湖南省湘西州2021年中考数学真题（含答案）

2021年湖南省湘西州中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题44，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正

确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）

1.2021的相反数是（）

A.2021B.-2021---------D.-----------

20212021

【答案】B

【解析】

【分析】根据相反数的定义可直接进行排除选项.

【详解】解：2021的相反数是一2021；

故选B.

【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键.

2.计算-1+3的结果是（〉

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】根据有理数的加法法则可直接进行求解.

【详解】解：-1+3=3-1=2；

故选A.

【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键.

3.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决

赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可.

【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故选B.

【点睛】本题考查了中位数意义.解题的关键是正确的求出这组数据的中位数.

4.下列计算结果正确的是（）

।12

A.(/)~="B.(-Z?C)4+(-〃C)2-一〃2c2C.1H——D.

aa

j1a

a-7-b--=—

bb2

【答案】D

【解析】

【分析】根据事的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可.

【详解】解：A.(a3)2=a6,故A选项错误；

B.(-be)4^(-bc)2=b4c4^b2c2=b^c2,故B选项错误；

C.1+1=-+-L=-,故C选项错误；

aaaa

D.=d=卞,故D选项正确.

故答案为D.

【点睛】本题考查了幕的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握

相关运算法则是解答本题的关键.

5.工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图()

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项.

【详解】解：由题意得该几何体的俯视图为(o

故选B.

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

6.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，E尸〃8,交AO于点E，如果防=5.5,那么菱形A8C。

的周长是（）

【答案】D

【解析】

【分析】由题意易得△A"S2XACZ）,则有=然后可得CD=11,进而根据菱形的性质可求

解.

【详解】解：：EF〃CD,

4AEFs^ACD,

.AEEF

'~AC~~CD'

••£是AC的中点，

lcc：I即哈也

.•EF=5.5,

♦.8=11,

.•四边形ABC。是菱形,

'•C菱形ABCD=48=44；

故选D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形

的性质是解题的关键.

7.如图，在AECD中，NC=90。，AB上EC于点B,AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4,则CO的长

是（)

D

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

【答案】c

【解析】

【分析】由题意易得NA8E=NC=9O°,EC=14,则有然后可得二。CE,然后根

据相似三角形的性质可求解.

【详解】解：；NC=90°，AB1EC,

ZABE=NC=90。,

AB//CD,

:_ABE0r^DCE）

.ABEB

*'CD-EC'

VAB=1.2,EB=16,BC=\2.4,

：.EC=14,

•L2_1.6

"CD"T4'

CD=10.5；

故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

8.如图，面积为18的正方形A3CD内接于。O,则AS的长度为（）

AB

9379

A.9万B.—KC.—D.—7t

224

【答案】C

【解析】

【分析1连接20、AC,由题意易得。8=3,△4。8=90。，然后根据弧长计算公式可求解.

【详解】解：连接B。、4C,

•..四边形ABCD是正方形，且面积为18,

...ZAOB=90°,BD2=36,

BD=6,

OB=-BD=3,

2

..njrr90x3x万37

/.AB的长度为——=--------=—；

1801802

故选C.

【点睛】本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键.

2

9.如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为＞=——

X-1

的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）

A.图象与x轴没有交点

B.当龙>0时y>0

c.图象与y轴的交点是(o,-工)

2

D.y随x的增大而减小

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数图象可直接进行排除选项.

【详解】解：由图象可得：X—1。()，即XH1,

A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；

B、当0<x<l时，y<0,错误，故不符合题意；

C、图象与)，轴的交点是(0,-2),错误，故不符合题意；

D、当x<l时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0,当x>l时，y随x的增大而减小，且y的值永

远大于0,错误，故不符合题意；

故选A.

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.

