第14讲概率（10个知识点6种题型强化训练）

第14讲概率（10个知识点+6种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点一：随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点"二：样本点与样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．②样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，用Ω表示样本空间，用w表示样本点．③有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．知识点"三：随机事件随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，…表示．基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件．必然事件：包含了所有样本点的事件．不可能事件：不包含任何样本点的事件．注：每个事件都是样本空间的子集.建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型．因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题．在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间．知识点四：事件的关系和运算(1)包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示B⊇A(或A⊆B)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B(2)并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示A∪B(或A＋B)图形表示(3)交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示A∩B(或AB)图形表示(4)互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B＝∅图形表示(5)互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－))含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B＝∅，A∪B＝Ω图形表示知识点五：概率及古典概型的概念对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2.如果试验具有以下两个特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．知识点六：古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．1．从集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝eq\f(k,n).如图所示．把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝eq\f(k,n).2．求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)．(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性．(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率．P(A)＝eq\f(事件A包含的样本点个数,样本空间的样本点总数)＝eq\f(k,n).知识点七"：概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1.性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．方法与技巧：1．如何应用互斥事件的概率加法公式(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果．(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏．(3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②求各个事件分别发生的概率，再求其和．2．对立事件与P(A)＋P(B)＝1的关系(1)若A，B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A和B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，显然事件A与事件B不互斥，也不对立．知识点"八：相互独立事件的定义和性质1．定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．2．性质：①如果A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立．3．n个事件相互独立对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．独立事件的概率公式(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．4.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作AB互斥事件A，B中有一个发生，记作A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)知识点九：频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．知识点十：随机数的概念1．随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的数就称为随机数．2．伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．3．产生随机数的方法：教材中给出了两种产生随机数的方法：①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．我们只要按照它的程序一步一步执行即可．4．用随机模拟估计概率的步骤(1)建立概率模型；(2)进行模拟试验，可用计算器或计算机进行模拟试验；(3)统计试验结果．方法与技巧：1．频率随着试验次数的变化而变化；概率却是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．2．在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地当作随机事件的概率．3．概率是频率的稳定值，根据概率的定义我们可知，概率越接近于1，事件A发生的频数就越多，此事件发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的频数就越少，此事件发生的可能性就越小．4．应用随机数计算事件的概率，在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．知识复习题型一、有限样本空间与随机事件一、单选题1．（2022高三·全国·专题练习）在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据给定条件，写出符合要求的样本点即可.【详解】取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点为，所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为4.故选：C二、多选题2．（2324高一上·陕西汉中·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（

）A．5件都是正品 B．至少有1件次品C．有3件次品 D．至少有3件正品【答案】AB【分析】根据题意25件产品中只有两件次品，所以不可能取出3件次品，且至少有3件正品，即可.【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确，在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误；在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误.故选：AB3．袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（

）A．取出的两球标号为3和7B．取出的两球标号的和为4C．取出的两球标号都大于3D．取出的两球标号的和为8【答案】ABC【分析】根据样本点的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A：取出的两球标号为3和7是样本点，故选项A正确；对于B：取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是样本点，故选项B正确；对于C：取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是样本点，故选项C正确；对于D：取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确；故选：ABC.三、填空题4．某同学利用假期参加志愿者服务，现有，，，四个不同的地点，每天选择其中一个地点，且每天都从昨天未选择的地点中等可能地随机选择一个，设第一天选择地点参加志愿者服务，则第四天也选择地点的概率是，记第天（）选择地点的概率为，试写出当时，与的关系式为.【答案】【解析】根据条件可得第四天选择A地点的概率;结合条件类推可得与的关系式.【详解】解:第一天选择A地点,则第二天选择A地点的概率,第三天选择A地点的概率,所以第四天选择A地点的概率.当第n天选择A地点的概率为,则当时,与的关系式为.故答案为:;.【点睛】本题考查了等可能事件的概率,属中档题.四、解答题5．（2425高一上·全国·课后作业）试验：连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面出现的情况．设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少出现一次正面”，试用样本点表示事件A，B，C．【答案】，，【分析】根据随机事件发生的所有可能结果进行列出即可.【详解】试验的所有可能结果共有8种，下面用字母H表示出现正面，字母T表示出现反面，则试验的样本空间可以记为.因为事件A表示随机事件“第一次出现正面”，所以满足要求的样本点共有4个：，，，．因此，事件事件B表示随机事件“3次出现同一面”，所以满足要求的样本点共有2个：，.因此，事件．事件C表示随机事件“至少出现一次正面”，所以满足要求的样本点共有7个：，，，，，，．因此，事件．6．有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序.（1）写出这个试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）根据树状图写出样本空间；（2）参照（1）中得到的总的样本空间，找出符合事件的样本点，得到相应的样本空间。【详解】解：（1）该试验的样本点用树状图表示，如图所示：

