高中数学高考复习各章要点扫描(7个方面)

高中数学高考复习各章要点扫描(7个方面)

函数

1.函数的定义

(1)映射的定义:

(2)一一映射的定

上面中是映射的是，是一一映射的是

(3)函数的定义：(课本第一册上.P51)

2.函数的性质

(1)定义域：

(2)值域：

(3)奇偶性(在整个定义域内考虑)

①定义：

②判断方法：I.定义法步骤：a.求出定义域；

b.判断定义域是否关于原点对称；

c.求/(-%)；

d.比较/(—x)与“X)或/(—x)与-/(x)

的关系。

II图象法

③已知："(x)=/(x)g(x)

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内“(X)为偶函数

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内〃(X)为奇函数

④常用的结论：若/(x)是奇函数，且Oe定义域，则

/(0)=0的(-1)=-川)；

若“X)是偶函数,则/(-1)=/⑴；反之不然。

(4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)

①定义：

②证明函数单调性的方法：

I.定义法步骤：

a.设X]eA且<x2;

b.作差f(Xi)-”%2)；

(一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清

楚地判断出)

C.判断正负号。

n用导数证明：若/(幻在某个区间A内有导数，

则/(x)N0,(xeA)o/(x)在A内为增函数；

y'(x)<0,(xeA)o/(x)在A内为减函数。

③求单调区间的方法：

a.定义法：

b.导数法：

c.图象法：

d.复合函数y=/[g(x)]在公共定义域上的单调性：

若f与g的单调性相同，则丹g(x)]为增函数；

若f与g的单调性相反，则/[g(x)]为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；

b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；

c.在公共定义域内

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(x)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(x)-减函数g(x)是增函数;

减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

&函数y=ax+2(“〉0力>0)在(-8,-而阈疯,+00)上单调递增；在

［-4ab］上是单调递减。

(5)函数的周期性

定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一X,使/(x+T)=/(x)恒

成立

则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

例：(1)若函数/(x)在R上是奇函数，且在(-1。)上是增函数，且

/(%+2)=-/(%)

则①/(幻关于对称；②/(x)的周期为；

③/(x)在(1,2)是函数(增、减)；

④若xe(0,D时，/(x)=2*,则/(log：)=。

2

(2)设/(X)是定义在(-8,+8)上，以2为周期的周期函数，且/(X)为

偶函数，在区间［2,3］上，/(%)=-2(%-3)2+4,511］

xe［0,2］时，/(%)=。

3、函数的图象

1、基本函数的图象：(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、

(4)指数函数、(5)对数函数、(6)三角函数。

2、图象的变换

(1)平移变换

①函数y=/(x+a),(a>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向左

平移a个单位得到的；

②函数y=/(%+«),(«<0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向右

平移问个单位得到的；

③函数y=/(x)+a,(a>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿y轴向上

平移a个单位得到的；

④函数y=/(x)+a,(a<0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿y轴向下

平移同个单位得到的。

(2)对称变换

①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0对称；

函数y="X)与函数y=-/(X)的图象关于直线y=0对称；

函数y=/(x)与函数y=-/(-x)的图象关于坐标原点对称；

②如果函数y=/(x)对于一切xwR,都有f(x+a)=f(x-a),那么

y=fM的图象关于直线x=a对称。

③函数>,=/(a+x)与函数y=/(a-x)的图象关于直线x=a对称。

④y=/(x)fy=|/(x)|

⑤y=/(x)fy=/(|x|)

