七年级上学期培优试卷

第2页（共3页）2023年03月03日初一数学素养卷一．解答题（共4小题）1．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线．（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝；（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A'，点B落在点B'，连接OA′．①如图2，当点B'在OA′上时，求∠COD的大小；②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．2．定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”．（1）如图1，若∠AOB＝45°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”，求∠AOC的度数．（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，同时，射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180°时，射线PQ，射线PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．3．课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝，∠C＝，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）4．【学科融合】物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．【问题解决】（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？（请把证明过程补充完整）理由：∵AB∥CD（已知），∴．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：．∴EF∥GH（）．【尝试探究】（2）如图2，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数．【拓展应用】（3）两块平面镜AB，BC，且∠ABC＝α，入射光线EF经过两次反射，得到反射光线GH，如图3，光线