所以样本空间可表示为.（2）；.【点睛】本题考查样本空间，可用画树状图的方法将样本点逐一写出来。7．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的【解析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.【详解】解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.【点睛】本题主要考查了判断游戏的公平性以及古典概型的概率公式，属于中档题.题型二、事件的关系与运算一、单选题1．（2324高二下·上海·阶段练习）如果事件与事件互斥，那么（

）条件.A． B．C．与一定互斥 D．与一定独立【答案】B【分析】根据题意，结合实例，利用互斥事件的定义，独立事件的定义，以及概率的意义，逐项判定，即可求解.【详解】例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球，事件“表示取到的是红球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黄球”，此时，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同时发生，且，对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由事件与事件不可能同时发生，可得，所以B正确；对于C中，由事件；“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”，当取得到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生，所以与事件不一定互斥，所以C不正确；对于D中，由，，可得，此时事件和事件不独立事件，所以D错误.故选：B.2．（2425高一上·全国·课后作业）如果是互斥事件，那么（

）A．事件与必不互斥 B．是必然事件C．A与可能互斥 D．是必然事件【答案】B【分析】利用韦恩图帮助逐一判断.【详解】对于A：如果事件不仅互斥还对立，则事件与一定互斥，A错误；对于B：如图：，是必然事件，B正确；对于C：如图：A与不可能互斥，C错误；对于D：如图：不一定是必然事件，当互斥不对立时，不是必然事件，D错误；

故选：B.3．（2024高一下·全国·专题练习）已知事件两两互斥，若，，，则（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.【详解】两两互斥，，，，.故选：B.二、多选题4．（2324高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（

）A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件C． D．【答案】ABC【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案.【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误故选：ABC．5．（2223高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（

）A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B．C．A与C是互斥事件 D．【答案】AD【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.【详解】根据题意，试验的样本空间，，，，.对于选项A:因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确；对于选项B:因为，，所以，故B错误；对于选项C:因为，所以A与C不是互斥事件，故C错误；对于选项D:因为，，所以，故D正确.故选：AD.三、填空题6．（2223高一下·浙江宁波·期末）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：①和是互斥事件但不是对立事件；

②和是互斥事件也是对立事件；③；

④.其中，正确结论的序号是.（请把你认为正确结论的序号都写上）【答案】②④【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可.【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确；事件“选择一门理科学科”，与事件