⑥〉=/T(x)与y=/(x)关于直线y=x对称。

(3)伸缩变换

①y=4(x),(a>0)的图象，可将y=/(x)的图象上的每一点的纵坐标伸

长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的a倍。

②卜二/(ax),(a>0)的图象，可将y=/(x)的图象上的每一点的横坐标

伸长(0<a<1)或缩短(a>1)到原来的L倍。

a

例：(1)已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),则/(4-x)的反函数

的图象过点_______o

(2)庄函数y=(；厂的图象，通过怎样的变换得到y=log；的图象？

4、函数的反函数

1、求反函数的步骤：

①求原函数y=/(x),(%€田的值域8

②把y=/(x)看作方程，解出x=(p(y)；

③x,y互换的y=/(x)的反函数为y=/T(x),(xeB)。

2、函数与反函数之间的一个有用的结论：/T(a)=bo/3)=a

3、原函数〉=/(%)在区间［-。,4］上单调递增，则一定存在反函数，

且反函数>=/7(%)也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数

不一定单调。

例1：y=310g尸)，(x>0)的反函数为0

2：已知/(x)=/+2x+3,(x20),求y=/(2x-l)的反函数。

3：设/(x)=9'—231则广|(0)=。

5、函数、方程与不等式

1、“实系数一元二次方程内2+云+。=0有实数解”转化为

△=b2-4acN0"，你是否注意到必须"0；当。=0时，”方程有解

不能转化为△=〃-4碇20。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或

不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。

设匹,》2为方程/*)=0,(。〉0)的两个实根。

贝II=/(〃?)<0；

①若xf<m,x2>m,

②当在区间(现,〃)内有且只有一个实根，时,

pl)/(〃z)./(〃)<()

0[(2)考虑端点,验证端点。

③当在区间(〃?,〃)内有且只有两个实根时，

A>0

b

m<-----<n

=j2a

./(n)>0

④若m<xt<n<p<x2<4时

=/(Q/(〃)<0

l/(p)•/⑷<0

注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

例：1、对于定义在R上的函数/(x)=与"，若其所以的函数值都不

x+1

超过1,则m的取值范围。

2、已知函数y=log2"+(i)+/的定义域是一切实数，则

aGo

3、若关于x的方程22,+2'+1=0有实根，则

aG。

4、设集合A=H——4X+3<。｝,B是关于x的不等式组

x-2x+«<0的解集，试确定。的取值范围，使Ag8。

x2-2(a+7)x+5<0

5^已知方程/+〃?x+加+1=0的两个根为一个三角形两内角的

正切值，试求加的取值范围。

直线、平面、简单几何体

一、知识结构

平面平面的概念和性质（三条公理及三个推论）

一平行直线一平行直线的传递性（公理

空间两异面直线所成的角

一条直线——一异面直线-

U异面直线间的晅匐

直—相交直线IT等角定理

线

、

平直线在平面内

面

直线与平面平行

、-I

简三垂线定理

单L直线与平面相交

几直线与平面所成的角

何

-平面与平面平行平面的距离

愕黠面

'厂垂直相交

-平面与平面相交上生

斜交二面角及其平面角

[-棱柱

多面体与

正多面S—

-髓

球的表面积和体积

--------

另注：三余弦公式？其中a为线面角，，为斜线与平面内直线所成的角，。为?

二、主要类型及证明方法（主要复习向量法）

1、定性：

（1）直线与平面平行：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

（2）直线与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

（3）平面与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

2、定量：

.»—•(VJ

(1)点P到面的距离d=IPA•cos<PA,〃>1=1r-1

InI

(2)异面直线之间的距离：(同上)

(3)异面直线所成的角6：cos0=cos<PA,n>

(4)直线与平面所成的角6：sin^=cos<PA,n>

(5)锐二面角6：cos^=cos<m,n>

三、例题

1.设集合A=｛正四面体｝,3=｛正多面体｝,C=｛简单多面体｝,贝IJA、B、C

之间的关系为(4)

A.AuBuCBAczCaBC.CuBaADduB

2.集合A=｛正方体｝,3=｛长方体｝,C=｛正四棱柱｝,则A、B、C之间的关

系为(B)

AJIUBUCB.AUCUBC.CUAU6DBUAUC

3.长方体48co—AEC。中，E、尸、G分别是A3、BC、上的点，则△EFG

的形状是(C)

A.等边三角形区直角三角形C.锐角三角形D钝角三角形

4.长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为a、6、y,则有

(A)

A.coso'a+cos2p+cos0y=1B.sin'0a^rsin~2p-\-sin2y=1

C.cos%+cos%+cos)=2D.sirTa-\-sin1sirTy=3

5.长方体的一条对角线与同一顶点处的三个面所成角分别为a、夕、y,则有

(8)

