核反应堆物理分析课后习题参考答案1

核反应堆物理分析课后习题参考答案[1]

核反应堆物理分析答案

第一章1T.某压水堆采用U02作燃料，其富集度为2.43%(质量)，密度为

10000kg/m3,试计算：当中子能量为0.0253eV时，U02的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

解:由18页表1-3查得，0.0253eV时:

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b由289页附录3查得，0.0253eV时：

a(O)0.00027b

以c5表示富集铀内U-235与U的核子数之比，表示富集度，则有：

235c5

235c5238(1c5)

c5(10.9874(11))10.0246

M(UO2)235c5238(1c5)162269.9

N(UO2)1000(UO2)NAM(UO2)2.231028(m3)

所以，N(U5)c5N(UO2)5.491026

N(U8)(1c5)N(U02)2.1810

N(O)2N(UO2)4.46102828(m)(m)33(m)3

a(U02)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)N(O)a(O)

0.0549680.92.182.74.460.0002743.2f(U02)N(U5)f(U5)0.054

9583.532.0(m)l(m)1

1-2.某反应堆堆芯由U-235,H20和Al组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和

0.398,计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)«

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：a(U5)680.9b

11由289页附录3查得，0.0253eV时：

a(Al)1.5m,a(H2O)2.2m,M(U)238.03,

(U)19.05lOkg/m33

可得天然U核子数密度N(U)1000(U)NA/M(U)4.821028(m)

(m)13则纯U-235的宏观吸收截面：

a(U5)N(U5)a(U5)4.82680.93279.2

总的宏观吸收截面：a0.002a(U5)0.6a(H20)0.398a(Al)8.41-61(m)

PVV3.210

117

11P3.2101121053.2101.2510ml721T2题

每秒钟发出的热量：EPT100010

0.3263.12510J9

每秒钟裂变的U235：N3.12510103.1251099.76561019(个)

运行•年的裂变的U235：N'NT9.765610193652436003.07971027(个)

消耗的u235质量：m(1)N'

NAA(10.18)3.0797106.02210

923272351.422810g1422.8kg6

需消耗的煤：mE'

Q110365243600

0.322.91073.3983lOKg3.398310吨96

ITO.为使铀的n=1.7,试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b

,v(U5)2.416v(U5)f

av(U5)N(U5)f(U5)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)由定义易得：

N(U8)N(U5)v(U5)f(U5)(a(U5))a(U8)

N(05)2.416583.5(680.9)54.9N(U5)2.71.7为使铀的n=1.7,N(U8)

235N(U5)富集度235N(U5)238N(U8)100%235

23523854.91.77%

.一核电站以富集度20%的U-235为燃料，热功率900MW,年负荷因子(实际年发电量/额

定年发电量)为0.85,U-235的俘获一裂变比取0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。

解：该电站一年释放出的总能量=900100.85360060243652.412510J

2.412510

61619616对应总的裂变反应数=200101.610

f7.541026因为对核燃料而言：t

26核燃料总的核反应次数=7.5410

8.8110

6.021026(10.169)8.811026消耗的U-235质量=235

100023344(kg)

消耗的核燃料质量=344/20%1720(kg)第二章

.某裂变堆，快中子增殖因数1.05,逃脱共振俘获概率0.9,慢化不泄漏概率0.952,扩

散不泄漏概率0.94,有效裂变中子数L335,热中子利用系数0.882,试计算其有效增殖

因数和无限介质增殖因数。

解：无限介质增殖因数：kpf1.1127不泄漏概率：

sd0.9520.940.89488有效增殖因数：keffk0.9957

2-1.II和0在1000eV到leV能量范围内的散射截面近似为常数,分别为20b和38b,计

算1120的m以及在H20中中子从lOOOeV慢化到leV所需的平均碰撞次数。

解：不难得出，H20的散射截面与平均对数能降应有下述关系：

。H20-；H20=2。出；H+。080

即：

(2oH+。0)-€H20=2oH-H+。0&0&H20=(2。H-&H+。。&0)/(2oH+

o0)

查附录3,可知平均对数能降：€H=l.000,€0=0.120,代入计算得：

&H20=(2X20X1.000+38X0.120)/(2X20+38)=0.571

可得平均碰撞次数:

