人教A版高中数学必修2.1 等式性质与不等式性质（一）

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修5第三章第一节不等关系与不等式第2课时的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容和选修4-5不等式选讲的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．课程目标学科素养A.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；B.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；C.培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2.逻辑推理：作差法的原理；3.数学运算：用作差法比较大小；4.直观想象：在几何图形中发现不等式；5.数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；1.教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2.教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标情景引入，温故知新（一）、情境导学1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（），小于或等于（），不等于（）。老师总结板书：不等式的定义：用不等号(<,>,≥,≤,≠)表示不等关系的式子叫做不等式。1.师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2.师：两个指示标志分别表示什么意思？生：速度大于或等于80，高度小于或等于4.53.师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？生：师：不等关系用什么表示？生：不等式（二）、探索新知探究一用不等式表示不等关系例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4000mm；②截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．[解析]设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4000,3x≥y,x≥0,y≥0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≤40,3x≥y,x≥0,y≥0)).归纳总结;用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．跟踪训练：1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？2．某工厂在招标会上，购得甲材料xt，乙材料yt，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120t，则x、y应满足的不等关系是()A．x＋y>120 B．x＋y<120C．x＋y≥120 D．x＋y≤120[解析]提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.[解析]由题意可得x＋y≥120，故选C．探究二比较数或式子的大小我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步学生回答：；；.生：作差比较法生：作差，变形，判号，定论.指出：作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转化为判断差的符号例2.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．[解析]∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．师生共同归纳总结：比较两个实数(或代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．跟踪训练1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<N D．与x有关[解析]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N，故选A．2.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；3.设a∈R且a≠0，比较a与eq\f(1,a)的大小．[解析]2.x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．3.由a－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)当a＝±1时，a＝eq\f(1,a)；当－1＜a＜0或a＞1时，a＞eq\f(1,a)；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜eq\f(1,a).通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养用数学语言表示不等关系。通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力。复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。三、达标检测1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是()A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200【答案】D2.若A=1x2+3与B=1x+2,则A与B的大小关系是A.A>B B.A<BC.A≥B D.不确定【解析】由于A-B=1x2+3-1所以A>B,故选A.【答案】A3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.【解析】由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位,含有维生素B800x单位,ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位,含有维生素B400y单位,则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B(800x+400y)单位,则有6004.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,故x应满足的不等关系为55.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:(1)2x2+3与x+2,x∈R;(2)a+2与31-a,a∈R,且a【解析】(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2x-1所以2x2+3>x+2.(2)(a+2)-31由于a2+a+1=a+1所以当a>1时,a2+a+1a-1>当a<1时,a2+a+1a-1<故当a>1时,a+2>31-a;当a<1时,a+2通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.不等式与不等关系(1)不等式的定义所含的两个要点.①不等符号>,<,≥,≤或≠.②所表示的关系是不等关系.(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.2．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a>b，那么a－b是；如果a<b，那么a－b是；如果a＝b，那么a－b，反之亦然a>b⇔________a<b⇔________a＝b⇔_________五、作业1.习题2.11,2,3,4题2.预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；巩固今天所学内容题培养学生的自学能力，也为下一节学习不等式性质做准备2.1等式性质与不等式性质（第2课时）教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、温故知新你能回忆起等式的基本性质吗？性质1若a=b,则b=a;性质2若a=b,b=c,则a=c;性质3若a=b,则a±c=b±c;性质4若a=b,则ac=bc;性质5若a=b,,则;类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？