A.cos2a+cos2fi+cos2y—1B.sin2a-\-sin2fi+sin2y—1

C.cos2a+cos^p+cos2y=3D.sin2a+sirrp+sirry—2

6.长方体ABC。一A®C7)'中，ZD'BA=45o,ZD'5B'=60°,则N。5c=(C)

4.30°8.45°C.60°D.75°

7.长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,则这个长方体的一条体对角线

长为(C)

42审B.V14C.5D.6

8.棱锥的底面积为S,高位h,平行于底面的截面面积为S,,则截面与底面的

距离为()

(VS-VI1)/?电+而)h(S-S'Vi(S+S')〃

y[s邓SD.S

A

9.三棱锥P—ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的

()

4.内心艮外心C.垂心。.重心

B

10.三棱锥p-ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是

底面三角形的（）

A.内心8.外心C.垂心O.重心

B

11.三棱锥尸一ABC的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射

影是底面三角形的（）

A.内心8.外心C.垂心。.重心

A

12.三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形

的（）

4.内心8.外心C.垂心。.重心

C

13.三棱锥V—A8C中，VA=BC,VB=Ac,VC=Ab,侧面与底面ABC所成的二面

角分别为a、6、都是锐角），则cosa+cos£+cosy=（）

11

AAB.2C，2P.j

A

14.四面体的四个面中，下列说法错误的是（）

A.可以都是直角三角形及可以都是等腰三角形

C不能都是顿角三角形D可以都是锐角三角形

C

15.正n棱锥侧棱与底面所成角为a,侧面与底面所成角为则tanatan尸

()

TVit27r27r

A.sin~B.coS-C.sin—D.cos-

nnnn

B

16.一个简单多面体的各个面都是三角形，且有6个顶点，则这个多面体的面数

为（）

AA5.6C.8£>.10

C

17.正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为（）

117rl1

A.arccos^B.7r—arcco^C.^—arcco^D.—arccos^

B

18.正方体的全面积为小，它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积为（）

22

7ta7ra

B.-C.lna9D37ca9

B

19.一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5,且它的顶点都在一个球面上，这

个球的表面积为（）

A.20啦兀8.25也无C.50兀D.200TT

C

20.在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA

=PB=PC=a,那么这个球面的面积是（）

4.2成28.3兀a?CAna2D.hna1

B

21.北纬30。的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为（）

AA：1B.2：1C币：1。仍：1

A

22.地球半径为R,在北纬30。的圆上有两点A、B,A点的经度为东经120。，B

点的经度为西经60。，则A、B两点的球面距离为（）

D

23.球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的看经过这

三个点的小圆周长为4兀，那么这个球的半径为（）

A.4小B.2季C.2D市

B

24.球面上有三个点A、B、C,其中AB=18,BC=24,AC=30,月一球心到平面

ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为（）

A.1055.10C.200.30

A

25.在北纬60。圈上有甲、乙两地，它们在纬度线上的弧长等于^R,R为地球半

径，则这两地的球面距离为（）

A.啦兀RC~^nR

B

填空题：

设m、n是不重合的两条直线，/民/是不重合的平面,给出下列命题：请判断

其是否正确，如错误，请举出反例。

若〃〃a,a_L尸，则〃1.尸

若机_1_L%m_1_,，则a1

若〃_La,a_L（3,mu£,则加〃〃

AC

若〃J_/?,a_L/?,则〃〃。或及ua

若aJ_y,尸_L2,则a〃夕

若a内有不共线的三点到£的距离相等，则a〃/?

若aua,bu/3,a"0,b"0,贝Ua〃/7

若a、b是异面直线，aua,bu/3,aH0,bH0,则a〃/?