Nc=ln(E2/El)/&H20=ln(1000/l)/0.571=12.09.12.1

2-6.在讨论中子热化时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能Ec以上能区的中子，

经过弹性散射慢化而来的。设慢化能谱服从①(E)=e/E分布，试求在氢介质内每秒每单

位体积内由Ec以上能区，(1)散射到能量E(E<Ec)的单位能量间隔内之中子数Q(E)；

(2)散射到能量区间AEg=EgT-Eg内的中子数Qg。解：(1)由题意可知：

Q(E)

Ec

s(E')(E')f(E'E)dE'

对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为常数:

Q(E)

EcE/a

s(E')f(E'E)dE'

dE'(1)E'

1

在质心系下，利用各向同性散射函数：f(E'E)dE'。已知(E')

E'

,有：

Q(E)

EcE/a

s

dE'

E'(1)E'

s

EcE/a

dE'(1)E'

2

s

(1)Ec

(

IE/

)

(EEc)s(1)EEc

(这里隐含一个前提：E/a>E-)(2)利用上一问的结论:

EglEg

Q(E)dE

s

E

Eg1

(1)Ec

Eg

s(1)

EglEg

IE

dE

s(1)

(

Eg1Eg

Ec

In

EglEg

)

2-8.计算温度为535.5K,密度为0.802X103kg/m3的H2O的热中子平均宏观吸收截

面。解：已知H20的相关参数，M=18.015g/mol,P=0.802X103kg/m3,可得：

N

10NA

M

3

0.802106.02310

18.015

623

2.6810

28

m

-3

已知玻尔兹曼常数k=1.38X10-23J-K-1,则：

kTM=1.38X10-23X535.5=739.0(J)=0.4619(eV)

查附录3,得热中子对应能量下，。@=0.664b,&=0.948,。s=103b,oa二

0.664b,由“1/v”律

加.0253/仃“

a(kTM)a0.4914(b)由56页(2-81)式，中子温度:

TnTM[10.462Aa(kTM)s]535.5[10.46218N0.4914N1031577.8

(K)

(b)所以：aNa2.680.41081.123(m-1)

三章

3.1有两束方向相反的平行热中子束射到235U薄片上，设其上某点自左面入射的中子

束强度为1012cm-2-s-lo自右

12-2-1面入射的中子束强度2X10cm•s,计算：

(1)该点的中子通量密度；

(2)该点的中子流密度；

(3)设£a=19.2X10m,求该点的吸收率。

解：(1)由定义可知：II3X1012(cm-2-s-l)

12-2-1(2)若以向右为正方向：JII-1X10(cm•s)2-1

可见其方向垂直于薄片表面向左。

(3)Raa19.2«3X1012=5.76X1013(cm-3•s-1)

3.2设在x处中子密度的分布函数是

nx/aEn(x,E,)Oee(1cos)2

其中：入，。为常数，U是与X轴的夹角。求：

(1)中子总密度n(x)；

(2)与能量相关的中子通量密度6(x,E)；

(3)中子流密度J(x,E)。

解：由于此处中子密度只与与x轴的夹角有关，不妨视N为极角，定义在Y-Z平

面的投影上与Z轴的夹角4)为方向角，则有：

(1)根据定义：

n(x)

OdE2

0n0420ex/eaE(1cos)deaEOdE

x/deaEn02

Oex/(1cos)sindnOeOdE(1cos)sind

可见，上式可积的前提应保证a<0,则有:

n(x)nOe

nOex/(eaEa)0(sind0Ocossind)x/acos

00)2n0eax/(2)令mn

为中子质量，则Emnv2/2v(E)

(x,E)n(x,E)v(E)4x/aEn(x,E,)d2n0ee（等价性证

明：如果不作坐标变换，则依据投影关系可得：

cossincos

则涉及角通量的、关于空间角的积分：

4(1cos)d

2

020d(1sincos)sind02dsind0Ocosd

sind02

2(cos)(sin020sind)40402

对比：

4(1cos)d

2

02Od(1cos)sind020dsind0dsmcos

d0

2(cos0)(sincosd)4040

可知两种方法的等价性。）

(3)根据定义式:

也心，

J(x,E)(x,E,)d44n(x,E,)v(E)d

dcos(1cos)sind02

x/20nOeeaEcossind0Ocossind)2

利用不定积分：cosxsinxdxncosnlx

n1

3,则：

尼/叫।

f/4ititIf

2%ee72E1明

C(其中n为正整数)J(x,E)nOex/eaEcos3)