10.已知点M(x,y)在第一象限，且x+y=12,点4(10,0)在x轴上，当AO的4为直角三角形时，点M的

坐标为()

A.(10,2),(8,4)或(6,6)B.(8,4),(9,3)或(5,7)

C.(8,4),(9,3)或(10,2)D.(10,2),(9,3)或(7,5)

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可分当NQ4〃=90°时和当NOM4=90°时，然后根据题意进行分类求解即可.

【详解】解：由题意得：

当NQ4M=90°时，如图所示：

VA（10,0）,M（x,y）,

x=10,

Vx+y=12,

y=2,

.•."(10,2)；

当NOM4=9()°时，过点M作MBLv轴于点2,如图所示:

NMBO=NMBA=NOMA=90°,

：..MBO^ABM,

.BMOB

•.•4（10,0）,M（x,y）,

OB-x,BM---y,OA-10,

Vx+y=12,

：.OB=x,BM=n-x,AB=10-x,

.,.(12-X)2=X-(10-%),解得：玉=8,遍=9,

.•.当x=8时，则y=4；当x=9时，则y=3,

.•.”(8,4)或加(9,3)；

故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质

与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横

线上)

11.计算：(―g)=.

【答案】-

4

【解析】

【分析】根据乘方运算的符号规律，即可得到结果.

【详解】解：(一；)=；，

故答案为：

4

【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟记乘方运算的符号规律.

12.北京时间2021年2月1()II19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动,

顺利进入近火点，高度约400000m,成为我国第一颗人造火星卫星.其中，400000用科学记数法可以表

示为—.

【答案】4xl05

【解析】

【分析】根据科学记数法可直接进行求解.

【详解】解：把400000用科学记数法可以表示为4x105；

故答案为4x105.

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键.

13.因式分解：a2-2a=-

【答案】a(a-2)

【解析】

【详解】原式

14.若二次根式J2X-1在实数范围内有意义,则X的取值范围是.

【答案】x>-

2

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解.

【详解】解：由二次根式岳二T在实数范围内有意义可得：

2x—1>0,解得：X>一；

2

故答案为x>—.

2

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关健.

15.实数W是一元二次方程》2一3%+2=0的两个根，则多项式机“一机一〃的值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得机+〃=3,机n=2,然后代入求解即可.

【详解】解：；加，”是一元二次方程V—3x+2=0的两个根，

...根据一元二次方程根与系数的关系可得，〃+〃=3,m»=2,

mn—m—n=nut—^m+n)=2—3=—1；

故答案一1.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关

键.

2,

16.若式子一^+1的值为零，则〉=一.

y-2

【答案】0

【解析】

【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解.

2

【详解】解：由式子一^+1的值为零可得:

》一2

y=0且y-2H0,

y=°；

故答案为0.

【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键.

17.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为A3、CD,若CDHBE,Zl=20°,则

N2的度数是一.

【答案】40°

【解析】

【分析】如图，由折叠的性质可得NBA尸=N1=2O。，进而可得NCHB=N”钻+NHR4=40°,然后易

得四边形C/73D是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解.

【详解】解：如图所示：

Zl=20°,

由折叠的性质可得ZBAF=Zl=20°,

CD//BE,

ZHBA=NBAF=20°,

：.ZCHB=AHAB+ZHBA=40°,

CH//BD,

四边形C778O是平行四边形,

ZCHB=Z2=40°：

故答案为40。.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性

质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键.

18.古希腊数学家把1，3,6,10,15,21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表

示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为％=1,第二个图形表示的三角形数记为4=3,••

则第〃个图形表示的三角形数%=—.（用含〃的式子表达）

(1)(2)(3)(4)

(1+〃)〃

【答案】

~2-

【解析】

【分析】由题意易得％=1,4=1+2=3,%=1+2+3=6,4=1+2+3+4=10；..…；然后由此规

律可得第几个图形表示的三角形数.

【详解】解：由图及题意可得:

4=1,凡=1+2=3,%=1+2+3=6,4=1+2+3+4=10；

（1+〃

・・・第/个图形表示的三角形数％=1+2+3+4+…2

一……(1+〃)〃

故答案为--------

2

【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可.