“选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，故②正确；由题意可知，所以，故③不正确；事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，故和是互斥事件，所以，故④正确.故答案为：②④.7．（2324高二上·广东清远·期中）设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则.【答案】【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.【详解】由与是对立事件，可得由与是互斥事件，可得.故答案为：四、解答题8．（2324高二上·新疆·期中）连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件，；(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？【答案】(1)，(2)【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；（2）由事件E，结合已知事件A、B、C、D求解即可.【详解】（1）由题意得，事件，事件，事件，事件.则，；（2）由（1）知，事件，，因为，所以.9．（2024高三·全国·专题练习）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C.【答案】（1）不互斥；（2）既互斥也对立；（3）不互斥；（4）不互斥；【分析】根据互斥事件与对立事件的概念可依次判断（1），（2），（3），（4）.【详解】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中，有可能“只订甲报”，即事件A与C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，又因市民要么“至少订一种报纸”，要么“一种也不订”，故B与E是对立事件.（3）事件B“至少订一种报纸”中，有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.（4）事件B“至少订一种报纸”中，有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”；事件C“至多订一种报纸”中，有这些可能：“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.题型三、古典概型一、单选题1．（2324高一下·河南·开学考试）珠算作为非物质文化遗产，是中华文明的鲜明体现．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的2颗珠叫“上珠”，梁下面的5颗叫“下珠”，则从算盘内任取一颗珠子是“下珠”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据古典概型公式求解.【详解】由题知，从算盘内任取一颗珠子是“下珠”的概率，等于从算盘的每个档（挂珠的杆）内任取一颗珠子是“下珠”的概率，即．故选:A．2．（2324高二上·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得的样本点个数，则可得的样本点个数，即可得解.【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点，又，故共有个样本点，则有个样本点，故.故选：C.二、多选题3．（2024·广东梅州·一模）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】画出树状图，结合图形及古典概型逐项分析判断.【详解】画出树状图，结合图形结合树状图可知：，对于选项A：可知，故A正确；对于选项B：均有，故B正确；对于选项C：因为，不经过数字5的路线有9条，所以，故C正确；对于选项D：因为，所以，故D错误；故选：ABC.三、填空题4．（2324高二下·四川绵阳·开学考试）九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为.【答案】/0.75【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有种，再求出满足有多少种，然后利用古典概率知识即可求解.【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，所以、位置填或，先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，①若填，则填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；②若填，则填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；③若填，则填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；④若填，则填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；所以总的结果个数为个，其中符合的情况有，，，，，共个，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的的关键是对进行合理的分类讨论，从而得到所有的情况，最后根据古典概型即可得到答案.四、解答题5．（2024·浙江·模拟预测）如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个，“字母棋”的游戏规则为：①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；③相同棋子不分胜负，(1)若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？(2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？(3)已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？【答案】(1)(2)(3)小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大【分析】（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解；（3）分别分析小玲摸到不同棋子胜小军的概率，从而得解.【详解】（1）依题意，一共有10个棋子，其中C棋3个，所以小玲摸到棋的概率等于；（2）因为C棋胜D棋，D棋4个，所以小玲在这一轮中胜小军的概率是；（3）若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；由此可见，小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大.6．（2425高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：(1)取到的两个球都是白球的概率；(2)取到的两个球颜色相同的概率；(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.【详解】（1）由前面的分析可知试验的样本空间，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，则，共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.题型四、概率的基本性质一、单选题1．（2122高一下·福建福州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答.【详解】依题意，，，而，A不正确；，，B不正确；事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和，事件是必然事件，因此，C正确；因，，则，即D不正确.故选：C二、多选题2．（2324高二上·湖北·阶段练习）设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据古典概型公式及互斥事件概率加法公式逐项求解判断即可.【详解】从甲袋中任取1球是红球的概率为，故A正确；，故C错误；，故D正确；，故B正确.故选：ABD.3．（2324高三上·湖北·期中）在正方体中，E，F分别为，的中点.取点，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则（

）A．两条直线为异面直线是必然事件B．两条直线互相垂直的概率为C．两条直线互相平行与互相垂直是对立事件D．两条直线都与直线垂直是不可能事件【答案】ABD【分析】结合图形，利用空间两直线的位置关系逐一判断即可.【详解】

