高考数学二轮复习 专题跟踪检测（九）空间几何体的三视图、表面积与体积 理（重点生含解析）-人教版高三数学试题

专题跟踪检测（九）空间几何体的三视图、表面积与体积一、全练保分考法——保大分1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为eq\r(2)，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：选C依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于eq\r(2)，正视图的长是eq\r(2)，因此相应的正视图的面积等于eq\r(2)×eq\r(2)＝2.2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①所示，故其侧视图为图②.3．若将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为()A.eq\f(\r(3),24)πR3 B.eq\f(\r(3),8)πR3C.eq\f(\r(5),24)πR3 D.eq\f(\r(5),8)πR3解析：选A设该圆锥的底面半径为r，则2πr＝πR，∴r＝eq\f(R,2)，∴h＝eq\f(\r(3)R,2).因此V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),24)πR3.4．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1­BFEA.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)解析：选C由等体积法可知VB1­BFE＝VE­BFB1＝eq\f(1,3)S△BB1F·AD＝eq\f(1,6)×1×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,12).5．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．25π B．24πC．28π D．32π解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝eq\r(22＋(2\r(3)))2＝4，S表＝πr2＋ch＋eq\f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.6．(2019届高三·河北“五个一名校联盟”模拟)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A．13 B．14C．15 D．16解析：选C所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的，在长方体中还原该几何体如图中ABCD­A′B′C′D′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2×eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)×2＝15.7．(2018·开封模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.eq\f(2π,9) B.eq\f(π,3)C.eq\f(16π,3) D.eq\f(16π,9)解析：选D由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120°，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16,9)π.8．(2018·沈阳质监)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(8π,3)C.eq\f(16π,3) D.eq\f(32π,3)解析：选A由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×π×22×2＝eq\f(4π,3).9．(2018·武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(9,4)C.eq\f(9,2) D．3解析：选D由三视图可知，该几何体为三棱锥，记为A­BCD，将其放入棱长为3的正方体中，如图，则VA­BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×3＝3.10.如图，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E­ABCD的外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3) B．8πC．16π D．64π解析：选C由题知△EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，则△OGA为直角三角形，OG＝1，AG＝eq\r(3)，所以R2＝4，所以多面体E­ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.11．(2018·昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A．63π B．72πC．79π D．99π解析：选A由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＝63π.12．(2019届高三·武汉调研)一个几何体的三视图如图，则它的表面积为()A．28 B．24＋2eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)解析：选B根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可以看出该几何体是一个底面是梯形的四棱柱．根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，高为2，所以该几何体的表面积S＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×eq\r(22＋12)＝24＋2eq\r(5).13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球的表面积等于________．解析：由三视图可得该几何体的外接球等同于长、宽、高分别为5,3,3的长方体的外接球，故此几何体的外接球的表面积S＝π(52＋32＋32)＝43π.答案：43π14．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧视图的面积的最小值是________．解析：如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，当CD⊥AB，C1D1⊥A1B1时，侧视图的面积最小，此时D，D1分别是AB，A1B1的中点．易得CD＝eq\r(3)，则侧视图面积的最小值为2×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)15．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为________．解析：根据三视图还原几何体，其是由一个长方体被挖去半个圆锥后形成的，如图所示，因此所求的几何体的体积V＝2×1×2－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×π×12×2＝4－eq\f(π,3)＝eq\f(12－π,3).答案：eq\f(12－π,3)16.我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．其著名的应用是解决了“牟和方盖”中的体积问题．