高考数学二轮复习 压轴小题组合练（C）文-人教版高三数学试题

压轴小题组合练(C)1.已知函数f(x)＝x3－6x2＋3tx＋c的单调递减区间为(1，m)，则m＋t等于()A.4B.5C.6D.7答案C解析由f(x)＝x3－6x2＋3tx＋c得f′(x)＝3x2－12x＋3t.因为函数f(x)＝x3－6x2＋3tx＋c的单调递减区间为(1，m)，所以不等式x2－4x＋t<0的解集为(1，m)，所以1，m是方程x2－4x＋t＝0的两个实数根，所以1＋m＝4，即m＝3，t＝1×m＝3，所以m＋t＝6.2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A.{1,3} B.{－3，－1,1,3}C.{2－eq\r(7)，1,3} D.{－2－eq\r(7)，1,3}答案D解析当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3，由g(x)＝0，得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3，由g(x)＝0，得x＝－2＋eq\r(7)(舍)或x＝－2－eq\r(7).所以g(x)的零点的集合为{－2－eq\r(7)，1,3}.3.在Rt△ABC中，CA＝4,CB＝3,M,N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4，6))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(119,25)，\f(48,5))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(144,25)，\f(53,5)))答案C解析以C为坐标原点，CA,CB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,3),lAB：y＝3－eq\f(3,4)x，设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，3－\f(3,4)a))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，3－\f(3,4)b))，假设a<b，因为MN＝2，所以a＝b－eq\f(8,5).eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(25,16)b2－7b＋eq\f(63,5)＝eq\f(25,16)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(56,25)))2＋eq\f(119,25)，又eq\f(8,5)≤b≤4,所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(119,25)，\f(48,5))).4.(2018·河南省安阳35中模拟)已知三棱锥D－ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2eq\r(2)，若三棱锥D－ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为()A.8π B.9πC.eq\f(25π,3) D.eq\f(121π,9)答案D解析由AB＝BC＝2，AC＝2eq\r(2)，可得AB2＋BC2＝AC2.所以△ABC为直角三角形，且AC为斜边.所以过△ABC的截面圆的圆心为斜边AC的中点E.当DE⊥平面ABC，且球心O在DE上时，三棱锥D－ABC的体积取最大值.因为三棱锥D－ABC体积的最大值为2，所以eq\f(1,3)S△ABC·DE＝2，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×DE＝2，解得DE＝3.设球的半径为R，则AE2＋OE2＝AO2，即(eq\r(2))2＋(3－R)2＝R2，解得R＝eq\f(11,6).所以球O的表面积为4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))2＝eq\f(121π,9).5.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2且与双曲线有且只有一个交点，直线l与一条渐近线交于点P，且∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.2C.eq\r(3)D.3答案B解析如图，设∠PF1F2＝θ，则∠PF2F1＝2θ，由题意知，直线l与一条渐近线平行，所以∠POF2＝∠PF2O＝2θ，所以|OP|＝|PF2|，又∠POF2＝∠PF1O＋∠OPF1，所以∠OPF1＝∠OF1P＝θ，所以|OP|＝|OF1|＝c，又|OF2|＝c，所以|OP|＝|OF2|＝c，故△POF2为正三角形，所以2θ＝eq\f(π,3)，即θ＝eq\f(π,6)，所以eq\f(b,a)＝tan2θ＝eq\r(3)，所以e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，故选B.6.(2018·江西省南昌八校联考)已知AB是平面α的斜线段，A为斜足，若AB与平面α成60°角，过定点B的动直线l与斜线AB成60°角，且交α于点P，则动点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线答案D解析过定点B的动直线l与AB所成的角为60°，则直线l的轨迹是以AB为轴的圆锥，又因为直线AB与平面α所成的角为60°，可得存在一条直线l∥平面α，即平面α与圆锥的一条母线平行，由平面α截圆锥的表面所得的轨迹为一个抛物线，即点P的轨迹为抛物线.7.如图，AB∩α＝B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB＝45°，则点P在平面α内的轨迹是()A.双曲线的一支 B.抛物线的一部分C.圆 D.椭圆答案D解析用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.此题中平面α上的动点P满足∠PAB＝45°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面α所成的角为75°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动点P的轨迹是椭圆.8.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为()A.3 B.2eq\r(2)C.eq\r(5) D.2答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EC＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，即圆C的半径为eq\f(2\r(5),5)，∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).设P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cosθ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sinθ))(θ为参数)，而eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,0).∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝eq\f(1,2)x0＝1＋eq\f(\r(5),5)cosθ，λ＝y0＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ.两式相加，得λ＋μ＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ＋1＋eq\f(\r(5),5)cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(\r(5),5)，cosφ＝\f(2\r(5),5)))，当且仅当θ＝eq\f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.9.(2018·西安质检)已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))≤0的M点的概率为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(2\r(6),3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(1,2)答案C解析因为椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，即c＝eq\r(3).设P(x0，y0)，其中y0>0，则当∠F1PF2＝90°时，＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×y0＝b2·taneq\f(∠F1PF2,2)＝taneq\f(90°,2)＝1，所以y0＝eq\f(\r(3),3).把y0＝eq\f(\r(3),3)代入椭圆方程可得x0＝±eq\f(2\r(6),3).由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))≤0，可得∠F1PF2≥90°.所以使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))≤0的M点的概率为P＝eq\f(\f(2\r(6),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3))),2a)＝eq\f(\f(4\r(6),3),4)＝eq\f(\r(6),3).10.(2018·北京朝阳区模拟)某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是()A.甲 B.乙C.丙 D.丁答案D解析①若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；②若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；③若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；④若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意，故选D.11.在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”.则下列命题中：①若A(－1,3)，B(1,0)，则有d(A，B)＝5；②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；③若C点在线段AB上，则有d(A，C)＋d(C，B)＝d(A，B)；④到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x＝0.真命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案C解析由题意①中d(A，B)＝|－1－1|＋|3－0|＝5，所以①对；②中设P(x，y)，d(P，O)＝|x－0|＋|y－0|＝1，即|x|＋|y|＝1，是一个正方形，②错；③中，由于C点在线段AB上，由绝对值的几何意义可知，d(A，C)＋d(C，B)＝d(A，B)，所以③对；④中，设动点P(x，y)，则d(M，P)＝d(N，P)，即|x＋1|＋|y|＝|x－1|＋|y|，解得x＝0，所以④对.12.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－1，x>0，,－ln－x，x<0))有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是()A.(－∞，0) B.(0,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.(0，＋∞)答案B解析根据题意可知，“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝lnx(x>0)的图象，使它与函数y＝kx－1(x>0)图象的交点个数为2个即可.设切点为(m，lnm)，y＝lnx的导数为y′＝eq\f(1,x)，可得km－1＝lnm，k＝eq\f(1,m)，解得m＝1，k＝1，可得函数y＝lnx(x>0)过点(1,0)的切线斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时有两个交点，符合题意.13.已知点A，B分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________.答案x±y＝0解析如图所示，过点P作PC⊥x轴，因为|AB|＝|PB|＝2a，∠PBC＝60°，所以|BC|＝a，yP＝|PC|＝eq\r(3)a，点P(2a，eq\r(3)a)，将P代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，得a＝b，所以其渐近线方程为x±y＝0.14.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1,3Sn＝(n＋2)an，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a100)的值是________.答案eq\f(200,101)解析∵3Sn＝(n＋2)an，∴当n≥2时，3Sn－1＝(n＋1)an－1，∴3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，∴eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)，∴an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(3,1)×eq\f(4,2)×…×eq\f(n,n－2)×eq\f(n＋1,n－1)＝eq\f(nn＋1,2)(n≥2)，当n＝1时，eq\f(1×2,2)＝1＝a1满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)，eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a100)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋2eq\b\lc\(\rc\