2021年中考数学复习第一部分　简单题型

2021年中考数学复习第一部分简单题型专练

题型一函数图象的分析与判断

◎类型1函数图象的识别

1.(2020辽宁抚顺］如图，在RtZi4?C中,。，/1(7即72/1,破148于点D.点户从点A出发，沿月一AC的路径运

动，运动到点C停止，过点户作加4C于点EPFLBC于氤F.设点户运动的路程为x,四边形CE%的面积为M不妨设

点P与点A或点。重合时，尸0),则能反映y与x之间函数关系的图象是(A)

2.如图，点48是反比例函数万1(%>0)的图象上的点,力和3的横坐标分别是2和1,点P从点0出发沿。一曲线AB-

8。运动，速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t,过点P作/"_L,v轴于点沙的面积为H点P与点0

或点C重合时，令SR),则能表示S与r之间的函数关系的图象是(A)

3.［2020郑州适应性测试］如图，在正方形ABCD中、CD4cm.动点P从点A出发，以或cm/s的速度沿射线力。运动到点

。停止.动点。同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线4笫运动到点。停止.设△和0的面积为*nr')(当点R0重

合时，令y=O),点。的运动时间为Ms),则下列图象能反映y与*之间的函数关系的是(D)

4.[2020河南省实验三模]如图,四边形力及小是菱形,47=2/4比飞0。，点户从〃点出发,沿折线以切运动，过点P作直

线⑦的垂线，垂足为点。，设点户运动的路程为x,△。内的面积为M当点F与点。或点C重合时，规定*0）,则下列图

象能正确反映y与x之间的函数关系的是（B）

5.[2020开封二模]如图，在。4CT中,月以6,a>104氏1阳点/>从点3出发沿着8~/1-C的路径运动,同时点0从点A

出发沿着的路径运动，点R0的运动速度相同，当点尸到达点C时，点。随之停止运动.连接户。设点户的运

动路程为x,片户〃则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（C）

6.[2018开封二模]如图,在平面直角坐标系中，已知40,1）,//3,0）,以线段皿为边向上作菱形且点〃在y轴上.

若菱形4及力以每秒2个单位长度的速度沿射线脑滑行,当顶点。落在、轴上时停止.设菱形落在x轴下方的部分

的面积为S,则能够反映面积S与滑行时间，之间函数关系的图象大致是(A)

④类型2由几何动点和函数图象解决几何问题

7.[2018信阳二模]某校在一公园内举行定向越野挑战赛.路线图如图（1）所示，点£为矩形ABCD这4?的中点，在矩形

腼的四个顶点（监测点）处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员户从点2出发，沿着B-E—D也

路线匀速行进，到达点〃停止.设运动员P的运动时间为，，到某监测点的距离为y.若y与t的函数关系的图象大致

如图（2）所示，则这个监测点是（B）

图(1)图(2)

A.监测点。B.监测点。

C.监测点BD.监测点A

8.[2020许昌二模]如图⑴,4?是半圆0的直径，点C是半圆。上异于点46的一点，连接AC.BC.点/，从点A出发，沿折

线4方以1cm/s的速度匀速运动到点"图⑵是点P运动时△*5的面积Mem）与时间Ms）之间函数关系的图象（当

点户与点A或点5重合时，令片0）,则点〃的横坐标为（A）

图⑴图⑵

A.a+2B.2C.a*3D.3

9.［2020濮阳模拟］如图(l),在等边三角形48。中，点。是成,的中点，点P为4;上一动点，连接PD.设AP=x、PD=y，岩y

与x的函数关系的大致图象如图(2)所示，则-的周长为(A)

»c

图⑴图⑵

A.12B.6C.4D.2

10.［2020洛阳一模］如图(1),在△』力中,°,£广分别是边4ca•上的动点(点£不与点4,(、重合)，且AE=CF,D

是，俗的中点，连接DE、DF,EF、设跖=苍△期的面积为匕图⑵是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是(C)

A.△田■.是等腰直角三角形

B.0=1

C.△阳1■的周长可以等于6

D.四边形碗下的面积为2

11.(2020南阳宛城区一模］如图(I),在Rt44%中,N〃B=90。，点。为〃■边的中点，动点尸从点〃出发，沿着H

的路径以每秒1个单位长度的速度运动到3点，在此过程中线段CP的长度j，与运动时间M秒)的函数关系图象如图

(2)所示，贝I］比"的长为_竿二.

