数列的导学案

第一章数列

第1课时数列的概念

一.自“学”提纲

(一)知识点

1.数列的概念

(1)数列：一般地，按照一定排列的一列数叫做数列.

(2)项：数列中的每个数都叫做这个数列的.

(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成0,“2,a3,…，如，…询记为：.数列的第1项0也

称,如是数列的第〃项，叫数列的.

2.数列的分类

项数有限的数列叫作，项数无限的数列叫作.

3.数列的通项公式

如果数列｛斯｝的第〃项痣与n之间的函数关系可以用一个式子表示成为=加),那么式子叫作数列｛%｝

的.

4.数列的表示方法

数列的表示方法一般有三种：、、.

(二)预习自测

1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列个数：

⑴1,3,5,7

22-132-142-152-1

⑵丁'丁‘丁'丁

2.根据下面数列仅"的通项公式,写出前5项.

n

Cl

(1)n=〃+1~

⑵4=(T)"."

⑶=2

二.典型“导”例

[例I]下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？

(1)(0,1,2,3,4);(2)0,1,2,3,4;

(3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,4...;

(5)6,6,6,66

[例2]写出下面各数列的一个通项公式

(1)3,5,9,17,33,...;

小2468

(2-)——

31535,63

1925

(3)—,2,—,8,T

22

22-l32-242-352-4

（4）

-357

变式应用写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数:

(1)1,3,7,15,31,­

11]_

(2)1,,一

234

第”项和个9

(3)0.9,0.99,0.999,0.99........9,­•

n2Q1

[例3]在数列｛小｝中通项公式是“=（-1），写出该数列的前5项，并判断9■是

(2«-1)(«+1)170

否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是,请说明理由.

变式应用以下四个数中，哪个是数列｛〃（〃+1）｝中的项（）

A.380B.39C.32D.23

[例4]在数列｛〃〃｝中，0=2,42=1,且为+2=3斯+1・斯,求。6+〃4-3〃5.

变式应用4已知数列｛如｝的首项〃1=1,4"=2斯一|+1（〃》2）,那么。5=.

[例5]已知数列｛斯｝的前4项为1,0,1,0,则下列各式可以作为数列｛%｝的通项公式的有（）

①〃"=」•[1+(-1)/叮；②a产sin?4"，("WN+);③斯='El+(-l)n+11+(n-l)(n-2);(4)a„=——COS〃兀

2222

1（〃为偶数）

⑤。后

0（〃为奇数）

A.4个B.3个C.2个D.1个

三.练习反馈

一、选择题

1.数列啦,亚，2叵,VTT,则2坞是该数列的（）

A.第6项B第7项C.第10项D.第11项

2.数列0-132

••的通项公式为（）

3253

〃一2n-1n-1n-2

A.a=------B.a”-C.a-Da,尸-----

nnnnn+1〃+2

3.数列1,3,6,10,x,21,•…中，X的值是（）

A.12B.13C.15D.16

二、填空题

4.已知数列｛斯｝的通项公式为。”=2〃+1,则〃-尸.

5.已知数列｛斯｝的通项公式斯=—5—("WN+b则一L是这个数列的第______项.

〃(〃+2)120

三、解答题

6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.

(1)-1,1,-1,1；

⑵-3,12,-27,48;

2468

(4)一，—,—，—

3153563

四.归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

第2课时数列的函数特性

一.自“学”提纲

(一)知识点

1.几种数列的概念

(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.

(2)一般地，一个数列｛斯｝,如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即,那么这个数

列叫做数列：

(3)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即,那么这个数列叫做—数列；

(4)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做

数列；

(5)如果数列｛a,,｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.

2.数列的递推公式

如果已知数列的(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的与它的

(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式.