03

3.7设一立方体反应堆，边长。=9m»中子通量密度分布为

xyzl3x,y,z3lOcos()cos()cos()aaa(cm2s)1

已知D=0.84X10-2m,L=0.175m,试求:

(1)J(r)表达式；

(2)从两端及侧面每秒泄漏的中子数；

(3)每秒被吸收的中子数(设外推距离很小可略去)。

13-2解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化

表达式起见，不妨设60=3X10cm

•S-lo

(1)利用Fick'sLaw：

J(r)J(x,y,z)Dgrad(x,y,z)D(ijk)

xyz

xyzyxz

71/2兀X,兀V2兀42/TV27tX2九工7；

一/sin'(——)cos(——)cos^(——)+sin(——)cos*(——)cos"(——)+sirT(一

aaaaaaaa

zxy

D0[sin()cos()cos()isin()cos()cos()jsin()cos()cos()k]

aaaaaaaaaa

J(r)J(r)D0

计算上端面的泄漏率：

2)先za/2

J(r)kdSD0

S(za/2)a

a/2a/2

dx)]

a/2a/2a/2

sin(

2

)cos(a

x

a

)cos(

y

a

)dy

D0

a

a[

sin(

x

a

a/2

)]

a/2

[

a

sin(

a

4D0

a/2

同理可得，六个面上总的泄漏率为：L=64D0

a

3.14

16-1

其中，两端面的泄漏率为L/3=5.8X10(s)；侧面的泄漏率为L-L/3=1.2X1017

(s-1)

240.8410

2

310

13

10

4

9

1.7X10(s)

17-1

(如果有同学把问题理解成‘六个面'上总的泄漏，也不算错)

22(3)由1D/a可得aD/L

由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：

a/2a/2a/2DxyzD2a3

RdVdVdxdycos()cos()cos()dz()0022VaVaa/2a/2a/2L

aaaL0.84

1017

3102

0.175

2

2

138

1020(s-1))1.24X

3.14

3.8圆柱体裸堆内中子通量密度分布为

(r,z)10cos(

12

z

H

)J0(

2.405rR

)(cm

2

s)

1

其中，H,R为反应堆的高度和半径(假定外推距离可略去不计)。试求：(1)径向

和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比；(2)每秒从堆侧表面和两个端

面泄漏的中子数；

(3)设H=7m,R=3m,反应堆功率为10MW,。f,5=410b,求反应堆内235U

的装载量。解：有必要将坐标原点取在圆柱体的几何中心，以保证中子通量始终为正。

为简化表达式起见，不妨设*0=1012cm-2”T。且借用上一题的D值。(1)先考虑

轴向：z

H/2H/2

dz/

H/2H/2

dzH

H/2H/2

Ocos(

H/2

z

II

)J0(2

2.405rRR

)dr/H

0

H

J0(

2.405rR

)[

sin(

z

H

)]

H/2

0J0(

2.405r

)

且

II

Osin(

z

H

)JO(

2.405rR)

)在整个堆内只在z=O时为0,故有:

z,max(r,0)OJO⑵405rR

z/z,max

2

0J0(

2.405rR

RO

)/OJO(

2.405rR

)

2

径向：r

RO

dr/dr

R

Ocos(

z

H

)J0(

2.405rR

)dr/R

且

r

Ocos(

z

H

OJO

2.405rR

)

2.405R

Ocos(

z

H

)J1(

2.405rR

)在整个堆内只在厂0时为0,故有:

r,max(0,z)Ocos(

z

II

R

)2.405rR

)dr/ROcos(

r/r,maxOcos(

z

H

)J0(

z

H

)

RO

JO(

2.405rR

)dr/R

已知

2.405

J0(x)dx1.47,所以：

1.47R2.405

/R0.611

r/r,max

(2)先计算上端面的泄漏率:

LzH/2J(r)ezdS

S(zH/2)

20

S(zH/2)

Dgrad(r,z)ezdS

2OR

Dd

RO

z[

rdr

zH/2

Dd

RO

H

sin(

2

z

H

)rJ0(

2.405rR

)dr

zH/2

D02

H

R2.405

rjl(

2.405rR

2

)]