三、解答题

26.如图：已知正三棱柱ABC—48C的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的

中点。

(1)求异面直线4?与5c的夹角；

⑵在直线CC'上求一点N,使得MN_L4夕。

(3)若AB的中点为P,BC的中点Q,求证：PQ//面ABC

(1)解法一：因为用^=初+加，，就，=螳+眈'又因为ABC—AEC是正三棱

柱，，仍二肘」歹(电,眈">=~27^r由题意，I前1=1歹15^1

=2从而得：。”比，=(牯+欧，)(加，+夕0)=

AS•附'+(胡¥+9'.挖,+肘'.比'=I肘/+牯.改’=4+

7

707^^27

协1187t=石cos<国5',配'>=-----------=W=T7i-*•

2\^'\\Bt'\'I。

77

<A^',Bt'>=arccos~^即异面直线481与8C'的夹角为"rccos正

解法二：以A点为坐标原点，A4为z轴，4C为y轴，建立空间直角坐标系,

老1

以O}8\8

72-)V3,/2),C'(0,1,2)

(O,/2

坐1

V23小

-(/-11

\22),2»0)=(—^-,2»2)

1

,

2>(一坐，；，2)

f—或戏,2'2'7

cos<A^',泥'>=

222Io

I期I阮'I(^)+(1)+2.ALV^I.K1^

22

77

<A^',泥'>=arccos而即异面直线AB与BC的夹角为arccosy^

(2)解法一：设CW=x5方由题意可得：就只防

3'=牯+篦，斯=就+而<A^,5Tt'>=弋27r

后」侬，砧际=。也就是(曲+血)(成7+6)=0

・・・劝•碇+侬・碇+牯CW+侬・CW=O.・・

I劝l•IA7tlc。s<肪，A7t>+xl55'F=01・—7+4X=0.*.X=TZ即当IC^I=l时，

4loo

AB」MN.

解法二：同解法一建立空间直角坐标系，

S1S3

有A(0,0,0),8(k，5，0),M(苧，不0)，N(0,1,z)

SiSi

A^'=(2>2,2)，MV=(一丁，z),•*AJ^'MN=0

\51V5I3,1,

(2»2,2)•(一芋4»z)=0••—g+g+2z=0

解得z=1，N=(0,1,1)即CN=1时，AB」MN.

ooo

(3)非向量法略，另向量法：方法一、基向量(待定系数法)P(走」,1)

44

2(—,-,1),则而=(0」,0)，又因为而=(立」,0)，AC=(0,1,0)

44222

0=^-x+Oy

11—►1—►—

设尸。=848+?4。得＜-=-x+y得x=0,y=l/2,所以PQ=—AC+0A8所

O^Qx+Qy

以PQ与面ABC共面，又因为PQz面ABC,所以PQ〃面ABC

例2已知/(x)=’一(xw—1).(来源课本第二册P17、EX9；P23、EX4；P3KEX3)

x+1

(1)求f(x)的单调区间;(2)求证：%>y>0,有/(x+y)</(x)+/(y).

(3)若a?>b>U,c=-求证:/(a2)+/(c)>g.

说解：(1)对已知函数进行降次分项变形，得/(x)=l--1—,

x+1

.•./(外在区间(-8,-1)和(-1,+00)上分别单调递增.

(2)首先证明任意x〉y〉O,有/。+>)</。)+/0).事实

—叱舟…1=f(xy+x+y)

ffi]xy+x+y>x+y,由⑴矢旷(xy+x+y)>/(x+y),

11

f(x)+f(y)>f(x+y)-：c------->---------4->-o

(a-b)b^a—b+bya

:.a'+c>a'+—>4./(a2)+/(c)>f(a~+c)>/(4)=—.

a5

函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新，是既考知识又

考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值.针对本例的求解,

你能够想SO证明任意X>y>0,有/(x+y)</(x)+/(y).采用逆向分析法，给

出你的想法！

例4对于函数/(X),若存在％eR,使/1(为)=/成立，则称为/(x)的不动点。

如果函数/。)=土上@(》1€')有且只有两个不动点0,2,且/(-2)<-±

hx-c2

(1)求函数“X)的解析式;

(2)已知各项不为零的数列｛明｝满足4s"•”')=1,求数列通项％;

a.

(3)如果数列｛%｝满足4=4,a〃+]=f(即)，求证：当一22时，恒有a”<3成

立.