2+vn*

图(1)图（2）

题型二平面直角坐标系中的规律探索

®类型1旋转型

1.如图，在平面直角坐标系中,四边形以比、是正方形，点4的坐标为（3,3）,点〃是边找的中点，现将正方形以贸,绕点0

顺时针旋转，每秒旋转45。，则第2020秒时，点。的坐标为（D）

A.（苧,-3/）B.（-3或,-苧）

a（一律山（塌）

2.如图,在平面直角坐标系中，已知菱形/f及方的顶点仄0,1）204即50。，动射线。户与菱形的边相交于点R若射线OP

从OA开始，绕点。按顺时针方向旋转，速度为每秒15。，则第2020s时，点户的坐标是（A）

C.(gO)D.(喂)

3.如图，菱形4及力的顶点〃在y轴上，边加与.1，轴交于点£且血加了轴,40,5次）,/1（-3,275）,把菱形被力绕坐标原

点〃顺时针旋转，每次旋转60。，则第63次旋转结束时，点C,的坐标为(D)

A.(5V3,6)B.(-575,-6)

C.(-6,573)D.(-6-5V3)

4.[2020开封一模]如图，指针例如分别从与、轴正半轴和y轴正半轴重合的位置出发，绕着原点。顺时针转动，已知

0A每秒转动45°M的转动速度是0A的翔第2020秒时,N4位的度数为（C）

A.130°B.145°C.150°D.165°

5.[2020许昌一模]如图，在正方形1及力中，顶点4（T,0）,QI,2）,点B在'轴正半轴上，点F是应'的中点，⑦与y轴交于

点&AF与跖交于点6.将正方形ABCD绕氤。顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G的坐标为（B）

A•瑞）B.（噗）

（第5题），（第6题）

⑥类型2翻滚型

6.如图，在平面直角坐标系中,□△CM8的顶点儿?的坐标分别为将Rt△物。沿x轴向右做无滑动滚动，

则经过40次滚动后，点4的坐标为（B）

A.（39+13百,V5）B.（39+1475,0）

C.（42+14V3,V3）D.（42+15V3.0）

7.如图，一段抛物线尸4用M0WA<4）,记为G,它与x轴交于点将抛物线G绕点4旋转180°得C,交*轴于点

4；将C绕点4旋转180。得应交x轴于点4……如此进行下去，直至得到若点/佃3）在Cw上，则实数m=_S

081或8083.

®类型3渐变型

8.[2019湖北鄂州]如图,在平面直角坐标系中，点4,4,4,…,4在x轴上，点8区,8,在直线y考x上,若4（1,0）,且

△484,丑4,…,△464,“都是等边三角形,从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为$55「“,$,则&可

A.22,，V3B.22,HV3C.22,,2V3D.

9.[2020湖南衡阳]如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（孝，苧），将线段6W绕点。按顺时针方向旋转45°，再将

其长度伸长为01\的2倍，得到线段期;又将线段Q/2绕点。按顺时针方向旋转15。，长度伸长为OR的2倍彳导到线

段OR；如此下去，得到线段。入M,…,。S为正整数），则点以为的坐标是（0,-2。.

«类型4徘徊型

10.[2020平顶山三模]如图,正方形力及力的四个顶点均在坐标轴上.已知点/!(-2,0),凤-3,0),点户是正方形ABCD也上

的一个动点，连接器将功绕点£逆时针旋转90"得到£五若点?从点,1出发，以每秒在个单位长度沿

4fAe-外/I方向运动，则第2020秒时，点尸的坐标为(C)

A.(-4,4)B.(5,-3)C.(-3,5)D.(-4,2)

11.[2020安阳二模]如图，在平面直角坐标系中,仍的顶点A的坐标为(2,1),顶点8的坐标为(2,0),将△//作如下

变换.第1次变换:先将/关于、轴作轴对称变换，再向右移动1个单位长度居到△4Q8;第2次变换:先将

△408关于x轴作轴对称变换，再向右移动1个单位长度居到△4Q8……依此规律，得到△“成w抠皿,.则点4侬

的坐标是(D)

A.(2020,1)B.(2020,-1)

C.(4042,1)D.(2022,1)

12.如图，在平面直角坐标系中,有一组边长为2的等边三角形，分别为△尻4抠，△民4风△氏4&/\居4层……若

点户从点。出发，沿-4一6一4一区一4一区一…以每秒1个单位长度的速度移动，则第2021秒时，点户的坐标是

孥

13.如图，而=。＞3,。庐2,〃是上一点,,4"力比：点P从点"出发，沿平行于的的方向运动到砥上的点A处，再沿平行

于/IC的方向运动到49上的点8处,然后沿平行于小的方向运动到4C上的点A处,继而沿平行于4？的方向运动到

及7上的点用处……则点月"的坐标为(，0).