3.“与S”的关系

「a5=1)

若数列｛%｝的前"项和记为S”即S"=ai+"2+…则〃”=|

________（心2）

（二）预习自测

1.已知数列｛4｝中的首项4=1,且满足氏+1=，4+-1,此数列的第三项是（）

22n

A.1B.一C.一D.一

248

2.已知数列（«„｝满足q=1,则这个数列的前5项分别为

3.写出下列数列的前5项：

⑴4=；，=4/+1（">1）;

(2)4=-1,4"=1----(«>1)；

4

二.典型“导”例

［例门（1）根据数列的通项公式填表:

n12・・・5・・・・・・n

・・・…153•••3(3+4〃)

an

（2）画出数列｛”“｝的图像，其中斯=3叫

［例2］已知函数段）=2*-2",数列｛“”｝满足Hlog2%）=-2几

⑴求数列｛m｝的通项公式；

（2）求证数列｛小｝是递减数列.

变式应用2写出数列1,二2,二3,：4,二5,…的通项公式，并判断它的增减性.

471013

［例3］求数列｛-2层+9〃+3｝中的最大项.

变式应用3已知数列｛斯｝的通项公式为为二层・5〃+4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)〃为何值时，%有最小值？并求出最小值.

[例4]在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资

1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，8公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工

资在上年月工资的基础上增加5%,设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：该人在A公司工作比

在B公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).

变式应用4某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值(万元)组成数列｛斯｝,

满足斯=2〃2-15〃+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？

[例5]已知an=a•)"(aWO且〃为常数)，试判断数列｛小｝的单调性.

三.练习反馈

一、选择题

1.己知数列｛斯｝।=1,an-an.i=n-1(H>2),则()

A.7B.llC.16D.17

2.(2012•济南高二检测)数列｛念｝中，。〃=居+]1〃,则此数列最大项的值是()

A.—B.30C.31D.32

4

二、填空题

4.已知川)=2<〃+1)=(〃eN+),则,44)=.

5.已知数歹ij｛〃〃｝中，斯=。〃+加3<0.£N+)满足。尸2,〃2=4,则s二.

三、解答题

6.证明数列｛---｝是递减数列.

"(〃+1)

四.归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

§2等差数列

第1课时等差数列的概念及通项公式

一.自“学”提纲

(―)知识点

1.等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的是,我们称这样的数列为等差数

列.

2.等差中项

如果在0与6中间插入一个数A,使a,4力成等差数列，那么A叫做.

3.等差数列的判断方法

(1)要证明数列｛斯｝是等差数列，只要证明：当"Z2时，.

(2)如果如+尸—对任意的正整数〃都成立，那么数列｛飙｝是

2

(3)若a,A,b成等差数列，则A=.

4.等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为,它的推广通项公式为.

5.等差数列的单调性

当办0时，｛斯｝是数列；当"=0时，｛斯｝是数列；当以0时，｛斯｝是

________数列.

(二)预习自测

1.在下列选项中选出等差数列

(1)-1,1,3(2)I2,22,32,42(3)0,1,2,3,5,6

(4)满足通项公式a.=2n的数列(5)满足递推关系加尸a0+3的数列(n为正整数)

(6)满足通项公式•的数列(7)3,3,3,3,...(8)9,8,7

n

2.等差数列｛。,｝中，首项a=4,公差d=-2,则通项公式为

3.等差数列｛4｝中，第三项&=0,公差d=-2,则a尸__,通项公式为

4.等差数列｛4｝的通项公式为巴—〃，则它的公差为()

A.2B.3C.-2D.-3

二.典型“导”例

［例门判断下列数列是否为等差数列.

(1)att=3n+2；

(2)a^rr+n.

I1n=i

变式应用1试判断数列｛0J,G尸是否为等差数列.

2〃-5

[例2]已知数列｛斯｝为等差数列，且。5=11,痣=5,求01.

变式应用2已知等差数列｛小｝中，00=29,61=62,试判断91是否为此数列中的项.

[例3]已知a,b,c成等差数列，那么〃S+c）,从（c+a）,c2（“+6）是否成等差数列？

变式应用3已知数列｛居｝的首项X|=3,通项Xn=2"p+〃虱〃eN.,p,q为常数），且朴小益成等差数列.求：

p,q的值.