2

讲解：依题意有土士=x,化简为(l-b)/+cx+a=0,由违达定理，得

bx-c

2+0=-----,a=02

<li解得一代入表达式/(X)=--—，由

=

20=—a—,[h1—2/(li+t-。)、x-c

I1-b2

-21

f(-2)=----<一一，得c<3,又cGN,bGN,若c=。力=1,则/(x)=x不止有两个

1+c2

Y2

不动点，c=2,b=2,故fM=------

2a-1)

(2)由题设得4S“•一?一=1得：2S“=a“—*(*)

2(—-1)

an

且见H1,以〃一1代〃得:2S,I=%T-(**)

由(*)与(**)两式相减得：

2%=(%-«„.|)一⑷一片-i)，即(«„+%)(%-%-]+1)=0,

an=-a,-或%-*_i=-L以〃=1代入(*)得：2q=q-。；，

解得/=0(舍去)或为=-1,由%=-1,若%=-*t得。2=L这与。〃工1矛盾,

an-an_x=-1,即｛an｝是以T为首项，-1为公差的等差数列，/.an=-n；

(3)采用反证法,假设3(〃22),则由(1)知〃〃+]=/(〃〃)=------

2%-2

也=^~^=〈-(1+-17)<；(1+<)=:<1，即。,向<%(〃之2,〃€"),有

a„2(%-1)2an-1224

a<a)<...<a2,而当n-2时,a,=————=-=-<3;a<3,这与假

I222a「28-23

设矛盾，故假设不成立，.•.*<3.

关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上：

2

由4+1=/(%)得%+i=—r，」-=一2(----；)2得知+1〈。或a.+iN2.

2%-2an+lan222

若a””<0,则<0<3,结论成立；

若all+l>2，m〃22,从而an+l-an=-"-)<0,即数列｛%｝在〃22时单

7?

调递减，由的=2]，可知/=2]<3,在〃22上成立.

比较上述两种证法，你能找出其中的异同吗？数学解题后需要进行必要的

反思，学会反思才能长进.

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若A（X1,y）B（X2，y2），则一为尸+（%—%产

特别地:AB〃x轴，贝“AB|

AB〃y轴，贝»AB|=

2、平行线间距离：若L：Ax+By+C,=0,12:Ax+By+C2=0

|c,-c|

贝|J：d2

VA2+B2

注意点:x,y对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：P(x0,yJ,1:Ax+By+C=O

则P到I的距离为：八叵岩手

y=kx+b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

F(x,y)=0

消y：ax2+bx+c-0,务必注意A〉。.

若1与曲线交于A(xl,y1),B(x2,y2)

则：|AB|=J(1+J2)(X2-XJ2

5、若A（X[,）,B（X2,〉2），P（x,y）。P在直线AB上，且P

分有向线段AB所成的比为九，

%!+Xx

X=2

1+九

则＜，特别地：入=1时，P为AB中点且

y=

1+k

x-----

2

y_X+)'2

~2

变形后：九=土二土或九=2二A

》2一%乃一y

6、若直线h的斜率为的,直线12的斜率为k2，则h到12的角为a,ae（O,兀）

k—k

适用范围：kPk2都存在且k|k2。-1,tana=g」

1+2［攵2

若h与b的夹角为。，则ta田.‘.吗

注意：（1）11到L的角，指从h按逆时针方向旋转到12所成的角，范围（0,兀）

h到12的夹角：指k12相交所成的锐角或直角。

（2）11_112时、夹角、到角=工。

2

（3）当h与12中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、(1)倾斜角a,ae(O,n)；

(2))工夹角。，0e[O,n]；

(3)直线1与平面a的夹角p,Pe[O,^];

(4)h与12的夹角为。，Oe[O,—],其中1|〃12时夹角6=0;

2

(5)二面角0,ae(0,兀]；

(6)h到12的角力0e(0,兀)

8、直线的倾斜角a与斜率k的关系

a)每一条直线都有倾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直线存在斜率k,而倾斜角为a,则1<=121101。

9、直线h与直线k的的平行与垂直

(1)若L，12均存在斜率且不重合:①I1//I20ki=k2

②lijj2Ok|k2=-1

(2)若L：Atx+B1y+C1=0,/2:A2x+B2y+C,=0

若Ai、A?>BI>B2都不为零

①h//bo&="片9;

A2B2C2

②li±h<=>AiA2+B]B2=0；

③h与b相交oa#殳

4B?