2D0R2.405H

JI⑵405)

易知，两端面总泄漏率为2侧面泄漏率：

L

2D0R2.405H

10(s)JK2.405)2.93X

14-1

rR

S(rR)

J(r)erdSd

H/2H/2

S(rR)

Dgrad(r,z)erdS

D

20

r

Rdz

rR

JI,且已知JI⑵405)=0.5191,可得:利用Bessel函数微分关系式:

JOJO(2.405r/R)

r

2.405R

Jl(

2.405rR

)

所以：L

D02

2.405R

RJ1(2.405)[

Hsin(

z

II

H/2

rR

)]

H/2

6

22.405HD0

19

JI(2.405)4.68X10(s)

11

14-1

(3)已知每次裂变释能Ef200MeV200101.610

PEffdVEfN5

V

V

f,5

3.210(J)

dV

所以：N5其中：

P

Ef

V

f,5dV

dV

VH/2H/2dz

H2Od0cos(0RzHR)JO(2.405rR)rdr20[sin(z

IIII/2)dr])]

H/2[rJ0(02.405rR

利用Bessel函数的积分关系式：xnjn1(x)dxxnjn,可得

rJ0(2.405rR)drR

2.405rJI(2.405rR)

已知：JI(0)=0,JI(2.405)=0.5191,所以：

dV20

V2I1R2.405RJ1(2.405)42.4050HRJ1(2.405)=5.44X1017(m«s-l)2

所以：

N5PEff,5dV

V10/(3.2X10X410X10X5.44X10)=1.40X10(m)6-11-281724-3

所需235U装载量：

m5103N5VM5/NA10X1.40X10X3.14X3X7X235/(6.02X10)=108(kg)-

324223

3.9试计算E=0.025eV时的镀和石墨的扩散系数。

解：查附录3可得，对于E=0.025eV的中子：

Be

C

对于Be：Ds/m-18.653.851

3s(l0)0.0416(m)100.92590.9444tr3s3(l0)

3同理可得，对于C：D=0.0917(m)3-12试计算T=535K,P=802kg/m时水

的热中子扩散系数和扩散长度。

解：查79页表3-2可得，294K时：D0.0016m,由定义可知：

D(T)

D(293K)tr(T)/3

tr(293K)/31/s(T)1/s(293K)N(293K)s(293K)N(T)s(T)(293K)(T)

所以：

D(293K)D(293K)/0.00195(m)

(另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查

附表3可得：s1031028m,2100.676,

3a0.6641028m2在T=535K,P=802kg/m时，水的分子数密度：

N10NA

M310X802X6.02X10/18=2.68X10(m)32328-3

所以：sNs276(m-l)Dtr

3s

3(10)13s(l0)1/(3X2.68X103X0.676)=0.00179(m)

这一结果只能作为近似值)

中子温度利用56页(2-81)式计算：

TnTM[10.462Aa(kTM)s]TM[10.462Aa(kTM)]s

21其中，介质吸收截面在中子能量等于kTM=7.28X10J=0.0461eV

再利用“1再”律:

>/0.0253/0.0461

a(kTM)a(0.0253eV0.4920(b)

Tn=535X(1+0.46X36X0.4920/103)=577(K)

(若认为其值与在0.0253eV时的值相差不大，直接用0.0253eV热中子数据计算：

Tn=535X(1+0.46X36X0.664/103)=592(K)

这是一种近似结果)

(另一种方法：查79页表3-2,利用293K时的平均宏观吸收截面与平均散射截面：

a(293K)1.97(m-l)

s(293K)13D(293K)(10)1/(3X0.0016X0.676)=308(m-1)

进而可得到Tn=592K)

利用57页(2-88)式

a/0.0253)293

1.128V592

a-10.414X10-28(m2)aNa1.11(m)

s

s(293K)NsN(293K)s(293K)NN(293K)(293K)

ss(293K)(293K)

3(293K)D(293K)(10)802/(3X1000X0.0016X0.676)=247(m-1

3x1.1lx247x0.676

)L0.0424(m)

(此题如果利用79页(3-77)式来计算：

由于水是“1/v”介质，非1/v修正因子为1：

LL22

代入中子温度可得:

^L；V592/293

『592/293

0.02850.0340(m)