[例4]某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利

润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，

该公司经销这一产品将亏损？

变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般

呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都

比前一排多20个座位，你能用为表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？

[例5]已知数列｛〃“｝,0=〃2=1,〃"=%.|+2（"23）.

（1）判断数列｛斯｝是否为等差数列？说明理由；

（2）求｛斯｝的通项公式.

三.练习反馈

一、选择题

1.（2011•重庆文，1）在等差数列｛%｝中,“2=2,的=4厕00=（）

A.12B.14C.16D.I8

2.已知等差数列｛斯｝的通项公式小=3-2”,则它的公差为（）

A.2B.3C.-2D.-3

3.方程f-6x+l=0的两根的等差中项为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

4.在等差数列｛斯｝中，々2=3,44=02+8,则。6=.

5.已知a、Ac成等差数列，那么二次函数>=五+2法+式420）的图像与x轴的交点有个.

三、解答题

6.在等差数列｛%｝中，已知45=10,412=31,求通项公式

四.归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

第2课时等差数列的性质

一.自“学”提纲

（-）知识点

1.等差数列的项与序号的性质

（1）两项关系

通项公式的推广：an-a,n+（加、neN+）.

（2）多项关系

项的运算性质：

若〃2+〃=p+q（ni、〃、p、gGN+）,则-ap+aq.

特别地，若m+〃=2p（，〃、〃、pGN+）,则加+%=.

2.等差数列的项的对称性

有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），

即。1+。”=42+=ak+=2<z„+I（其中n为奇数且〃23）.

2

3.等差数列的性质

（1）若｛斯｝是公差为”的等差数列，则下列数列：

①｛c+如｝（c为任一常数）是公差为的等差数列；

②（c为任一常数）是公差为的等差数列；

③｛a,.k）/EN+）是公差为的等差数列.

（2）若｛%｝、｛为｝分别是公差为4、42的等差数列，则数列5%+效"｝⑦、q是常数）是公差为

的等差数列.

（二）预习自测

1.在等差数列｛6,｝中，。2，%0是方程一一3尤—5=0的两根，求a6的值。

2.在等差数列中，a4+a6+a8=12,则ai+au的值是

3、若｛an｝是等差数列，ai+a2+a3=l,a4+a5+a6=2,则as+a6+a7=

4、等差数列｛。”｝的首项为ai=2,公差d=2,取出它的奇数项组成的新数列是否为等差数列？；其

通项公式是;取出它的项数为7倍数的项，组成的新数列是否等差数列。

二.典型“导”例

[例1]若数列｛。“｝为等差数列，Qk以为=P（pWg），则即+g为（）

p+q

A.p+qB.Oc.・（p+q）

变式应用1已知｛如｝为等差数列，05=8,460=20,求々75.

[例2]在等差数列｛斯｝中，已知。2+。5+〃8=9,a3a5a7=21,求数列的通项公式.

变式应用2在等差数列｛斯｝中，若〃3+怒+〃7+。9+0尸100,则3〃9-03的值为（）

A.20B.30C.40D.50

[例3]已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为・8,求这四个数.

变式应用3已知5个数成等差数列，它们的和为5,平方和为上，求这5个数.

9

[例4]在等差数列｛〃”｝中，已知4尸2,〃2+。3=13,则〃4+。5+〃6=1

三.练习反馈

一、选择题

L已知｛斯｝为等差数列，a2+as=12f则的等于（）

A.4B.5C.6D.7

2.如果等差数列｛%｝中，〃3+。4+的=12,那么0+〃2+…+。7=（）

A.14B.21C.28D.35

3.等差数列｛〃等中，44+45=15,07=12,则42=（）

33

A.3B.-3C.一D.-

22

二、填空题

4.在等差数列｛““｝中，。3=7,“5=42+6,则。6=.

5.等差数列｛a,J中，若。2+〃4022=4,则。2012=.