因为点，C，E，F不共面，所以两条直线为异面直线，故A正确；过四点的两条直线共有3种情况，其中仅当一条直线过，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直，所以两条直线相互垂直的概率为，故B正确；两条直线互相平行的概率为0，而仅当一条直线过，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直，所以两条直线互相垂直的概率小于1，故两条直线互相平行与互相垂直不是对立事件，C错误；，，中，只有与垂直，且当时，与不垂直，故D正确.故选：ABD.三、填空题4．（2324高二上·上海长宁·期末）一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是．【答案】/【分析】利用概率加法公式直接求解即可.【详解】因为一次考试中，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，所以他的数学和物理至少有一门超过90的概率为.故答案为：.5．（2223高一下·全国·课时练习）已知，.（1）如果，那么，，；（2）如果A，B互斥，那么，，.【答案】0.50.30.20.800.5【分析】由事件的关系结合运算求解即可.【详解】（1）如果，那么，，所以，，.（2）如果A，B互斥，那么，则，，.故答案为：0.5；0.3；0.2；0.8；0；0.5四、解答题6．（2324高二上·贵州毕节·期中）为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据互斥事件概率加法得结果；（2）根据互斥事件概率加法得结果；（3）根据对立事件概率关系求结果.【详解】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，由互斥事件的加法公式得.（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，由互斥事件概率的加法公式得.（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得.7．（2223高一上·江西吉安·期末）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢．(1)求的概率；(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．【答案】(1)(2)这种游戏规则不公平，理由详见解析【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得；(2)设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断.【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；（2）这种游戏规则不公平，理由如下：设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，由古典概型的概率计算公式可得，∴，∵，故这种游戏规则不公平．题型五、事件的相互独立性一、单选题1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件，由题知，则3人中至少有2人投中的概率为：.故选：A2．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.【详解】设甲第局胜，，2，3，且，则甲恰好连胜两局的概率，故选：B．3．（2024·全国·一模）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码输入错误，该银行卡将被锁定．某人到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的5个密码之一，他决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试，否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．则他至少尝试两次才能成功的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题尝试两次或三次成功，分别计算概率，相加即可得答案.【详解】由题，尝试两次或三次成功.尝试两次成功的概率为：，尝试三次成功的概率为：，则至少尝试两次才能成功的概率是，故C正确.故选：C.4．（2024·辽宁·一模）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求出结果.【详解】记事件：甲独自获胜，因为每人随机选一个球（不放回），用表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法，又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为，当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为，当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为，所以，故选：C.二、填空题5．（2024·天津河东·一模）某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为；任找两个人，则小明有血可以输的概率为．血型ABABO该血型的人占比【答案】0.70.91【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解空1，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空2.【详解】由于小明是B型血，所以可以血型为O,B的可以给小明输血，故概率为，小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为，所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为，故答案为：0.7；0.916．（2324高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为.【答案】0.45/【分析】利用独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可.【详解】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则没有人命中的概率为，恰有一人命中的概率为，所以至多有一人命中的概率为.故答案为：0.45三、解答题7．（2024·陕西榆林·二模）蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为.(1)求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率；(2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式结合已知条件求解即可；（2）分别求出这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率和这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果.【详解】（1）因为这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为，所以这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率为.（2）这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为.题型六、频率与概率一、单选题1．（2122高二下·广东佛山·期末）在6月6日第27个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做系统2022年全国“爱眼日”宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩超过2h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩不超过2h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设该校有a名学生，根据已知条件，求出每天玩不超过2h的学生人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率能求出结果.【详解】设该校有a名同学，则约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩超过2h，且每天玩超过2h的学生中的学生中近视的学生人数为：0.3a×0.5=0.15a，所以有0.7a的学生每天玩不超过2h，且其中有0.4a—0.15a=0.25a的学生近视，所以从每天玩不超过2h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为，故选:B2．（2324高一上·河南·期末）下列说法中，正确的是（