这是错误的！因为(3-74)式是在(3-76)式基础上导出的，而(3-76)式是栅格的计

算公式，其前提是核子数密度不随温度变化)3.13如图3-15所示，在无限介质内有两个

源强为Ss-1的点源，试求P1和P2点的中子通量密度和中子流密度。解：按图示定义

平面坐标。

0

假设该介质无吸收、无散射，则在P2点，来自左右两个点源的中子束流强度均为1+=

I-=S/4na2,可知：(P2)1(P2)I(P2)S/2a

J(P2)I(P2)I(P2)02X

在Pl

点，来自左右两个点源的中子束流强度均为S/4)2,且其水平方向的投影分量恰好大

小相等、方向相反，可得：

(Pl)I(P1)I(P1)

6

S/4a

J(P1)I(Pl)I(Pl)28a2

其方向沿丫轴正向。

若考虑介质对中子的吸收及散射，设总反应截面为3则上述结果变为：

(P2)Se

J(P1)ta/2ata22J(P2)0)

s

(Pita/4a28a

(注意：如果有同学用解扩散方程的方法，在有限远处的通量密度同时与x、y、z有

关。)

3-16设有一强度为I(m・s)的平行中子束入射到厚度为a的无限平板层上。试求：

(1)中子不遭受碰撞而穿过平板的概率；

(2)平板内中子通量密度的分布；

(3)中子最终扩散穿过平板的概率。

解：(1)I(a)/IOexp(ta)

(2)此情况相当于一侧有强度为I的源，建立以该侧所在横坐标为x原点的•维坐标

系，则扩散方程为：d(x)

dx22-2-l(x)L20,x0

边界条件：i.limj(x)Ix0

方程普遍解为：(x)Aex/LCex/L由边界条件i可得:

limj(x)lim(D

x0

x0

ddx

)lim{D[A

x0

IL

e

x/L

C

IL

e

x/L

]}

DL

(AC)I

A

ILD

C

由边界条件ii可得:limj(a)

xa

x

(a)4

16tr

2a/L

d(x)dx

xa

Ae

a/L

Ce4

a/L

Ae

a/L

Ce

a/L

6Ltr

0

A

23Ltr23Ltr

Ce

L2DL2D

Ce

2a/L

所以:L2DL2D

Ce

2a/L

ILD

CC

IL1

D2DL2a/L

e1

2DL

2DLIL

D2DL2a/L

e1

2DL

e

2a/L

A

ILD

(1

1

2DL2DL

2a/L

)1

2DL

(x)

ILD

(

1x/Lx/Lee)

2DL2a/L2DL2a/L

ele1

2DL2DL

(ax)/L

(ax)/L

e

2a/L

IL(L2D)e(2DL)e

[a/La/L

D(L2D)e(2DL)e

]

(也可使用双曲函数形式：

方程普遍解为：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)由边界条件i可得:

limj(x)lim(D

x0

x0

ddx

)lim{D[

x0

AL

sinh(

xL

)

CL

cosh(

xL

)]}

DL

CI

C

ILD

由边界条件ii可得:

x

J(a)

(a)

4

16traaL

d(x)dx

xa

Acosh(

a)/4

a)Csinh(4ILD

a

a)Asinh(

a

6LtraaL))

)Ccosh(

)0

a

cosh(

AC

cosh(

)/6Ltrsinh()/4sinh(

aL

2Dcosh(Lcosh(

aL

)Lsinh(

)/6Ltr

)2Dsinh(所以：

)xx(x)[()cosh()sinh()]aaDLLLcosh()2Dsinh()LL

可以证明这两种解的形式是等价的)IL2Dcosh(a)Lsinh(a

(3)此间相当于求x=a处单位面积的泄漏率与源强之比：

J

xxa

I

J(a)J(a)Ia/LxJ(a)IDd(x)Ia/L(L2D)Lxaldx(L2D)ea/

La/L(L2D)e(L2D)14D(L2D)e(L2D)e

(或用双曲函数形式：

Jxxa

I2D

Lcosh(a/L)2Dsinh(a/L))