y

题型三阴影部分面积、周长的相关计算

®类型I阴影部分面积的相关计算

1.[2017河南B卷]如图，把半径为2的0。沿弦4氏4,折叠，使Q和祀都经过圆心〃，则阴影部分的面积为（C）

样B.V3C.2V3D.4V3

（第2题）

2.[2020平顶山三模]如图，在RtZU施中,N4Q8=90°,如之,如=1,将RtZUQS绕点〃顺时针旋转90°后得Rt△7•法；将

线段即绕点?逆时针旋转90°后得线段分别以点Q,为圆心，如，硕的长为半径画经和5?,连接,44则图中阴影

部分的面积是(B

.14-n10-n

A-Bn—

C.HD.n+5

3.[2020河南省实验三模]有一张矩形纸片月及力，其中4介4,以A9为直径的半圆正好与及;边相切，如图（1）.将该纸片

沿叫点£在,仍边上）折叠，使A点落在曲■上，如图（2）,这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是:二_

V3.

图⑴

4.[2018黑龙江大庆]如图，在RtAW中,/〃》由0。，然=及72将Rt△4完,绕点/I逆时针旋转30°后得到RQADE,

点5经过的路径为弧能则图中阴影部分的面积为

5.［2020平顶山三模］如图，将沿⑦方向平移得到Rt&EFD,D为及?的中点，连接AE.以点。为圆心，以切的

长为半径画弧，分别交阳跖于点咐：若N4%%30。，心2,则图中阴影部分的面积为_苧_.

6.如图，在等腰直角三角形,4砥中，/以090°,及大4企,分别以点用。为圆心、然的长为半径画弧,交斜边比■于点

7.(2019焦作二模］如图,已知点是以为直径的半圆。的三等分点，弧防的长为缸，过点6作BCLAE,交花的

延长线于点C则图中阴影部分的面积为_竽学_.

④类型2阴影部分周长与最值问题的综合

8.如图，在RtZUSC中,N阴。90°,M=4C=4,点〃在射线以上运动(不与点6重合)，以点4为圆心、，。为半径，在AD

的右侧作扇形49£使NZWQ90°,点尸为〃的中点，连接能则当外最短时，扇形49£的周长为•平.

---一L--

(第8题)

9.如图,在菱形4?切中,4〃=1,/上60。，点£是线段44上一动点(不与点4,8重合)，连接〃£将线段比.绕点〃逆时针

旋转60。，点万的对应点为点£连接仍；则△〃杼•周长的最小值为.

10.如图(1),在平面直角坐标系中,4(6,0),以0,275),点。在j，轴正半轴上，点。与坐标原点重合，且CDA.以切为直径

作圆，当点〃从初始位置沿x轴向右运动时，点。沿y轴向下运动，如图(2),设该圆与直线4?交于点££则在此运动过

程中,图⑵中阴影部分的周长的最大值为.

图⑴图⑵

11.如图,在矩形/腼中，，加3,除3次,作该矩形的外接圆，点P为矩形4«力内一动点,且满足反鬲S炬彩…则图中

阴影部分的周长的最小值为A：”.

(第11题)P々第12题)

12.如图,在扇形4如中,N4Q5=90°,点C在筋上，且4%a0。，点P是线段加上一动点.若3-2,则图中阴影部分

周长的最小值是-煞6_.

题型四圆的相关证明与计算

®类型1与圆有关的证明与计算

1.(2020四川宜宾］如图，已知/的是0。的直径，点('是圆上异于点44的一点，连接及"并延长至点。，使CD=BC,连接AD

交00于点£连接的力C

(1)求证:△4®是等腰三角形；

(2)连接“并延长，与以点8为切点的切线交于点£若，仍=4,b=1,求加'的长.

⑴证明：：如?是。"的直径，

/4啰=90°,

.,.ACLBD.

又■.'BC=CD,

.：直线〃垂直平分线段助

.：AB=AD,

,：△4砌是等腰三角形.

(2):副是等腰三角形/。=做

；./BA吟/BAD.

・・・/BOC=/BAD.

7M是O0的切线,

・：N期R00.

：'44是0。的直径，

・：NAEBTO°二4()BR

••.△OBFS^AEB、

.OBOF

AB'

•JABA

・：()C二OB争B2M)二ABA

・・・OF=OC+CFA

4

r.DE=AD-AE^.

