第1章 二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）

第1章二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江杭州·九年级期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（

）A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x＋3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2＋2 D．y＝（x﹣3）2﹣22．（2022·浙江·九年级专题练习）已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（

）A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，23．（2022·浙江·九年级专题练习）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（

）A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+4．（2022·浙江·九年级专题练习）若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（

）A．4 B．9 C．12 D．﹣55．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣56．（2022·浙江·九年级专题练习）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（

）（精确到0.1）A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.37．（2022·浙江·九年级专题练习）抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（

）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n8．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（

）A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝29．（2022·浙江·九年级专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)210．（2022·浙江台州·九年级期末）抛物线y＝（x−2）2＋3的顶点坐标是（

）A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）11．（2022·浙江·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）212．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）已知一元二次方程2x2+bx1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx1的图象上有三个点（0，y1）、（1，y2）、（y3），则y1，y2，y3的大小关系为（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y213．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（

）A． B．C． D．二、填空题14．（2022·浙江·九年级专题练习）如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为__．15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．16．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是_________．17．（2022·浙江金华·九年级期末）如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为______m．18．（2022·浙江·九年级专题练习）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是__．19．（2022·浙江·九年级专题练习）将抛物线y＝ax2＋bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是___．20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为__；自变量x的取值范围为__．21．（2022·浙江·九年级专题练习）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______．22．（2022·浙江台州·九年级期末）抛物线的顶点坐标为_____．三、解答题23．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．24．（2022·浙江金华·九年级期末）已知抛物线．(1)求抛物线与x轴的交点坐标．(2)求抛物线的顶点坐标．25．（2022·浙江·九年级专题练习）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝8，求y关于x的解析式．26．（2022·浙江·九年级专题练习）在y＝ax2+bx+c中，当x＝2时y的值是﹣15，x＝1时y的值是﹣9，x＝﹣1时y的值是﹣3，求a，b、c的值．27．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，则y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．28．（2022·浙江金华·九年级专题练习）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【典型】一、单选题1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（

）A． B． C． D．2．（2021·浙江杭州·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021·浙江·九年级专题练习）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（

）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s4．（2021·浙江温州·九年级期中）小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（

）A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x二、解答题5．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？6．（2022·浙江·九年级专题练习）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．7．（2021·浙江温州·三模）在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2bx+c的图像交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）．(1)求出b和c的值．(2)二次函数图像上一点M向上平移2m（m＞0）个单位得到M′，若M′再向左平移2m个单位，可以与抛物线上的点P重合；若M′再向右平移m个单位，可以与抛物线上的点Q重合，求出M点的坐标．8．（2021·浙江·绍兴市元培中学九年级阶段练习）如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足抛物线解析式．已知球达到最高2.6m的D点时，与M点的水平距离EM为6m．（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；（2）球网BC与点M的水平距离为9m，高度为2.43m．球场的边界距M点的水平距离为18m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．9．（2021·浙江宁波·二模）某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．⑴假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；⑵每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？【易错】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•上城区期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣ C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）2．（2022•西湖区校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值13．（2022•鄞州区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022•柯城区二模）当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（）A．2 B．±2 C．2或 D．2或5．（2022•义乌市校级开学）如图，已知点A（，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（）A．a＝2，b＝﹣ B．a＝，b＝﹣ C．a＝3，b＝﹣ D．a＝﹣，b＝6．（2022•临安区一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2二．解答题（共8小题）7．（2022•拱墅区校级开学）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式；（2）若n＝m﹣2，且当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若该函数的图象经过（0，s），（4，t）两点（s，t是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：9＜st＜16．8．（2022•临安区一模）设二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m2+2m+2（m是常数）．（1）当m＝3时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）试判断二次函数图象与x轴的交点情况；（3）设二次函数的图象与y轴交于点（0，n），当﹣2≤m≤2时，求n的最大值．9．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k．（1）若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式；（2）若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围；（3）若在k≤x≤2k﹣3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值．10．（2022春•拱墅区校级期末）如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB＝18米），另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．11．（2022春•西湖区校级期末）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y＝ax2+bx，当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；（2）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．12．（2022•海曙区校级模拟）某城市发生疫情，第x天（1≤x≤15）新增病例y（人）如下表所示：x1234…11…y2112235…182…（1）疫情前15天的人数模型基本符合二次函数y＝ax2+bx+c．根据图表，求出二次函数解析式．（3）由于疫情传染性强，第15天开始新增病例人数模型发生变化，第x天（x≥15）新增病例y（人）近似满足y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13）．请预计第几天新增病例清零．（3）为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需当天提供一张病床的要求，政府应该在哪一天提供的病床最多？最多应该提供多少张？13．（2022•义乌市模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC＝2，∠BOC＝60°，D为BC中点．某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E．（1）点E的坐标为．（2）好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R．若y′＝PQ+PR，点P横坐标为x．y′关于x的图象如图2，其中图象最低点F、G横坐标分别为、﹣．①求y′与x之间的函数关系式．②写出该函数的两条性质．（3）已知1＜x＜4①若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：由x2﹣4x﹣m＝0得m＝x2﹣4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围，请你完成解题过程．②若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，求直接写出m的取值范围．14．（2022•鹿城区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

【压轴】一、单选题1．（2022·浙江·九年级专题练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·浙江温州·九年级阶段练习）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（

）A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小3．（2021·浙江杭州·三模）已知平面直角坐标系中的动点，，满足，，其中，给出下列说法：①动点可以运动到原点；②动点可以运动到第一象限；③动点在轴正半轴上；④动点在第三象限，其中正确说法的序号是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④二、填空题4．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）如图所示，设铁路，B，C之间距离为12，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，单位距离公路费用为4，在上的点M处修筑公路至C，使运费由A到C最省，则当的值为________时，运费最少为________．5．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．三、解答题6．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞0)与y轴交于点C(0，－8)，顶点D的纵坐标是－9．(1)求点D的坐标(用含b的代数式表示)；(2)若直线y＝kx－k(k≠0)与抛物线有一个交点A(x0，y0)；点(x，y)在抛物线上，当x＞x0时，y＞0；当0＜x＜x0时，y＜0．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移9个单位长度后，得到的新抛物线与直线y＝kx＋12交E，F两点，过点E，F的两条直线分别与新抛物线均只有一公共点，且这两条直线交于点P，直线PE与PF都不与y轴平行，求证：点P在一条定直线上．7．（2022·浙江·兰溪市实验中学一模）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．8．（2022·浙江湖州·九年级期中）抛物线过点A（－1，0），点B（3，0），顶点为C．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作，边EF交x轴于点F，当AF的长度最大时，求点E的坐标．9．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：时间x（分）0153045759095100110人数y（个）601151601952352401801200小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：(1)求曲线ABC部分的函数解析式；(2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？(3)如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？(4)疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时