3T7设有如图3T6所示的单位平板状“燃料栅元”，燃料厚度为2a,栅元厚度为

2b,假定热中子在慢化剂内以均匀分布源(源强为S)出现。在栅元边界上的中子流为零

(即假定栅元之间没有中子的净转移)。试求：

(1)屏蔽因子Q,其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内平均中子通量密度之

比；

(2)中子被燃料吸收的份额。

解：(1)以栅元儿何中线对应的横坐标点为原点，建立一维横坐标系。在这样对称的

几何条件下，对于所要解决的问题，我们只需对x>0的区域进行讨论。燃料内的单能

中子扩散方程：d(x)

dx22(x)L20,0xa

边界条件：i.limj(x)0ii.lim(x)SxOxa

通解形式为：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)

利用Fick'sLaw：J(x)D

A

Ld(x)dxD[ALsinh(xL)CLcosh(xL)]代入边界条件i：D[sinh(x

L)C

Lcosh(x

D]

x0DCL0C0

aaaS代入边界条件ii：AcoshOCsinhOAcoshOSALLLcosh(a/L)

所以FFdVdVaOdxadxlS

Facosh(a/L)aOcosh(xL)dxISLsinh(a/L)acosh(a/L)SLatanh(aL)

OScosh(a/L)aacosh(a/L)coth()SLLLFtanh(a/L)a

(2)把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃

料和慢化剂的宏观吸收截面分Q(a)别为a和a,则有：FM

F

Fa

F

dV

Fa

aO

Fa

aO

adx

F

dV

M

dV

Ma

dx

ba

Ma

aaF

aF(ba)S

Fa

Ma

F

aLtanh(a/L)Ltanh(a/L)(ba)

Fa

Ma

F

回顾扩散

dx

FF

长度的定义，可知：L2D/aaLD/L,所以上式化为:

aLtanh(a/L)Ltanh(a/L)

F

a

Ma

F

(ba)

Dtanh(a/L)

Dtanh(a/L)L(ba)

Ma

(这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S,其在b处的流密度自然为0,但

在a处情况特殊：如果认为其流密度也为0,就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料

内通量为。这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追

究每个细节。)

3-21解：(1)建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系(对此问题表达式较简

单)，建立扩散方程：

DaS

2

即：

2

aD

SD

边界条件：i.0,ii.J(r)0,0r设存在连续函数(r)满足:

22,Sia

2DDL

(1)

(2)

2

可见，函数(r)满足方程由条件i可知：C=0,

1L

2

，其通解形式：(r)A

exp(r/L)

r

C

exp(r/L)

r

由方程(2)可得：(r)(r)S/aAexp(r/L)/rS/a再由条件ii可知:

A=0,所以：S/a

(实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为0)

(2)此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立

扩散方程：

DaS

2

即：

2

aD

SD

,x>0

iii.limj(x)0

x

边界条件：i.0II,

ii.limj(x)at(0)/2,

x0

对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。

参考上一问中间过程，可得通解形式：(x)Aexp(Cexp(x/L)S/a

J(x)D

ddx

ADLe

x/L

CDL

e

x/L

由条件ii可得：

limj(x)

x0

ADL

CDL

a

t2

(AC

Sa

)CAa

tL2D

(AC

Sa

)

由条件iii可得：C=0所以：AatL2D(AS

a)A(S2D

tLa1)a

(x)

(S2D

tLa1)aex/LSaSa[lteax/Lt(2D/L)a]

对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。

3-22

解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：l(x)

2(x)221L2l(x),2(x),x01L2x0

边界条件：i.lim1(x)lim2(x);xOxOii.

lim[J(x)|x0J(x)|x0]S;0

iii.1(a)0;iv.2(b)0;通解形式：1Alsinh(x/L)Clcosh(x/L),

2A2sinh(x/L)C2cosh(x/L)由条件i：ClC2

由条件ii：

dllim(Dx0(1)dxDd2

dx)limD

Lx0[Alcosh(

SL

DxL)Clsinh(xL)A2cosh(xL)C2sinh(xLSSL

DA2AlAlA2(2)

由条件iii、iv：

Alsinh(a/L)Clcosh(a/L)0Clcosh(a/L)Alsinh(a/L)(3)

(4)A2sinh(b/L)C2cosh(b/L)0C2cosh(b/L)A2sinh(b/L)

联系(1)可得：AlA2tanh(b/L)/tanh(a/L)

结合(2)可得：

A2SLDA2tanh(b/L)tanh(a/L)A2SL/D1tanh(b/L)/tanh(a/L)

AlSL/D1tanh(a/L)/tanh(b/L)