2.如图，9为。。的直径，过。0外的点〃作〃反1力于点£射线a:切0。于点C交仍的延长线于点产，连接然交DE

于点片过点C作QAB于点H.

⑴求证:N加2N4

⑵若出-2,cosN氏求〃'的长.

⑴证明:连接0C.

：7T切。〃于点(；.：Na用90°,

"P+/BOC6.

•・•DEIAP,・，・/P+/D郑)；

"COB=/D.

根据圆周角定理可得户2/力,

・：N%2N4

(2)由(I)可知NC7用=/〃，

."cosZ6W=cos娓,

.OH_3

**ocT

设7〃的半径为八则0—则子

•:尸=5,

.:好5-2考,

.\CH-4、AH=()AM)H心埒A,

.'.ACy/AH2+CH2V82+42lV5.

3.[2020陕西]如图,a'是。。的内接三角形,N两。=75。/做=5°.连接40并延长，交O0于点4连接BD.过点

。作。0的切线，与BA的延长线相交于点£

(1)求证:49〃比

(2)若(48=12,求线段EC的长.

⑴证明:如图，连接*

:与。〃相切于点。

.".OCLEC.

.•.ZAOC^.ZABC=90°，即OCLAD,

.\AD//EC.

⑵如图，过点.4作"工&；垂足为/,；则四边形.4庞尸为矩形.

:.:四边形，阳■■为正方形，

:.AF=CF=OA.

：2极M45。/BACT5",

.：ZJ<^=180°-45°-75°=60°,

•：ZP=60°.

:力〃是。〃的直径，

.：/小〃=90°,.：N=30°,

.:在RtZ\4%9中,」〃二^用国,

cos300

:AD"EC、.：Z£=N劭"30°,

.:在RtZU阳中，"、焉=12,

."Q/:六"-12+1VI

@类型2圆背景下的特殊四边形的动态探究题

4.[2020郑州适应性测试]如图，在RtZ\48C中,N/130。，以斜边47上的中线⑺为直径作分别与4C%交于点

E,F.过点尸作。。的切线交.48于点M.

⑴求证:好工破

⑵若0。的直径是6,填空：

&连接0F、0M,当FM=：3时,四边形6M!正是平行四边形；

强旌接然例当时，四边形(砌•是正方形.

⑴证明:连接OF,

:CD是RtZiUa'斜边上的中线，

:.CD=BD,

...ZDCB=NB.

,.,0C=0F,

；./0CF=/0FC,

二乙0FC=4/3,

.,.OF//BD.

：/1/是。。的切线，

.；/0网=90"

.：NFMB=90°,g|]MFLAB.

(2)®3

(g6V2

解法提示:①当四边形〃短步是平行四边形时,"〃/〃/阳

又点”是⑶的中点，.：点£,，/分别是线段出的中点，

.㈤/是△以射的中位线,.：/■；吟⑦=3.

②当四边形成勿;是正方形时,NB35:

又/)C=DA,，NA=NDCAA5。，工/期=90°,

.,.AC-V2(7)-f>y/2.

5.[2020河南省实验三模]如图，在RtZ\4?f中,N为C=90°,NG=30。，以4c边上一点。为圆心,04长为半径作OQOO

恰好经过比'边的中点〃,并与4c边相交于另一点F.

(1)求证:物是0。的切线.

⑵若48=75,£是府上一动点，连接AE,AD,DE.填空：

①S靛的长度是!”时,四边形ABDE是菱形;

②3黛的长度是gn或“时,是直角三角形.

--------3------------------

⑴证明:连接00.

丁在RtAUC中，/川GOO。，/CW0°,

.\AB=^BC.

丁〃是火的中点，

"BA3/BDA.

VOA=ODt

・・・/OAD=NODA,

・：NODB=/BAO§Q：

即0D1BD、

,:"是。。的切线.

(2)靖五

②畀或冗

解法提示：。旌接⑼

:四边形/朦是菱形，

.\AE=DE.

7/DOC0-30°W0°,

,：/4勿刁20°,,：/力劭巧0°,

,：△力比’是等边三角形，

r.AD=DE=AE,

/.ADDEAE.

在RtZ\45r中,NC30°,

.：6C之初~2V5,.：O?V5,

••・OD:CD・tanUx£,

..2nxl2

②：,/,介60°,.：分两种情况讨论.

当/4后90。时，点/：与点/」重合，此时公驾

当/〃45为0’时,〃ZT是O。的直径.

由百乙4aM20°,

.：4峪60°,

1

.•・此iL时Ln-/+&f601TX1q1".