（二）、探索新知不等式的性质(1)对称性文字语言不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等式与原不等式等价符号语言a>b⇔b<a作用写出与原不等式等价且异向的不等式证明:∵a>b,∴a-b>0.由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a.同理可证,如果b<a,那么a>b.跟踪训练.1.与m≥(n-2)2等价的是().A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m答案:C(2)传递性文字语言如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,那么第一个量大于第三个量符号语言a>b,b>c⇒a>c变形a≥b,b≥c⇒a≥c;a<b,b<c⇒a<c;a≤b,b≤c⇒a≤c作用比较大小或证明不等式你能证明吗？(3)加法法则文字语言不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.符号语言a>b⇒a+c>b+c变形a<b⇒a+c<b+ca≤b⇒a+c≤b+ca≥b⇒a+c≥b+c作用不等式的移项,等价变形证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.(4)乘法法则文字语言不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.符号语言a>b,c>0⇒ac>bca>b,c<0⇒ac<bc变形a≥b,c>0⇒ac≥bc；a≥b,c<0⇒ac≤bca<b,c>0⇒ac<bc；a<b,c<0⇒ac>bca≤b,c>0⇒ac≤bc；a≤b,c<0⇒ac≥bc作用不等式的同解变形证明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc.归纳总结：1.该性质不能逆推,如ac>bca>b.2.ac>bc⇒a>b,c>0或a<b,c<0.3.不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数.(5)加法单调性文字语言两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.符号语言a>b,c>d⇒a+c>b+d变形a<b,c<d⇒a+c<b+da≥b,c≥d⇒a+c≥b+da≤b,c≤d⇒a+c≤b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式证明:a归纳总结：1.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减.3.该性质不能逆推,如a+c>b+da>b,c>d.(6)乘法单调性文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式同向.符号语言a>b>0,c>d>0⇒ac>bd作用两个不等式相乘的变形证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc.∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.归纳总结：1.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.2.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd;a<b<0,c<d<0⇒ac>bd.3.该性质不能逆推,如ac>bda>b,c>d.(7)正值不等式可乘方文字语言当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式同向.符号语言a>b>0⇒an>bn(n∈N,且n≥1)作用不等式两边的乘方变形性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可得an>bn.跟踪训练：1.给出下列结论：①若ac>bc，则a>b；②若a<b，则ac2<bc2；③若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则a>b；④若a>b，c>d，则a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，则ac>bd.其中正确结论的序号是___③_.解析①当c>0时，由ac>bc⇒a>b，当c<0时，由ac>bc⇒a<b，故①错．②当c≠0时，由a<b⇒ac2<bc2，当c＝0时，由a<beq\o(⇒,/)ac2<bc2，故②错．③∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·ab，即b<a，∴a>b，故③正确．④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d错误．⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,0>c>d))⇒ac<bd，但eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,0>c>d))eq\o(⇒,/)ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,c>d>0))eq\o(⇒,/)ac>bd.反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法:(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.典例解析：用不等式的性质证明不等式例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟踪训练：1．若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(ad＋bd,bd)≤eq\f(bc＋bd,bd)，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．典例解析：利用不等式的性质求取值范围例2已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范围．解析∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).两式相加，得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).又∵α<β，∴eq\f(α－β,2)<0.∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0.规律总结：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．跟踪训练1.已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范围：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).解析(1)∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；(2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1；(3)∵3<b<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，又1<a<2，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(2,3).通过学生熟悉的等式性质出发，设问，引导学生类比发现不等的性质，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养；用数学语言表示不等式的性质。由不等式七个性质的分析与证明，体会证明不等式的基本方法；培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养及时归纳总结，引导学生准确理解和运用不等式的性质，培养思维的严谨性；通过练习巩固不等式的性质，发展学生逻辑推理，提高思维的灵活性和速度。通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确问题模型，发展数学建模核心素养。三、达标检测1．已知a<b<0，c<d<0，那么下列判断中正确的是()A．a－c<b－d B．ac>bdC.eq\f(a,d)<eq\f(b,c) D．ad>bc解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确．答案：B2．若a、b、c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b≥b－cB．ac≥bcC.eq\f(c2,a－b)>0D．(a－b)c2≥0解析：∵a>b，∴a－b>0.选项A中，当c＝0时，(a＋b)－(b－c)＝a＋c，由于a∈R，则选项A不