2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习05 函数的概念及正比例函数（考点讲解）（教师版）

专题05函数的概念及正比例函数【典例分析】【考点1】函数的概念1．下列各选项中分别有两个变量x、y，则y不是x的函数的是（B）A．B．C．y=-2x-1D．在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量邮资y/元1.202.403.604.806.00【考点】函数的定义【专题】函数【分析】根据函数的概念“一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数．”即可求解．【解答】在函数关系中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．B选项中，部分x值有两个y值与其对应，所以B选项中的图像y不是x的函数．故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义，熟知定义并正确判断是解题的关键．2．函数y＝的自变量x的取值范围是__且____【考点】函数的定义域【专题】函数【分析】根据二次根式被开方数是非负数，分式分母不为0，列不等式即可得到答案．【解答】解：由题意可得：且，解得且，故答案为：且．【点评】本题考查函数自变量取值范围求解，解题关键是掌握二次根式和分式有意义条件．3．在函数中，自变量x的取值范围是__且_______．【考点】函数的定义域【专题】函数【分析】根据开平方时，被开方数不能小于零，分母不能为零，从而求出自变量x的取值范围．【解答】解：由题可知，且，∴且，故答案为：且．【点评】本题考查了自变量的取值范围，掌握此函数关系式中分母不为0，被开方数大于等于0是解题的关键．4．如果函数，那么_____．【考点】函数的值【专题】函数【分析】根据函数的定义，将代入进行计算即可．【解答】解：∵，∴；故答案为：．【点评】本题考查根据自变量的值，求函数值．熟练掌握函数的定义，以及分母有理化，是解题的关键．【考点2】正比例函数的图像及性质1．下列问题中两个变量成正比例的是（

D

）A．正方形面积和它的边长B．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C．圆的面积与它的半径D．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数【考点】正比例的定义【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的定义逐项判断，即可得出答案．【解答】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选项不合题意；圆的面积等于与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；弧长，半径确定的圆中，是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数n成正比例，故D选项符合题意；故选D．【点评】本题考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．2．已知函数是正比例函数，则常数k的值为（C）A． B．0 C．2 D．【考点】正比例函数的图像和性质【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，即可得出答案．【解答】解：根据正比例函数定义得：k-2=0，∴k=2，故选：C．【点评】本题考查了正比例函数，掌握正比例函数定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键．3．下列函数中，正比例函数是（A）A． B． C． D．【考点】正比例函数的定义【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的的定义解答即可．【解答】解：A、是正比例函数，故选项正确，符合题意；B、不是正比例函数，故选项错误，不符合题意；C、不是正比例函数，故选项错误，不符合题意；D、不是正比例函数，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．4．已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（

A

）A． B． C． D．【考点】正比例函数的图像和性质【专题】正比例函数【分析】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A．当时，，故点在函数图象上，A项符合题意；B．当时，，故点不在函数图象上，B项不符合题意；C．当时，，故点不在函数图象上，C项不符合题意；D．当时，，故点不在函数图象上，D项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键5．在中，若y是x的正比例函数，则常数____2_____．【考点】正比例函数的定义【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的定义可得常数项为0，即可求解．一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且），那么y=kx就叫做正比例函数．【解答】解：∵一次函数是正比例函数，∴，解得：．故答案为：2．【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．6．若函数是关于x的正比例函数，则m的值为____3____．【考点】正比例函数的图像和性质【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的定义求解即可．【解答】解：∵函数是关于x的正比例函数，∴∴m=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，求平方根的方法解方程，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做正比例7．已知正比例函数，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为__-1___．【考点】正比例函数的图像和性质【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的性质，得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：正比例函数过二、四象限则，解得m=1（舍去）或m=-1故答案为-1【点评】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质．8．已知y是x的正比例函数，当时，．求y关于x的函数表达式，以及当时的函数值．【考点】正比例函数的图像和性质【专题】正比例函数【分析】根据题意，设这个正比例函数解析式为y=kx，待定系数法求得解析式，然后将，代入解析式即可求解．【解答】解：∵y是x的正比例函数，设这个正比例函数解析式为y=kx，当时，，∴，解得，∴这个正比例函数解析式为，当时，．【点评】本题考查了求正比例函数解析式，求函数值，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．9．已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标．【考点】正比例函数的定义【专题】函数【分析】（1）根据题意可得：，再将（1，6）代入求解即可；（2）将点代入解析式，联立，求解二元一次方程组即可．【解答】（1）解：由题意可得：将（1，6）代入得，，解得即，化简得：即（2）将点代入得，则，解得即【点评】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如的函数为正比例函数．10．已知正比例函数过点，点P在正比例函数图像上，又且，求点P的坐标．【考点】正比例函数的图像和性质【专题】正比例函数【分析】先求得正比例函数的解析式，再设出P点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于n的方程，解方程即可．【解答】解：设正比例函数为，∵，∴，解得，∴正比例函数的解析式为：．设，∵，∴，∴，∴或，∴P点坐标为或．【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积，熟知待定系数法是解答此题的关键．【课后练习】1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（C）A．B．C． D．【考点】函数的概念【专题】函数【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，符合题意；D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键．2．函数的自变量x的取值范围是____且_______【考点】函数的定义域【专题】函数【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂底数不为0，列式计算即可得解．【解答】解：依题意有且且，解得且．故答案为：且．【点评】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．已知函数，则＝.【考点】函数的值【专题】函数【分析】根据函数的定义，将代入进行计算即可．【解答】解：∵，∴；故答案为：．【点评】本题考查根据自变量的值，求函数值．熟练掌握函数的定义，以及分母有理化，是解题的关键．4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（D）A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系【考点】正比例的定义【专题】正比例函数【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可．【解答】解：A选项，S=πr2，故该选项不符合题意；B选项，y=15+5x，故该选项不符合题意；C选项，∵ah=S，∴a=，故该选项不符合题意；D选项，y=60x，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握形如y=kx（k≠0）的函数是正比例函数是解题的关键．5．下列变化过程中，y是x的正比例函数是（