综上可知,当⑪的长度是gn或H时,△/〃/：.是直角三角形.

6.[2020洛阳三模]如图，已知4斤是O。的直径,依切。0于点产，过4作理的垂线交小于点C交。。于另一点连接

PA,OP.

(1)求证:4户平分NGL5.

(2)若点P是直径上方。0上一动点,。0的半径为2.

①当弦4p的长是时，以点4Q/Q为顶点的四边形是正方形；

②SQ的长度是—鱼匣泊—时，以点4〃,。/为顶点的四边形是菱形.

⑴证明：：7T切O。于点A

，OP工PC.

VACLPC,

.\AC//O1\

・：ZCAP=NAP().

V()P=OAt

・：NOAP=/APO,

・・・/CAP=/OAP,

,"尸平分N。反

⑵郎历

吟吟

解法提示:①：,四边形次乃。是正方形，

・：N4FR00,

，八PFOA2rL

②当点〃在线段CA的延长线上时，如图(I),

:‘四边形/为菱形，

.\AP=OP.

又OP=OA,

「△如尸是等边三角形，

AZAOP=60°,

..60xnx22

,"QF5-H”.

当点〃在线段々上时，如图⑵，连接切,

图(2)

丁四边形月加9为菱形，

.\DP=AD=OA=OP.

又OP=OD=OA,

.：△"火切是等边三角形,

・：/AOD=/DOP软：

二N/。片120°,

..120xnx24_

,•公-180-L

综上可知，崩的长为立或如

7.[2019郑州一中三模]如图是等腰三角形的外接圆,4户区延长比■至点〃，使⑦刃，连接交00于点£

连接BE£E,BE交4C于点F.

⑴求证:血

(2)填空：

①当NABC=60时,四边形4a若是菱形；

鳏4£=百,心2企厕座的长为_竽_

(1)证明：：•四边形ABCE为的内接四边形,

.：ZABC=ZCED,NDCE=^BAE.

VAB--AC,.：/ABC=/ACB,・・・/CED=/ACB.

又：2AEB=NACB,,：NCED=Z.AEB.

VAB=ACtCD=ACt/.AB-CDt

•,.△AB—4CDE,

••・CE=AE.

(2)(060°

,5V3

-?----

3

解法提示:B接以则OE=OA.

丁四边形力众方为菱形,•

・"0=力拄";・：△力如是等边三角形,・：N/1〃W6)°,

.：/」"120,.：/J/7r-iz.wixi2()6().

，②由题知CIi-\!：-y[3j)C-.\L^42.

•・•/DEC=4DBA/D=4D、

•:△阳S△〃创，

,DC_CEHn2V20

"DAAB,Bi~DA77!'

...86丙5历

..a二〃彳.1/：^-v3^-.

8.[2020平顶山三模]如图，创为半圆。的半径,,如_力。且四二力，〃为半圆。上一点，连接力，作口过点。作半圆0

的切线CD交力。的延长线于点Q切点为〃，连接PD.

⑴当阳〃四时，求证:期隔

⑵直接回答，当。等于多少度时尸必比为菱形；

⑶连接仍当点P落在线段如上，且的号5时，直接写出切的直

⑴证明:连接加，延长CP交/W于点£

Q

7力zu_/fa•:n创向0°.

在口必砥中,AB二PC、AB〃PC,

，PC，AO,/PEOtQ°.

VPD//AQ,

•••/CP2/PEO4Q"、4O)P=/Q.

丁(力为半圆〃的切线，点〃为切点，

」OD=AOtOD1.CQ、・"ODQK°=/CPD,PC=OI).

又/CDP二/Q、

••.△PCgXDOQ於CD=OQ.

(2)当/必任&)'时尸必成为菱形.

解法提示:连接曲则OP-OA.

当门加％是菱形时,“小自

又AB二OA、JAP=O/kOP,

「△力8是等边三角形,.：/用缶60°.

(3)2^272.

解法提示:如图，连接以仪;延长CP交OA于点

由题意知出-伊-•廿”-〃〃W5,且△明?为等腰直角三角形，

，OE—*\..,・CE岳

在Rt△他冲，由勾股定理可得“二〃〃d+泛+1)=1义夜.

在I“△他.中，由勾股定理可得CD=(K'OD=\>2yf2(夜)22衣.

题型五阅读理解题

1.阅读下列材料，并完成相应任务.