）A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C．若事件两两互斥，则D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是【答案】D【分析】根据随机事件的概念即可说明A、B；举例即可说明C项；列举出事件包含的样本点的个数，根据古典概型的概率公式，计算即可得出D项.【详解】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误；对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误；对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误；对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点，其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点，根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确.故选：D.二、填空题3．（2223高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人.【答案】6720【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有（人）.故答案为：6720三、解答题4．（2023·湖南岳阳·模拟预测）甲､乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲､乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表：甲乙练习题目个数120120答错个数2420若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率.(1)估计甲､乙两人在比赛时答对题的概率；(2)设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求.【答案】(1)甲､乙两人在比赛时答对题的概率分别为(2)【分析】（1）根据题中条件计算出频率，用频率代替概率即可；（2）根据互斥事件的概率加法公式进行计算即可.【详解】（1）由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为：，乙在比赛时答对题的概率为：.（2）设事件“某轮比赛中甲得1分”，事件“某轮比赛中乙得1分”，则事件，所以.（或）.5．年上半年数据显示，某省某市空气质量在其所在省中排名倒数第三，(可吸入颗粒物)和(细颗粒物)分别排在倒数第一和倒数第四，这引起有关部门高度重视，该市采取一系列“组合拳”治理大气污染，计划到2020年底，全年优､良天数达到180天.下表是2020年9月1日到9月15日该市的空气质量指数(AQI)，其中空气质量指数划分为，，，，和大于六档，对应空气质量依次为优､良､轻度污染､中度污染､重度污染､严重污染.日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日15日AQI指数49741151928012310913810573919077109124PM2.53629761128985403259354559537989PM107686148199158147708312175969063113140（1）指出这15天中PM2.5的最小值及PM10的极差；（2）从这15天中任取连续2天，求这2天空气质量均为轻度污染的概率；（3）已知2020年前8个月(每个月按30天计算)该市空气质量为优､良的天数约占55%，用9月份这15天空气质量优､良的频率作为2020年后4个月空气质量优､良的概率(不考虑其他因素)，估计该市到2020年底，能否完成全年优､良天数达到180天的目标.【答案】（1）29，136；（2）；（3）估计该市到2020年底，能完成全年优､良天数达到180天的目标.【分析】（1）由统计表能求出这15天中PM2.5的最小值和PM10的极差；（2）从这15天中连续取2天的取法，利用列举法能求出这2天空气质量均为轻度污染的概率．（3）由前8个月空气质量优、良的天数约占55%，可得空气质量优、良的天数为55%×240＝132，9月份这15天空气优、良的天数有7天，求出空气质量优、良的频率，2020年后4个月该市空气质量优、良的天数约为56，132+56＞180，由此估计该市到2020年底，能完成全年优、良天数达到180天的目标．【详解】解：（1）由统计表知：这15天中PM2.5的最小值为29，PM10的最大值为199，最小值是63，故极差是136；（2）从这15天中连续取2天的取法有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，7），（7，8），（8，9），（9，10），（10，11），（11，12），（12，13），（13，14），（14，15），共14种，这2天空气质量均为轻度污染的取法有：（6，7），（7，8），（8，9），（14，15），共4种．所以从这15天中连续取2天，这2天空气质量均为轻度污染的概率为＝．（3）由前8个月空气质量优、良的天数约占55%，可得空气质量优、良的天数为55%×240＝132，9月份这15天空气优、良的天数有7天，空气质量优、良的频率为，2020年后4个月该市空气质量优、良的天数约为120×＝56，132+56＝188＞180，所以估计该市到2020年底，能完成全年优、良天数达到180天的目标．6．（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：甲款鲁班锁玩具一等品二等品三等品单件成本利润率10%8%4%频数106030乙款鲁班锁玩具一等品二等品三等品单件成本利润率7.5%5.5%3%频数503020(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．【答案】(1)(2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求；（2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润.【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为．（2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），二等品的利润为（元），三等品的利润为（元），故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）．乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），二等品的利润为（元），三等品的利润为（元），故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．7．（2122高一上·湖南株洲·开学考试）为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.(1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率；(2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）ABCa401010b3243c226①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率；②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？【答案】(1)(2)①；②252【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率.（2）①利用频率估计概率求解可得.②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可.【详解】（1）列表如下：abcABC所有等可能的情况数有9种，其中垃圾投放正确的有，，共3种，所以垃圾投放正确的概率为.（2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为，②.由（吨），答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料.8．（2024·内蒙古赤峰·一模）2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市消费者协会开展消费环境建设基层行活动，实地调研了甲、乙两家商场，对顾客在两家商场消费体验的满意度进行现场调研，从在甲、乙两家消费的顾客中各随机抽取了100人，每人分别对各自的商场进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分为6组：、、、、、，得到甲商场分数的频率分布直方图和乙商场分数的频数分布表：乙商场分数频数分数分布表分数区间频数235154035(1)在抽样的100人中，求对甲商场评分低于30分的人数；(2)从对乙商场评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分都在范围内的概率．(3)如果从甲、乙两家商场中选择一家消费，你会选择哪一家？请说明理由．【答案】(1)人(2)(3)乙商场，理由见解析【分析】（1）由甲商场分数的频率分布直方图，计算低于30分的频率为，进而求解人数；（2）根据古典概型，利用列举法求解概率；（3）（i）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论；（ii）求解甲乙的平均数，比较大小得到结论．【详解】（1）由甲商场分数的频率分布直方图，得对甲商场评分低于30分的频率为：，对甲商场评分低于30的人数为人．（2）对乙商场评分在范围内的有2人，设为、，对乙商场评分在范围内的有3人，设为、、，从这5人中随机选出2人的选法为：、、、、、、、、、，共10种，其中2人评分都在范围内的选法包括：、、，共3种，故2人评分都在范围内的概率为．（3）选择乙商场，理由如下：（i）：从两个商场得分低于30分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的100人中，甲商场评分低于30的人数为20，甲商场评分低于30分的人数所占的比例为，乙商场评分低于30分的人数为，乙商场得分低于30分的人数所占的比例为，会选择乙商场消费．（ii）：．．，会选择乙商场消费．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．强化训练一、单选题1．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是A． B． C． D．【答案】A【解析】事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”，由此借助对立事件的概率进行求解．【详解】由题事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”所以至少出现一次6点向上的概率故选A.【点睛】本题考查应用对立事件求概率，属于一般题．2.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为．故选：B3．（2223高二上·江苏南京·开学考试）如图，用K､A1､A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1､A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K､A1､A2正常工作的概率依次是0.9､0.7､0.7，则系统正常工作（

