx2∵−1<x∴−1<x于是fx∴f(x)为区间(−1,1)上的增函数．(3)ft−1∵f(x)在区间(−1,1)上是增函数，∴－1<t−1<−t<1，解得0<t<1变式练习1.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[−5,−1]上是()A．减函数且最大值为−6 B．增函数且最大值为6 C．减函数且最小值为−6 D．增函数且最小值为6答案A解析当−5≤x≤−1时1≤−x≤5，∴f(−x)≥6，即−f(x)≥6．从而f(x)≤−6，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[−5,−1]是减函数．故选：A．2.若偶函数f(x)在(−∞,−1]上是减函数，则()A．f(−32)<f(−1)<f(2) BC．f(2)<f(−1)<f(−32) 答案B解析根据题意，f(x)为偶函数，则f(2)=f(−2)，又由函数f(x)在(−∞,−1]上是减函数，则f(−1)<f−32<f(−2)，即3.若ρ(x),g(x)都是奇函数，f(x)=aρ(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞,0)上有()A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1 D．最大值－3答案C解析ρ(x)、g(x)都是奇函数，∴f(x)－2=aρ(x)+bg(x)为奇函数．又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0,+∞)上有最大值3.∴f(x)－2在(－∞,0)上有最小值－3，∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－1.4.已知函数f(x)=1(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)为奇函数，求a的值；(3)用单调性的定义证明：f(x)在区间(0,+∞)上为减函数．答案(1)(－∞,0)∪(0,+∞)(2)−12解析(1)要使函数有意义，需4x－1≠0，解此不等式得∴函数的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞)(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－1)=－f(1)，即114−1经检验，a=−12时，∴a=−1(3)设x1,则fxx1,x∴4∴4∴fx1−f∴函数f(x)在(0,+∞)上为减函数．1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1,2a]A．−13 B．13 C．−1答案B解析依题意得：f(−x)=f(x)，∴b=0，又a−1=−2a，∴a=13，∴a+b=12.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(−1)=1，则f1A．1 B．0 C．−1 D．−2答案C解析根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，若f(−1)=1，则f(1)=−f(−1)=−1，则f(1)+f(0)=−1；故选：C．3.已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=−2x2+xA．−6 B．6 C．−10 D．10答案D解析∵f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=−2x∴f(−2)=−8−2=−10，即−f(2)=−10，则f(2)=10，故选：D．4.若函数f(x)是定义在[−6,6]上的偶函数，且在[−6,0]上单调递减，则()A．f(3)+f(4)>0B．f−3C．f(−2)+f(−5)<5D．f答案D解析f(x)是定义在[−6,6]上的偶函数，且在[−6,0]上单调递减，可得f(x)在[0,6]上单调递增，依题意有−4<−1⇒f−45.若函数f(x)=(2x+1)(x−a)x(a∈R)A．12 B．0 C．−1 答案A解析根据题意，函数f(x)=(2x+1)(x−a)则f(−x)=−f(x)，即(2x+1)(x−a)x变形可得(2a−1)x=0，则有a=1故选：A．6.函数y=x3答案奇函数解析f−x=−x7.已知函数f(x)=ax+x4x+1是偶函数，则常数a的值为答案−解析易知函数定义域为R∵函数f(x)=ax+x∴f(−x)=f(x)对定义域内每一个x都成立∴−ax+−x∴−2ax=x∴(1+2a)x=0对定义域内每一个x都成立∴1+2a=0，即a=−18.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为−1，则2f(−6)+f(−3)的值为.答案−15解析f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8∴2f−69.设偶函数f(x)的定义域为R，当x[0,+∞)时，f(x)是增函数，则f(－2),f(π),f(－3)答案f(π)>f(−3)>f(−2)解析利用函数f(x)为R上的偶函数，将f(−2),f(−3)转化到区间[0,+∞)上，利用f(x)在此区间上是增函数比较大小．因为f(x)为R上的偶函数，所以f(−2)=f(2)，f(−3)=f(3)．又因为当x[0,+∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(−3)>f(−2)．10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x−a，则f答案−3解析根据题意，函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，则有f(0)=20−a=1−a=0则f(1)=2+2−a=4−1=3，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−3.11.若函数f(x)的定义域是R，且对任意x,y∈R，都有fx+y答案奇函数解析在fx+y令x=y=0，得f(0+0)