古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出:能否将一条线段分成不相等的两部分,使较短线段与较长线段的比

等于较长线段与原线段的比?这就是黄金分割问题.后来得到这个相等的比就是与L。.618033988749….黄金分

割在我们生活中有广泛的应用，黄金分割点也可以用折纸的方式得到,如下：

第一步:如图，裁一张正方形纸片/以刀，先折出欧的中点£再展平，然后折出线段］£；最后展平；

第二步:将纸片折叠，使/为落到线段取上,折痕为对犷的对应点为"，展平;

第三步:将纸片折叠，使/打落在//上，折痕为4'1'的对应点为8〃，展平.

这时B〃就是熊的黄金分割点.

任务：（1）试根据以上操作步骤证明B”就是AB的黄金分割点；

⑵请写出一个生活中应用黄金分割的实际例子.

⑴证明:设正方形八RCD的边长为2,则BE1,

由折■可知,EB'=EB=L

在^AABE中,VVAB2+BE2V22+I2V5,

...计「\lIB'-Vs-I.

由折纸第三步得八B”二AB,二遥1,

.AB"V5-1

**AB*-T-1

VBB//AB-AB3-V5.

.BB^3-百底1

.,AB17=V5-1-21

・•,点B"是AB的黄金分割点.

⑵舞台上的报幕员站在舞台长度的黄金分割点的位置时最美观.（答案不唯一，正确即可）

2.阅读材料并完成相应任务：

婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中就包括他提出的婆

罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）.

婆罗摩笈多定理:若圆内接四边形的对角线相互垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.

下面对该定理进行证明.

已知:如图⑴，四边形ABCD内接于。0,对角线AC±BD于点P,PM±BC于点此延长MP交AD于点N.

求证:AN=ND.

证明:・・・AC_LBD,PM_LBC,

・・・NBPM+NPBM=90°,NPCB+NPBC=90°,

JZBPM=ZPCB.

任务：

⑴请完成该证明的剩余部分；

⑵请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题:如图⑵，已知戊△ABC中,NBAC=90°,AB=AO4,BC,AC分别交00于点D,E,连

接AD.BE交于点P,过点P作MN〃BC,分别交DE.AB于点M,N.若AD_LBE,求NP的长.

图⑴图(2)

解:⑴又NNPD=NBPM,NADP=NPCB,

.,.ZNPD=ZADP,/.ND=NP.

VZNPD+ZNPA=90",NADP+NDAP=90°,

:.ZNPA=ZDAP,.\AN=NP,:,AN=ND.

(2)VZBAC-90°,

ABE是Q0的直径:ZBDM-900.

又MN〃BC「・MNJ_DE.

又AD±BEf.'.AN=NB,

，'吟B=2.

3.请阅读下列材料,并完成相应的任务.

三等分角

三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图⑴，容熹锐角ABC可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角,

以B为端点的射线交CA于点E,交DA的延长线于点F,若EF=2AB,则射线BF是NABC的一条三等分线.

图(1)图(2)

证明:如图⑵，取EF的中点G,连接AG.

任务：

⑴完成材料中的证明过程.

图⑶

⑵如图(3),矩形ABCD中,对角线AC的延长线与外角ZCBE的平分线交于点F.若BF^AC,则NF=30。.

解:(I)如图，:四边形ADBC是矩形，

.,.AD±AC,ADZ/BC,

・・・NF=N4.

V在加ZXAEF中，点(；是EF的中点，

.,.AG-iEF-FG,

・・・N1=NF,

，N2=2NI；=2N4.

又：EF=2AB,

.,.AB=AG,.'.N3=N2,工Z3=2Z4,/.ZABC=3Z4,

，射线BF是/ABC的一条三等分线.

(2)30°

解法提示:取AC的中点H,连接BH.

易知NFBE=45",

，NFAB+NF=45°.

VZCBA=90°,

.,.BH-iAC-AH-BF,.*.ZHAB-ZHBA,/FH】//F,

Z.ZFHB-2ZHAB,.-.ZF-2ZEAB,.-.1zE+ZI--151,

/.ZE=30°.

4.[2020山西]阅读与思考

下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

X年X月X日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面的材料:木工师傅有一块如图⑴所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线八8,现

根据木板的情况，要过AB上的一点C,作出AB的垂线，用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一:如图⑴，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30然后分别以D,C为圆心，以50。必与40面为半径画圆弧，两

弧相交于点E,作直线CE,则NDCE必为90°.

办法二:如图(2),可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,\两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合,用铅笔

在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上,在木板上将点M对应的位置标记为

点R.连接RQ并延长，在延长线上截取线段QS=MM得到点S,作直线SC,则NRCS=90°.