）A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.9【答案】C【分析】求并联的元件正常工作的概率后可求系统正常工作的概率.【详解】并联的元件正常工作的概率为，故系统正常工作的概率为，故选：C.4．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由古典概型的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】在组随机数中，三位数中有个数字为或的即可，故表示三天中有两天下雪的随机数有，一共有9种，据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为.故选:A5.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件列举从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”的所有基本事件的个数，再计算“两音”同为打击乐器所包含的所有基本事件个数，最后求其概率.【详解】从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，组成的基本事件包含：{金、石}，{金、土}，{金、革}，{金、丝}，{金、木}，{石、土}，{石、革}，{石、丝}，{石、木}，{土、革}，{土、丝}，{土、木}，{革、丝}，{革、木}，{丝、木}，共15种情况，其中“两音”同为打击乐器的有{金、石}，{金、革}，{金、木}，{石、革}，{石、木}，{革、木}，共包含6种情况，则“两音”同为打击乐器的概率.故选：B【点睛】本题考查数学文化与古典概型相结合的考查，重点考查读懂题意，属于基础题型.6.（2324高一下·江西·开学考试）现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（

）A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立【答案】D【分析】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，结合独立事件的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，有放回的抽取卡片两次的基本事件数为，两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个，两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，，显然丙与丁为对立事件，C错误；对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个，则，所以乙与丁不相互独立，A错误；对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个，则，所以甲与丙不相互独立，B错误；对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个，则，所以甲与乙相互独立，D正确.故选：D.7.（2324高二下·上海青浦·阶段练习）袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案.【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥.由已知可得，，，，则，即，所以，则，故从中任取一球，得到黄球的概率分别是，故选：A.8．下列说法正确的个数有（

）（1）掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件M=“出现偶数点”，N=“出现3点或6点”.则和相互独立；（2）袋中有大小质地相同的3个白球和1个红球.依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是；（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是；A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由概率的相关知识逐一判断即可【详解】对于（1）：掷一枚质地均匀的的骰子一次，，，，即，故事件和相互独立；（1）正确；对于（2）：袋中有大小质地相同的3个白球和1个红球.依次不放回取出2个球，若“两球同色”则都是白球，则“两球同色”的概率是，（2）错误；对于（3）：“至少一人中靶”的概率为，（3）正确；对于（4）：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有种取法，取出的鞋成双的只有3种取法，那么“取出的鞋不成双”有153=12种，所以“取出的鞋不成双”的概率是，（4）正确综上可知正确的有（1）（3）（4）故选：C二、多选题9．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中关系正确的是（

）A．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”是互斥事件C．“恰好有一个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件D．“都是红球”与“都不是红球”是对立事件.【答案】AC【分析】根据对立事件、互斥事件的概念，即可判断各项的正误.【详解】由题意，任取两个球的所有基本事件：{两个白球，一红一白，两个红球}，“至少有一个红球”的事件：{一红一白，两个红球}，“都不是红球”、“都是白球”、“恰好有2个白球”的事件：{两个白球}，“至少有一个白球”的事件：{两个白球，一红一白}，“都是红球”的事件：{两个红球}，“恰好有一个白球”的事件：{一红一白}，∴由上知：A、C正确，B、D错误.故选：AC10．（2223高二上·云南大理·期末）下列描述正确的是（

）A．若事件A，B满足，则A与B是对立事件B．若，，，则事件A与B相互独立C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是【答案】BC【分析】A选项，举出反例；B选项，利用判断出事件A与B相互独立；C选项，根据互斥事件的定义作出判断；D选项，分两种情况进行计算.【详解】对于A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，则，但是A，B不是对立事件，故A不正确；对于B，，，故B正确；对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确；对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确.故选：BC.11．（2122高二上·海南三亚·期中）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（

）A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为【答案】AB【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率逐项分析计算即可判断作答.【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则，，A，B相互独立，2个球都是红球的事件为AB，则有，A正确；2个