④h与12重合=4~=2=邑；

A2B2C2

注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与的情况。

10、直线方程的五种形式

名称方程注意点

斜截式：y=kx+b应分①斜率不存在

②斜率存在

点斜式:y-y.=%(》一九)(1)斜率不存在：x=x。

(2)斜率存在时为

y-y.=k(x-xj

两点式：上二江=土卫

为一月x2-x,

截距式：-+^=1其中1交X轴于30),交y

ah

轴于(0。)当直线1在坐标轴上，

截距相等时应分：

(1)截距=0设y=kx

(2)截距=。工0设

x

-----+1----y-_1

aa

即x+y=a

一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同时为零)

10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程(1)标准方程：(x-4)2+(尸与2=「2,

(a,b)—圆心，r—半径。

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)

(DE、»、7D2+E2-4F

(---,---)—圆也r=--------------

222

11、直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种

...\Aci+Bb4-Cl、

若d=—广…-,d>r<=>相离=△<()

d—ro相切<=>A=0

d<ro相交o△>0

12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为01，。2，半径分别为口，［2，\0102\=d_y

d>K+G<=>外离u>4条公切线,

d=八+弓=外切<=>3条公切线

r,-r2<d<八+2=相交o2条公切线

d-|rt-r2|o内切o1条公切线

o<d<h-弓|=内含=无公切线

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

（一）椭圆

定义I：若Fi，F2是两定点,P为动点，且|尸局+归周=24>阳周“为

常数）则P点的轨迹是椭圆。

定义H：若B为定点，1为定直线，动点P到B的距离与到定直线1的距

离之比为常数e（0<e<l）,则P点的轨迹是椭圆。

焦距：2c

a

准线方程：尤=±—

c

22

焦半径：\PF\=e（x+—）,\PFA=e（---x）,\PF\=2a-\PF^

1cc]

+c等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定

义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：|A闿=%可="。，|A闾=|&4|="+c

|B,F,|=|B|F2|=|B2F2|=|52^|=a,=.当|=Ja？+b’等等。顶

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,》,c有关。

（2）AF耳工中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段|尸修、

\PF2\>2c,有关角NF；PB结合起来，建立|P-+|P周、

等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：（X=flC°SG；

[y=fesinO

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴

上时，其相应的性质。

二、双曲线

（-）定义：I若Fi，F2是两定点，|尸耳一|尸闯=2。<阳尸2I（a为常数），

则动点P的轨迹是双曲线。

II若动点P到定点F与定直线1的距离之比是常数e（e>l）,

则动点P的轨迹是双曲线。

（二）图形：

(三)性质

2222

方程：一3—=1(<2>0,/?>0)-^-5-----7=1(a>0,b>0)

a~ba~b

定义域：(小24或X44};值域为R；

实轴长=2a,虚轴长=2b

焦距：2c

a2

准线方程：尤=±——

c

22

焦半径：|PFj=e(x+?)，|尸身=6((-x),仍用-|尸闵|=2。；

注意：(1)图中线段的几何特征：|A用=怛引=-4,\AF2\=\BF,\=a+c

22

顶点到准线的距离：a-—^a+—；焦点到准线的距离:

CC

/7/72

两准线间的距离二

2222

(2)若双曲线方程为=渐近线方程：0一二=0ny=±Lx

cTb~ab~a

22

若渐近线方程为y=±2x=±±?=0=双曲线可设为二—二=九

yaaba2b2

2222

若双曲线与二-==1有公共渐近线，可设为二一鼻=九

a2b2a2b2

（k>0,焦点在x轴上，九<0,焦点在y轴上）

（3）特别地当。=〃时。离心率6=血。两渐近线互相垂直，分别为

y=±x,此时双曲线为等轴双曲线，可设为-->2=九；

（4）注意APF,F2中结合定义归用-|PF2||=2a与余弦定理cosZF,PF2,

将有关线段|尸用、|尸心|、怛人|和角结合起来。

（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。

二、抛物线

（一）定义：到定点F与定直线1的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F的距离与到定直线1的距离之比是常数e（e=l）。

（二）图形：

（三）性质：方程：y2=2〃x,（p>0）,p-一焦参数;

焦点：或,0）,通倒AB|=2p；

准线：x=—K；

2

焦半径：|CF|=x0+",过焦点弦长