核心过程：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长R为2，若图中四分之一圆柱体BB1C1­AA1D1和四分之一圆柱体AA1B1­DD1C1的公共部分的体积为V，用平行于正方体上下底面的平面EFGH在高度h处去截两个四分之一圆柱体的公共部分，截得的面积为S1，截正方体所得面积为S2，截锥体C1­ABCD所得面积为S3，S1＝R2－h2，S2＝R2，S2－S1＝S3，则解析：由祖暅原理易得正方体ABCD­A1B1C1D1除去两个四分之一圆柱体的公共部分后所得几何体的体积等于四棱锥C1­ABCD所以V＝23－eq\f(1,3)×2×22＝eq\f(16,3).答案：eq\f(16,3)二、强化压轴考法——拉开分1．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则VA．4π B.eq\f(9,2)πC．6π D.eq\f(32,3)π解析：选B要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．当球与三棱柱的三个侧面都相切时，球的半径为eq\f(6＋8－10,2)＝2，这时球的直径大于三棱柱的高，不符合题意．当球与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值eq\f(3,2)，此时球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.2．(2018·南宁模拟)三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P­ABC的外接球的体积为()A.eq\f(27,2)π B.eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)π D．27π解析：选B∵在三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥P B.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3)，∴其外接球半径R＝eq\f(3\r(3),2).因此三棱锥P­ABC的外接球的体积V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))3＝eq\f(27\r(3),2)π.3．(2019届高三·洛阳第一次联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为()A.eq\f(8\r(2),3)π B.eq\f(8\r(3),3)πC.eq\f(8\r(6),3)π D.eq\f(16\r(2),3)π解析：选A将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2eq\r(2).因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R＝2eq\r(2)，则球O的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.4.(2018·唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为()A．10eq\r(3)cm B．10cmC．10eq\r(2)cm D．30cm解析：选B依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq\r(2)cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10eq\r(2)cm，AS＝20cm，所以O到SA的距离d＝10cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10cm，所以球心为四棱锥底面5.某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长棱的棱长是()A.eq\r(5) B.eq\r(6)C.eq\r(7) D．3解析：选A由三视图可知该几何体为一个三棱锥D­ABC，如图，将其置于长方体中，该长方体的底面是边长为1的正方形，高为2.所以AB＝1，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，CD＝eq\r(2)，DA＝2，BD＝eq\r(5)，因此最长棱为BD，棱长是eq\r(5).6．(2018·长春质检)已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB＝6，BC＝2eq\r(3)，且四棱锥O­ABCD的体积为8eq\r(3)，则R等于()A．4 B．2eq\r(3)C.eq\f(4\r(7),9) D.eq\r(13)解析：选A如图，设矩形ABCD的中心为E，连接OE，EC，由球的性质可得OE⊥平面ABCD，所以VO­ABCD＝eq\f(1,3)·OE·S矩形ABCD＝eq\f(1,3)×OE×6×2eq\r(3)＝8eq\r(3)，所以OE＝2，在矩形ABCD中，可得EC＝2eq\r(3)，则R＝eq\r(OE2＋EC2)＝eq\r(4＋12)＝4.7．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝2，点M在平面ACB1内运动，则线段BMA.eq\f(\r(6),2) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(6),3) D．3解析：选C线段BM的最小值即点B到平面ACB1的距离h.在△ACB1中，AC＝B1C＝eq\r(5)，AB1＝2eq\r(2)，所以AB1边上的高为eq\r(5－2)＝eq\r(3)，所以S△ACB1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).又三棱锥B­ACB1的体积VB­ACB1＝VA­BB1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×2＝eq\f(2,3)，所以VB­ACB1＝eq\f(1,3)×eq\r(6)h＝eq\f(2,3)，所以h＝eq\f(\r(6),3).8．(2019届高三·南昌调研)已知三棱锥P­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：选B取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2eq\r(2).9．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为________．解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为eq\r(2)a，圆锥的底面半径为eq\f(\r(2),2)a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为eq\r(2)a、短轴长为a，其离心率e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2)a)))2)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)10．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析：在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝eq\f(1,2)·SA2＝8，解得SA＝4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r＝2eq\r(3)，h＝2，所以圆锥的体积为eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.答案：8π11．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则平面CBF将几何体EFABCD分成的三棱锥与四棱锥的体积的比为________．解析：由题意可知，平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V四棱锥F­ABCD，V三棱锥F­CBE.过点F作FG⊥AB于点G(图略)，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，FG⊂平面ABEF，所以FG⊥平面ABC D.