D

）A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化【考点】正比例的定义【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．【解答】解：A.由题意得：，故y不是x的正比例函数；B.因为温岭市一天的气温早晚较低，中午较高，故y不是x的正比例函数；C.因为在行驶时间为零时汽车油箱内的存油y不是零，故y不是x的正比例函数；D.由题意得：，故y是x的正比例函数；故选：D．【点评】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函数6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（

A

）A．正方形的周长C随着边长x的变化而变化B．正方形的面积S随着边长x的变化而变化C．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量VL随着放水时间tmin的变化而变化【考点】正比例的定义【专题】正比例函数【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据函数关系式进行判断即可．【解答】解：A、C=4x是正比例函数，故此选项符合题意；B、S=x2不是正比例函数，故此选项不符合题意；C、a=不是正比例函数，故此选项不符合题意；D、V=10-0.5t不是正比例函数，此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．7．若是y关于x的正比例函数，求该正比例函数的解析式．【考点】正比例函数的定义【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的定义即可求解，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且），那么就叫做正比例函数．【解答】解：∵是y关于x的正比例函数，∴，解得m=-2．∴该正比例函数的解析式为y=-4x．【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．8．正比例函数中，y随x的增大而增大，则直线经过（

C

）A．第一、三象限 B．第二、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【考点】正比例函数的性质【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的增减性，可得；则，据此判断直线经过的象限．【解答】解：∵正比例函数中，y随x的增大而增大，∴，∴，∴直线经过第二、四象限．故选：C．【点评】此题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（B）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0【考点】正比例函数的图像【专题】正比例函数【分析】利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0．【解答】解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），∴点A，B分别在一、三象限，∴m＞0，n＜0．故选：B．【点评】此题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键．10．已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣4），（1，），（﹣1，），那么与的大小关系是（A）A．＜ B．＝ C．＞ D．无法确定【考点】正比例函数的性质【专题】正比例函数【分析】利用待定系数法求得k=-2＜0，则该正比例函数经过第二、四象限，且y随x的增大而减小，据此可以比较与的大小．【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（2，-4），∴k==-2．则k＜0，∴正比例函数y=-2x的图象经过第二、四象限，且y随x的增大而减小．又∵1＞-1，∴＜．故选：A．【点评】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特点．熟练掌握正比例函数的性质是解题关键11．正比例函数图像经过点（1，-1），那么k=____-2______．【考点】正比例函数的图像【专题】正比例函数【分析】由正比例函数的图象经过点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出-1=k+1，即可得出k值．【解答】解：∵正比例函数的图象经过点（1，-1），∴-1=k+1，∴k=-2．故答案为：-2．【点评】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键．12．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=____2____．【考点】正比例函数的图像【专题】正比例函数【分析】先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得．【解答】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，∴，由题意，将点代入函数得：，解得或（舍去），故答案为：2．【点评】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．13．若正比例函数的图象从左到右逐渐上升，则m的取值范围是_____________【考点】正比例函数的性质【专题】正比例函数【分析】根据正比例函数的性质可得从而可得答案．【解答】解：∵正比例函数的图象从左到右逐渐上升，∴正比例函数，y随x的增大而增大，∴解得：故答案为：【点评】本题考查的是正比例函数的性质，掌握“正比例函数当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．”是解本题的关键．14．已知正比例函数y=kx图像经过点（2，-4），求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点A（2，-1）是否在这个函数图像上；(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．【考点】正比例函数的图像和性质【专题】正比例函数【分析】（1）将（2，-4）代入y=kx，利用待定系数法求解；（2）将x=2代入（1）中所求解析式，看y值是否为-1即可；（3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解．【解答】（1）解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（2，-4），∴时，∴解得∴这个函数的解析式为；（2）解：将x=2代入中得：，∴点（2，-1）不在这个函数图象上；（3）解：∵，∴y随x的增大而减小，又∵∴．【点评】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比例系数判断函数图象的增减性．15．已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当x=-1时，求y的值．【考点】正比例函数的定义、图像【专题】正比例函数【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为，再将x=3，y=4代入求解即可得；（2）将x=-1代入（1）中的函数解析式即可得．【解答】（1）解：由题意，设y与x与x之间的函数解析式为，将x=3，y=4代入得：，解得，则y与x之间的函数解析式为．（2）解：将x=-1代入得：．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．16．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8(1