三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解

答或证明的主要步骤）

19.计算：（一2）——卜5|+4sin45。.

【答案】-4

【解析】

【分析】根据零次塞、特殊三角函数值及算术平方根可直接进行求解.

【详解】解：原式=1—2&—5+4X注=-4.

2

【点睛】本题主要考查零次幕、特殊三角函数值及算术平方根，熟练掌握零次幕、特殊三角函数值及算术

平方根是解题的关键.

3（x-l）>x

20.解不等式组：\X-3,并在数轴上表示它的解集.

1-2x2-----

I2

I」।I।I।1।.

T7-2-101234

【答案】无解，数轴见详解

【解析】

【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解，然后再数轴上表示出解集即可.

3(x-l)>XD

详解】解:l-2x>^(2)

2

3

由①得：x>—,

2

由②得：x<l,

...原方程无解，

在数轴上的表示如图所示:

-4-3-2-i0I3234

2

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

21.如图，在AA8C中，点。在AB边上，CB=CD,将边C4绕点C旋转到的位置，使得

乙ECA=4DCB,连接与AC交于点F,且N6=70°,ZA=10°.

（1）求证：AB=ED；

（2）求Z4EE的度数.

E

【答案】（1）见详解；（2）ZAFE=50°

【解析】

【分析】（1）由题意易得NE8=NACB,AC=EC,则有△ACB乌△£（»,然后问题可求证；

（2）由（1）可得NE=NA=10。，然后可得NEC4=NOC8=4（）°,进而根据三角形外角的性质可进行

求解.

【详解】（1）证明：•.•NfC4=Nr）CB,

ZECA+NACO=NDCB+ZACD,即ZECD=ZACB,

VAC=EC,CB=CD,

,ACB^ECD（SAS）,

；•AB=ED；

（2）解：：CB=CZ）,ZB=70°,

：.NCDB=ZB=7G0,

•••根据三角形内角和可得/BCD=180°-2ZB=40°,

...ZEC4=ZZ）CB=40°,

由（1）可得△ACBmLECD,

;NA=10。，

ZE=ZA=10。，

ZAFE=NE+NACE=50。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等

三角形的性质与判定是解题的关键.

22.为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号

如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行

问卷调查.根据统计数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

（1）该校此次调查共抽取了名学生；

（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）;

（3）若该校共有200（）名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动.

活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文

活动代号ABCDE

【答案】（1）50；（2）图见详解；（3）该校有240名学生参加舞蹈活动.

【解析】

【分析】（1）由统计图及题意可直接进行求解；

（2）由（1）可得参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6名，然后补全条形统计图即可;

（3）由（2）及题意可直接进行求解.

【详解】解：（1）由题意得：

该校此次调查共抽取的学生人数为10+20%=50（名）：

故答案为50；

（2）由（1）及题意可得：

参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6（名）；

补全条形统计图如图所示：

2000x9=240(名)；

50

答：该校有240名学生参加舞蹈活动.

【点睛】本题主要考查条形统计图及扇形统计图，解题的关键是根据统计图得到基本信息，然后求解即可.

23.有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西

自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉

学校数学实践活动小组为测量“一心阁"C”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶。处的仰角为

30°,在平地上8处观测到楼顶。处的仰角为45°,并测得4、8两处相距20m,求“一心阁”CH的高

度.（结果保留小数点后一位，参考数据：血21.41，6=1.73）

【答案】S=27.5m

【解析】

【分析】由题意易得设CH=BH=xm,则有A//=（20+x）m,进而根据三角函数可进行求解.

【详解】解：由题意得：ZCHA=90°,ZCBH=45°,ZA=30°,AB=20m,

CH=BH,

设CH=BH=xm,则有AH=(20+x)m,

C”=A//tan300,+x),

解得：xa：27.5,

CH=27.5m.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.

24.如图，A3为。。的直径，。为③。上一点，A。和过点C的切线互相垂直，垂足为。.

