2023中考数学真题专项汇编特训 专题29规律探究题(共26题)(原卷版+解析)

专题29规律探究题（26题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（

）

A．39 B．44 C．49 D．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（

）

A．14 B．20 C．23 D．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（

）A． B． C． D．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（

）

A． B． C． D．5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（

）A． B． C． D．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（

）

A． B． C． D．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）A．199 B．200 C．201 D．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．二、填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．

12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：；；；；；…依此规律，则第（为正整数）个等式是．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为（用含n的式子表示）．

15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）

16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则．（结果用含n的代数式表示）

17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为，点的坐标为．

18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子；；；……按照上述规律，．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则．

20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是．

23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是．

25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为．

26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是．

专题29规律探究题（26题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（

）

A．39 B．44 C．49 D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是根，故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；第②个图案中有5个圆圈，；第③个图案中有8个圆圈，；第④个图案中有11个圆圈，；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为；故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律．【详解】解：∵，，，，，∴，∵，则，∴，故选：A．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．【详解】解：∵，∴，，，，…….；由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，∵，∴；故选A．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，得到，，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，，，，，，，，，，，，故的半径为，的弧长．故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．∴故选：C．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）A．199 B．200 C．201 D．202【答案】C【分析】通过计算，可以推出结果．【详解】解：…，，，故选：C．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到；第3圈有16个点，即到，；依次类推，第n圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；是在第23圈上，且，即，故B选项正确；第n圈，，所以，故C、D选项不正确；故选B．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．二、填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当，，则第1个一个智慧优数为当，，则第2个智慧优数为当，，则第3个智慧优数为，当，，则第5个智慧优数为当，，则第6个智慧优数为当，，则第7个智慧优数为……时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，第22个智慧优数，当时，，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为时，，故答案为：，．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．

【答案】【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为，故答案为：．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：；；；；；…依此规律，则第（为正整数）个等式是．【答案】【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵；；；；；…∴第（为正整数）个等式是，故答案为：．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为（用含n的式子表示）．

【答案】/【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根，故第n个图案需要火柴棍的根数为．故答案为：．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）

【答案】【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，∴第个图案中有个白色圆片．故答案为：．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则．（结果用含n的代数式表示）

【答案】/【分析】根据题意得出，进而即可求解．【详解】解：依题意，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为，点的坐标为．

【答案】【分析】根据旋转角度为，可知每旋转6次后点又回到轴的正半轴上，故点在第四象限，且，即可求解．【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为，∴，∵每次旋转角度为，∴6次旋转，第一次旋转后，在第四象限，，第二次旋转后，在第三象限，，第三次旋转后，在轴负半轴，，第四次旋转后，在第二象限，，第五次旋转后，在第一象限，，第六次旋转后，在轴正半轴，，……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到轴正半轴，∵，点在第四象限，且，如图，过点作轴于，

在中，，∴，，∴点的坐标为．故答案为：，．【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子；；；……按照上述规律，．【答案】【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵；；；……∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则．

【答案】【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．【详解】当时，的纵坐标为8，当时，的纵坐标为4，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，…则；；；；…；，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

【答案】【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：，，，，，…则第个数对的第一个数为：，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：；；；；…，则第个数对的第二个位：，∴第n个数对为：，故答案为：．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是．【答案】【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．【详解】∵A点坐标为，且为A点绕B点顺时针旋转所得，∴点坐标为，又∵为点绕O点顺时针旋转所得，∴点坐标为，又∵为点绕C点顺时针旋转所得，∴点坐标为，又∵为点绕A点顺时针旋转所得，∴点坐标为，由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1．∵，故为以点C为圆心，半径为2022的顺时针旋转所得故点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是．

【答案】【分析】分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可．【详解】解：当，，解得，∴点,∵是正方形，∴，∴点，∴点的横坐标是，当时，，解得，∴点，∵是正方形，∴，∴点，即点的横坐标是，当时，，解得，∴点，∵是正方形，∴，∴点的横坐标是，……以此类推，则点的横坐标是故答案为：【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行