我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

任务：

⑴填空：“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那

么这个三角形是直耳三角形).

⑵根据“办法二”的操作过程，证明NRCS=90。.

图⑶

(3)①尺规作图:请在图⑶的木板上，过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).

⑴勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形)

⑵证明:由作图方法可知QR-QC,QS二QC,

・•・ZQCR-ZQRC,ZQCS-ZQSC.

jr・・NSRC+/RCS/RSC=l8(T,

••・NQCR+NQCS+NQRC+NQSO18(r,

.\2(ZQCR+ZQCS)=180o,

.•.ZQCR*-ZQCS=90°，即NRCS=90°.

⑶①如图，直线CP即为所求.

②答案不唯一，写一个即可.如:三边分别相等的两个三角形全等(或S£S);等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线

重合(或等腰三角形“三线合一”)；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

题型六函数综合题

®类型1反比例函数与一次函数结合

1.[2019安阳一模]如图,在平面直角坐标系中，反比例函数yT(k/0)与一次函数y=ax+b(aW0)的图象交于第二、四象

限的A,B两点，过点A作AD±y轴于点D,连接AO,已知OD=3,SAA»=3,点B的坐标为(n,-l).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

⑵请根据图象直接写出ax+bN；的自变量x的取值范围.

解:⑴・・・ADJ_y轴，

AS•AD,

又SVin—3,OD—3,

.•.a-ixBXAD.AAl)2,

.••点A的坐标为「2,3).

把A(2,3)代入y?中，得k=6,

故反比例函数的解析式为>4

当y-104,---l,.'.x-6t.,.B(6,1).

把A(-2,3),B(6,T)分别代入y-ax+b中,

a=4,

-2a+b=3,解得.

得，

6a+b=-1,.b=2,

故一次函数的解析式为y=丸七

(2)xW-2或0<xW6.

2.如图，在平面直角坐标系中尸ABCD的顶点A,B,C的坐标为A(l,0),B(3,l),C(3,3),反比例函数丫=3>0)的图象经过点D,

点P是一次函数y=kx+3-3k(kW0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.

⑴求反比例函数的解析式；

⑵通过计算说明一次函数kkx+3-3k(kW0)的图象一定经过点C;

⑶对于一次函数\=kx+3-3k(k区0),当y随x的增大而增大时，求点P的横坐标的取值范围.

解:⑴•.•四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD=BC,AD#BC.

VB(3,1),C(3,3),

.•・点B向上平移2个单位长度得到点C.

又点A的坐标为(1,0),

，点D的坐标为(1,2).

.反比例函数r争\>0)的图象经过点D(l,2),

二2与..反比例函数的解析式为y=^(x>0).

(2)当x=3时,v=kx43-3k=3k+33k=3,

二一次函数「kx-3-3k(kK0)的图象一定过点C.

⑶设点P的横坐标为a,

:一次函数尸kx+3-3k(kW0)经过点C,且y随x的增大而增大,

.\k>0,a<3.

当点P的纵坐标等于3时，将y-3代入V

X

得鸿.

易得点P的横坐标a的取值范围为，2<3.

@类型2反比例函数与几何图形结合

3.如图，点A是反比例函数位于第一象限的图象上的一点，过点A作x轴的垂线，垂足为点B,取AB的中点C.

⑴若点C的坐标为(2,2),求反比例函数的解析式.

⑵在⑴中所求得的k值条件下，作点C关于x轴的对称点D,再过点D作x轴的平行线,交反比例函数y=：位于第三象

限的图象于点E,若点A在反比例函数的图象上运动，则在此过程中,ZSCED的面积是否发生变化？如果发生变化，请写

出变化规律;如果不发生变化,请求出4CED的面积.

解:0)1.点C的坐标为(2,2),且点C是AB的中点，

...点A的坐标为(2,4),；.k=2X4=8,

...反比例函数的解析式为y1

(2)ACED的面积不发生变化.

设点A的坐标为(a9,则点C的坐标为(a$,点I)的坐标为(/

,.•DE〃K轴,.♦.点E的纵坐标为上.

a

八84z

T)---，得Bx-2(1,

xa

4

・••点E的坐标为(-2a,-2a)-3a.

又。吟(鸿

AS,,-i[EI)-CD-1^X3aX-8-12.

22a

4.[2019河南省实验三模]如图，在平面直角坐标系中有一矩形0ABCQ为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB

上的一个动点(不与点A.B重合)，过点E的反比例函数yT(x〉0)的图象与边BC交于点F,连接0E,EF.