（1）求证：AC平分NDBA；

3

（2）若AD=8,tanNC4B=—,求：边AC及A8的长.

【答案】（1）见详解；（2）AC=10,AB=—

2

【解析】

【分析】（1）连接。C，由题意易得NA£>C=NO8=90°,则有AD//OC,进而可得

ZACO=ZOAC=ADAC,然后问题可求证；

3

（2）连接8C,由题意及（1）易得tanNC4O=tanNCAB=—,则有。C=6,然后可得

4

4

cos/C4B=cos/C4r）=M，然后问题可求解.

【详解】（1）证明：连接。C,如图所示：

CO是。。的切线,

"8=90°,

'JADLCD,

：.ZADC^ZOCD=90°,

：.AD//OC，

ADAC=ZACO,

•••OA=OC，

：.ZACO=ZOAC=NDAC,

AC平分ND84；

(2)解:连接8C,如图所示:

由(1)可得：ABACADAC,

3

tan/CAB=—,

4

3

tanZCAD=tanZCAB=—,

4

AD-8，

CD—AD-tanADAC-6，

•••AC7Abi+5=10,

cosNCAB=cosZCAD-,

AC5

,/AB为。。的直径，

ZAC8=90。，

,nAC25

cosZCAB2

【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键.

25.2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开

始组建团队，制作面向A、8两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个A类微课和5个B类微课

需要4600元成本，制作5个A类微课和10个3类微课需要85（X）元成本.李老师又把做好的微课出售给某

视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个8类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微课

或者1.5个8类微课，且团队每月制作的8类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两

类微课的个数均为整数）.假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课。天，制作A、8两类微课

的月利润为w元.

（1）求团队制作一个A类微课和一个3类微课的成本分别是多少元？

（2）求卬与。之间的函数关系式，并写出”的取值范围；

（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润卬最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）团队制作一个A类微课和一个3类微课的成本分别是700元、500元；（2）w=50a+16500,

0<a<—；（3）每月制作A类微课8个时，该团队月利润卬最大，最大利润是16900元.

7

【解析】

【分析】（1）设团队制作一个A类微课成本为X元，制作一个3类微课的成本为y元，由题意得

3x+5y=4600

然后求解即可;

5%+1Oy=8500

（2）由（1）及题意可直接进行求解;

（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解.

【详解】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为m元，制作一个5类微课的成本为丁元，由题意得:

3x+5y=4600

5%+10y=8500

x=700

解得:

y=500

答：团队制作一个A类微课和一个8类微课的成本分别是700元、500元.

（2）由题意得制作8类微课（22-。）天，则有:

w=（1500-700）a+1.5x（1000-500）（22-o）=50a+16500,

•••团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍，

A1.5（22-a）>2tz,且a>0,解得：0<a泻,

（3）由（2）可得：w=50a+16500,0<a<—,

7

卬随。的增大而增大，

•.•每月制作的A、8两类微课的个数均为整数，

.•.22—。为偶数，

.•.当a=8时，w取最大，最大值为w=50x8+16500=16900；

答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润卬最大，最大利润是16900元.

【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一

次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键.

26.如图，已知抛物线丁=℃2+加+4经过4—1,0),6(4,0)两点，交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)连接8C,求直线8C的解析式;

(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最

小值;

(4)点”为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

N(3,4)或隹"-4、

最小值为4及；(4)存在,

7

【解

【分析】(1)把点A、B的坐标代入求解即可；

(2)设直线8C的解析式为y="+。，然后把点8、C的坐标代入求解即可；

(3)由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得AP+PC=3P+PC,要使

AP+PC的值为最小，则需满足点从P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；

(4)由题意可设点M(m,0),N(〃,f2+3n+4),然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时,

③当4N为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解.

【详解】解：(1)...抛物线y=o?+乐+4经过A(-1,O),8(4,0)两点，

a—。+4=0[a=-1

；・《，解得：!