奥数12有理数课件

第三讲有理数(5)

—绝对值

知识点1绝对值的意义

1.绝对值的几何意义(绝对值的定义)

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作la,读作“a的绝

对值”，如I4|读作“4的绝对值”,|一4|读作“一4的绝对值”。

2.绝对值的代数意义

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0。

(a(a>0)

即对于任意有理数a,都有la|=10(a=0)

\-a(a<0)

由绝对值的代数定义可以看出，当Ia|=a时，a可以取正数和0；当Ia|=-a时，a可

以取负数和0»

【知识拓展】

(1)一个数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总是正数

或零，所以一个数的绝对值总是正数或零，即是一个非负值。

(2)在数轴上，一个数离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大。

(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。

例1、下列说法正确的是()。

A.一个数的绝对值一定是正数

B.a的相反数的绝对值与a的绝对值的相反数相等

C.互为相反数的两个数的绝对值不一定相等

D.绝对值最小的有理数是0

知识点2绝对值的性质

(1)由绝对值的几何意义可知，绝对值表示距离，由于距离不可能是负数，所以任何

数的绝对值总是正数或0,即|al20。

(2)绝对值是某个正数的数有两个，这两个数互为相反数；反之，互为相反数的两个

数的绝对值相等，BPIal-l-aL

(3)绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

【知识拓展】

(1)取绝对值是一种运算，这个运算符号是“II”，求一个数的绝对值就是根据绝

对值的性质去掉绝对值符号。

(2)非负性的应用：若几个非负数的和为零，则这几个数同时为零，即若la|+|bl+c

4■…=0,则有Ial=0,Ibl=0,3=0,…，所以a=0,&=0,c=0,•••„

例2、(1)c的绝对值是8,那么a=.(2)|m|=I-4|,则昨.

⑶若|a|=3,且"0,则|a+4|=.(4)若|n-2|=0,则|n+止.

例3、若|工一6|+|)-3|=0,求:的值。

例4、若|3一a|与|。一1|互为相反数，求二的值。

【综合应用】

例1、-2*的相反数是；3和互为相反数

5—

-(-5)表示的意义是

例2、化简下列各数的符号：

1)-(+5-)=2)-(+(-2.5))=

4

3)-(-(-2))=4)+(+(-3))=_

5)-{-(-(-a))}=6)+(a+b)=

7)-(m+n)=8)-(x-y)=

例3、1)若-(a-5)是负数，则a-50

2)-(-(x+y))是负数，贝Ix+y0

2

例4、数轴上，点A、B分别表示有理数a.b,原点恰是AB的中点，则2001aX—=

3b

例5、已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a,b,且a<b,A,B两点间的距

离是4,，求a,b两数。

4

例6、三个互不相等的有理数，既可表示为1,a+b,a的形式，又可表示为0,b的形式,

a

求a,b的值。

例7、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，试比较a,b,-a,-b的大小关系，用“V”号

连接。

------1------1-------------1--------------------1------1----->

-1a01b

例8、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，1x1=1,求经+x+cd的值。

X

例9、为了体现社会对教师的尊重，教师节这天下午，出租车司机小王在东西方向的公路上

免费接送老师，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下(单位：千米)：+15,

—4,+13,—10,—12,+3,—13,-17.若汽车耗油量为0.4升/千米，汽车共耗油多少

升？

例10、(1)对于任意有理数x,式子表示什么数？它有最大值还是最小值？

(2)对于式子|x+13,当x为何值时，有最小值？最小值是多少？

(3)对于式子2一|尤一1|,当x为何值时，有最大值？最大值是多少？

例11、某配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径（单位：mm）

长的记作正数，比标准直径短的记作负数，检查记录如下表。

123456

+0.4—0.2+0.10-0.3+0.2

（1）哪些零件的质量相对较好，用学过的绝对值知识来说明;

（2）若规定与标准直径相差不大于0.2mm为合格产品，则6件产品中有几件是不合格产品？

例12、x为有理数，|x-l+|乂-31有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有,

请说明理由。

例13、先阅读下面的材料，然后解答问题。

在一条直线上有依次排列的兀（九＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站只使这兀

台机床到供应站户的距离总和最小。要解决这个问题，先考虑比较简单的情形。

如图（1）所示，直线上有2台机床时，很明显设在工和冬之间的任何地方都行，因为

甲和乙到P的距离之和等于九到公的距离。

&P鱼44（P）DX,

------•--------•----------•------------•--------•----------•-----•---

甲乙甲乙丙

如图（2）所示，直线上有3台机床时，不难判断，供应站应设在中间一台机床占处最

合适，因为如果把。设在占处，甲、乙和丙到〃的距离之和恰好为2到公的距离，而如果

把下设在别处，例如D处，那么甲和丙到P的距离之和仍是4工到心的距离，可是乙到户的

距离等于从.工到D的这一段，所