ClC2Altanh(a/L)SLtanh(a/L)tanh(b/L)/Dtanh(a/L)tanh(b/L)所以：

SLtanh(b/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)

],x0D[tanh(b/L)tanh(a/L)

(x)

SL[tanh(a/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)],x0tanh(b/L)tanh(

a/L)D

3-23

证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方

程：

DaS

2

即：2

aD

SD

,x>0

iii.(ad)0

边界条件：i.0|,ii.limj(x)0,

x0

参考21题，可得通解形式：(x)Asinh(x/L)Ccosh(x/L)S/a

J(x)D

ddx

ADLcosh(

xL)

CDLsinh(

xL)

由条件ii可得：

limj(x)

x0

ADL

0A0

adLxL

)

Sa

Sa

0c

s

acosh(

[1

cosh(x/L)cosh(

adL

)]

adL

)

再由条件iii可得：(ad)Ccosh(

所以：(x)

S

acosh(

adL

)

cosh()

Sa

由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。

3-24设半径为R的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S个中子，试求球体内的中

子通量密度分布。解：以球心为原点建立球坐标系，建立扩散方程：

DaS

2

即:

2

aD

SD

iii.Iim4rj(r)0

r0

2

边界条件：i.0,

exp(r/L)

r

2

ii..(Rd)0,

exp(r/L)

r

rL

通解：(r)AC

Sa

rL

由条件iii:lim4rj(r)lim4D[A(

r0

r0

l)e

r/L

C(l)e

r/L

]0AC

再由条件ii：(Rd)

A

a[exp(ARd

exp(

RdL

)

CRd

exp(R

RdL

)

Sa

0

(Rd)SRdL

)exp(

RdL

)]

所以：(r)

(Rd)S[exp(r/L)exp(r/L)]1a[exp(

RdL

)exp(

RdL

)]

r

Sa

Sa

[1

(Rd)cosh(r/L)rcosh(

RdL

)

]

(此时，limj(r)0)r0

第四章

4-1试求边长为a,b,c(包括外推距离)的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度分

布。设有一边长a=b=c=0.5m,c=0.6m(包括外推距离)的长方体裸堆，L=0.0434m,

T=6cm2o(1)求达到临界时所必须的k8；(2)如果功率为5000kW,2f=4.01nr

1,求中子通量密度分布。

解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：D(x

22

y

2

2

z

2

2

)aka0

边界条件：(a/2,y,z)(x,b/2,z)(x,y,c/2)0

(以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含了外推距离)

因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法：(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)

XX

2

将方程化为：

YY

2

ZZ

2

2

k1L

2

设：

XX

2

B,

2x

YY

2

B,

2y

ZZ

Bz

2

先考虑x方向，利用通解：X(x)AcosBxxCsinBxx代入边界条件：Acos(Bx

a2

)0Bnx

na

,n1,3,5,...Blx

a

同理可得：(x,y,z)Ocos(

a

x)cos(

a

y)cos(

a

z)

其中60是待定常数。

2222

其几何曲率：Bg()()()106.4(m-2)

a

b

c

(1)应用修正单群理论，临界条件变为：其中：M

2

k1M

2

Bg

2

L0.00248(m)

22

k1.264

(2)只须求出通量表达式中的常系数4)0

a

PEf

V

fdVEff0

2a2

cos(

a

b

x)dx

2b2

cos(

b

c

y)dy

2c2

cos(

c

z)dzEffOabc(

2

)

3

0

p(/2)

3

Effabc

1.007X1018(m-2»s-l)

4-2设一重水-铀反应堆堆芯的k8=i.28,L2=l.8X10-2m2,T=1.20X10-2m2。试按

单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部材料曲率和达到临界时总的中子不泄

漏概率。解：对于单群理论：Bm在临界条件下：

11BgL

2

2

2

kIL

2

15.56(m-2)

11BmL

2

2

0.7813（或用1/k）

对于单群修正理论：M

Bm

2

2

2

L0.03(m)

2

kIM

2

9.33(m)

-2

在临界条件下：

11BgM

2

2

11BmM

2

2

0.68\0.7813?

