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Hamiltoncanonicequation的首次积分
Hamiltoncanonicequation的首次积分系统的首次积分是方程降阶降维的基础，讨论Hamiltoncanonicequation的降阶降维问题能量积分循环积分H中不显含某些广义动量的情况2例
、水平直管以匀角速度
绕铅直轴旋转。管内放有用弹簧相联的两相同质量m的小球。小球可沿直管无摩擦地滑动。已知弹簧刚度系数为k，原长为l，试写出系统的Hamilton正则方程。小球尺寸略去不计。解：两个自由度，x1、x2为广义坐标，主动力均为有势力构造H函数
则3Hamilton正则方程给定初始条件后，就可得出正则变量的函数4如果Hamilton函数，即不显含t时，则可得则（常数）因为所以Hamiltoncanonicequation的能量积分
如果是保守系统，则T＝T2，T0＝0则即Hamiltonequation的首次积分等于总机械能（机械守恒）5由H函数定义对某一广义坐标ql求偏导数代入（勒让德变换，或定义广义动量），得因此，如果在Lagrange函数中存在某个循环坐标ql，则在Hamilton函数中也存在相同的循环坐标ql。设q1,q2,…,ql(l<k)为Lagrange函数L的循环坐标，则H函数可表示为6根据正则方程有于是得l个循环积分
利用循环坐标可对Hamilton正则方程进行降维，将上式代入Hamilton函数得此时Hamilton正则方程为对于循环坐标，有即对H求pj偏导，后将pj用Cj代替7积分上式，得:为积分常数。降为(j=l+1,l+2,…,k)若系统有l个循环坐标，则Hamilton正则方程的个数由2k个降为2(k-l)个。因此对于一个力学系统，希望找到尽可能多的循环坐标，循环坐标越多，对于方程的求解就越有利。8设p1,p2,…,pl(l<k)不显含在H中，则Hamilton函数可表示为则方程故由k个减少到k-l个。H函数化为9
（方程个数由k个，减少为k-l个）故共降维2l，即方程个数减少为2(k-l)个。10例3、空心圆管OA绕铅垂轴O在水平面内转动。它对O轴的转动惯量J0=md2，质量为m的质点M在圆管内运动，设质点受引力Fr=-μm/r2，式中r是质点到转轴O点的矢径，μ是常数。试列出系统的Hamilton正则方程并求首次积分。解：系统有两个自由度，选r、φ为广义坐标，系统的动能取无穷远处为零势能点，势能而11广义动量求Hamilton函数，因为系统为保守的，故由上式可知，φ
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