⑴若△0AE的面积为S”且S,=l,求k的值；

(2)若0A=2,0C=4,当4BEF沿直线EF折叠，且点B恰好落在0C上时，求k的值.

解:⑴由点E在反比例函数广*训的图象上，设卜：出白口。0),・・5=|・xi・

,；S=1k-2

(分设A施;西直线日折叠，点B恰好落在0C上的点I)处，过点E作EGXOC于点G.

四边形OABC为矩形,()A=2,0C=4,

・・・E专2),I；(4$,・・.BE=41,BE=2.

由折叠可知,ED=BE-1*DF：BF=2%/EDF-/ABC-9(尸.

VZGED+ZEDG-900,ZEDG+ZFDC-90°,

，NGED=-△EGDs&w,

在/?zAli(；D中口;+GD-ED,即2-(ik)J-(4-|k)\

解得k:3.

④类型3函数图象与性质的探究

5.某班数学兴趣小组对函数产+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下,请补充完整.

X-1

(l)x与y的几组对应值列表如下：5

-3

2

53

--

32

则01二3;

⑵在疝函所示的平面直角坐标系中，已描出了以上表中各组对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分,请画出

该函数图象的另一部分.

(3)函数y=|^+1的图象是轴对称图形，对称轴是直线[；当x满足X”时,y随x的增大而减小;

⑷进一步探究函数图象发现：

①方程I工+1=2的解为x=0或x=2;

V-1-------------

②不等式；1+1〉2的解集为()、,x集或l，x;2.

解:⑴3

(2)画图如图所示.

(3)X=1X>1

(4)@x-0或x=2

②O〈x<l或Kx<2

6.[2020北京川、云在学习过程中遇到一个函数y=1x|(x:-x+l)(x>-2).

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

(1)当-2Wx<0时，

2

对于函数y1二|x|,即y尸-x,当-2Wx<0时,y随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x-x+l,S-2^x<0时,y随x

的增大而减小，且y2〉0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y,当-2Wx<0时,y陵x的增大而减小.

⑵当x20时，

对于函数y,当x20时,y与x的几组对应值如下表：

11

X0-2-3

2

117

y0——1——

1662

结合上表，进一步探究发现，当x20时,v随x的增大而增大.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出x'O时的函

数y的图象.

⑶过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线1,结合(1)(2)的分析，解决问题:若直线1与函数丫4卜(x?-x+l)(x2-2)的图象

O

有两个交点，则m的最大值是.

3--

解:⑴减小减小减小

(2)x20时的函数y的图象如图所示.

如图⑴，点D是前上一动点，线段BO8的点A是线段BC的中点，过点C作CF〃BD,交DA的延长线于点F.当△!)€「

为等腰三角形时,求线段BD的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题,请将下面的探

究过程补充完整：

⑴根据点D在R上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD,CD,FD的长度彳导到下表的几组对应值.

Wcm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/czff8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中发现：

①“当点D为优的中点时,BD=5.0cnf.则上表中a的值是5.0；

②“线段CF的长度无须测量即可得到”.请简要说明理由.

⑵将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数，分别记为ya)和妨,并在平面直角坐标系xOy中画

出了函数用的图象，如图(2)所示,请在同一坐标系中画出函数网的图象.

⑶继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值

(结果保留一位小数).

图(2)

解:⑴①5.0

②由题意可得,△ACFgZsABD,

/.CF=BD.

(2)y「的图象如图所示.

(3)y-的图象如图所示.

当△DCF为等腰三角形时，线段BD的长度约为3.5。见5.0阴或6.3c加(答案不唯一)

8.如图(1),半圆0的直径AB=5儆点M在AB上，且AM=1c他点P是半圆0上的动点，过点B作BQ1PM交PM(或PM的

延长线外点Q.设PM=x。见BQ=y(当点P与点A或点B重合时,y的值为0)

图⑴

小石根据学习函数的经验,对函数y随自变量X的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小石的探究过程,请补充完整：

⑴通过取点、画图、测量滑到了x与y的几组值，如下表:

XIi]122.533.54

y03.743.83.32.50

图(2)

(2)在如图(2)所示的由小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画

出该函数的图象.

⑶结合画出的函数图象，解决问题：

当BQ与直径AB所夹的锐角为60。时,PM的长度约为1.1或3.7(答案不唯一)cm.(结果保留一位小数)

解:⑴40

当x=4时，点P与点B重合，此时y=0.

⑵函数图象如图所示：

(3)1.1或3.7(答案不唯一)

解法提示:在々△BQV中，

:/Q=90°，/=60",

/.ZBMQ-