(注意：这时仍能用1/k,实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄

漏概率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了)

4-4解：N5

10005NA

M5

N5NCN5

28

-3

10005NAN5

M5

NC

二4.79X1024(m-3),

NCN5

NCN5

10(m)4.79X

堆总吸收截面：aN5(f)NCa=0.344(m-1)

5

5

C

总裂变截面：fN5fNCL

2

5

C

f

N5f=0.280(m)

5-1

Da

D

N5()NC

5

5f

Ca

=2.61X10-2(m2)

k

vfa

vN5

5

5

5

f

C

N5(f)NCa

2m

=1.97

则材料曲率：B

2

kIL

2

2

vN5

5f

N5(f)NCa

D

55C

二37.3(m-2)

在临界条件下：Bg(

Bm

2

R

考虑到外推距离：d

2tr3

2D=0.018(m)

(如有同学用d=o.7104tr也是正确的，但表达式相对复杂)再考虑到堆的平均密

度：

5N5CNC

N5NC

NM1000NA

5512NC/235N5

1NC/N5

=957(kg/m3)

(或者由N

1000NA

M

3

)实际的临界质量：

4(Rd)512NC/235N54

531NC/N532D]=156(kg)

34-5

证明：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程:

22

2rr

2

B

边界条件：i.limj0；

rRI

ii.（R2）0；

（如果不认为R2包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖）球域内方程通解:

（r）A由条件i可得：

limjD|rRIAB

cosBRl

RI

A

sinBRl

R

21

cosBrr

C

sinBrr

rRI

CB

sinBRl

RI

C

cosBRl

R

21

0

CA

BRlcosBRlsinBRIBRIsinBRIcosBRl

A

tanBRlBRlBRltanBRl1

由条件ii可得：

(R2)A

sinBR2

R2

C

cosBR2

R2

0CAtanBR2

由此可见,tanBR2

235

tanBRlBRlBRltanBRl1

3

,证毕

3

238

4-7一由纯U金属(P=18.7X10kg/m)组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯

试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：

235

U(P=19.0X10kg/m),

33

U：of=1.5b,oa=l.78b,Str=35.4m-1,v=2.51；238U：of=0,oa=0.18b,

2tr=35.4m-lo

解：以球心为坐标原点建立球坐标系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程，

设其分界面在半径为R处：U-235：5

1L

2

8

2

k1L5

2

5

方程1

U-238：8

2

8

方程2

8r

rR

边界条件：i.lim5

r0

ii.5(R)8(R)

iii.D5

5r

rR

D8

iv.lim80

r

令B

2

k1L5

2

(在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率)，球域内方程1通解:

sinBrr

5(r)A5

cosBrr

C5

sinBrr

由条件i可知A5=0,所以：5(r)C球域内方程2通解：8(r)A8

exp(r/L8)

r

exp(r/L8)

C8

由条件iv可知C8=0,所以：8(r)A

exp(r/L8)r

由条件ii可得：C由条件iii可得：

sinBRR

A

exp(R/L8)

R

CA

exp(R/L8)sinBR

D5C(B

cosBRR

sinBRR

2

)D8A(

1L8R

1R

)exp(2

RL8

)C

D8D5

(A

RL8

l)exp(

RL8

)

sinBRBRcosBR

所以(由题目一知参

数：tr,5tr,8D5

RL8

RL8

13tr,5

13tr,8

D8)

(A

l)exp()

D8D5

sinBRBRcosBR

RL8

A

exp(R/L8)sinBR

sinBRBRcosBR(

RL8

DsinBR

即：BRcosBRsinBR

cosBR

1BL8

sinBRR

arccot(1/BL8)

B

代入数据：

N5

105NA

M5

3

4.79X10(m)

-28-3

N8

108NA

M8

3

4.81X10(m)

-28-3

k

vf,5a,5

V

f,5

a,5

2.115L5

2

13a,5

1.31X10-3(m2

R

arccot(1/BL8)

B

/2arctan(1/BL8)

B43

0.06474(m)m5V55R

3

21.3(kg)

4-8

证明：(1)如图4-8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为(临界条件下，几

何曲率与材料曲率相等)：r

22

1rr

1r

2

2

2

z

2

2

Bg,(0rRO,

2

,H/2zH/2)

边界条件(不考虑外推距离)：i.|rRr00ii.

|0|0iii.|zH/2|zH/20

(注意，这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：

i如果ai(t)(xO

(0)

1,2,n,f都)t是区间［ab上的连续函数，则对于任-t0(a,b)