四.归纳总结

1.知识方面:

2.思想与方法方面:

3.典型题型

第3课时等差数列的前〃项和

一、自“学”提纲

（-）知识点

1.等差数列的前"项和公式

若数列｛%｝是等差数列，首项为即公差为a则前〃项和s产=.

2.等差数列前〃项和的性质

（1）等差数列｛斯｝的前大项和为S,则8,S2kSbS3*-S2h…成公差为的等差数列.

（2）等差数列｛斯｝的前”项和为S“，则｛2｝也是.

n

(二)预习自测

1.已知等差数列｛4,｝中，首项，=-4,。8=—18,则前8项和Ss=—

2.己知等差数列3“｝中，首项4=-4,d=-2,则前8项和s*=一

3.已知数列｛4,｝的前”项和公式S"=M-9〃，则G“=

二、典型“导”例

有关等差数列的基本量的运算

［例门已知等差数列｛%｝中，

31

(1)ai=—,d=—,S.=-15,求n和a\

22n

(2)ai=l,a„=-512,Sn=-1022,求公差

变式应用1在等差数列｛%｝中，

(1)已知%=10只=5,求as和$8；

(2)已知俏+415=40,求5i7.

［例2］一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.

变式应用2已知等差数列｛斯｝的前n项和为S”,且S“=70,S2,“=110,则S3”,=.

［例3］已知数列｛a,J是等差数列，ai=50,J=-0.6.

⑴从第几项开始有斯＜0；

(2)求此数列的前n项和的最大值.

变式应用3在等差数列｛斯｝中，ai=25,Si7=S%求S,的最大值.

［例4］有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每隔50m

放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共多少？

变式应用4为了参加5000m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5000m,以后每天比

前一天多跑400m,李强10天一共要跑多少路程？

［例5］已知两个等差数列｛斯｝、｛b,,｝的前〃项和分别为&、Tn,且鼠=.刃+1一(〃GN+),求生.

T„4〃+274

三、练习反馈

一、选择题

1.在等差数列｛斯｝中，已知〃2=2,48=10,则前9项和S9=()

A.45B.52C.108D.54

2.数列｛斯｝是等差数列，0+〃2+。3=-2408+09+。20=78,则此数列的前20项和等于()

A.160B.180C.200D.220

3.记等差数列｛劣｝的前〃项和为S〃.若。尸;，S4=20,则S6=()

A.16B.24C.36D.48

二、填空题

4.等差数列｛a.｝中，a\-\,。3+a5=14,其前“项和Sn-100,则n=.

5.等差数列｛斯｝中，5n=2013,则为=.

三、解答题

6.在等差数列｛小｝中：己知$7=42$=510,即3=45,求〃.

四、归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

第4课时等差数列的综合应用

一、自“学”提纲

(一)知识点

1.等差数列前n项和的二次函数形式

等差数列的前〃项和S,尸〃0+乙空D”可以改写成：S,=4"2+(a「4)〃.当d#。时，S”是关于〃的

222

函数，所以可借助____________函数的有关性质来处理等差数列前n项和S,的有关问题.

2.等差数列前n项和的最值

在等差数列｛斯｝中，ai>0,d<0.则S”存在最____________值；0<0〃>0,则S,存在最________________值.

3.等差数列奇数项与偶数项的性质

(1)若项数为2〃，则

(2)若项数为2〃-1,则

S奇-S偶=____________,—S存二=_____________.

s偶

(二)预习自测

1.已知数列｛an｝的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大，则n的值为.

2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()

A.63B.45C.36D.27

二、典型“导”例

[例I]已知数列｛〃“｝的前n项和&=-33〃2+_2吆05〃,求数列｛%｝的通项公式如

22

变式应用1S,是数列｛〃“)的前”项和，根据条件求

(1)S”=2〃2+3〃+2；

(2)Sk3"-l.

[例2]已知数列｛斯｝的前n项和5"=12"-武求数列｛以“|｝的前n项和Tn.

变式应用2等差数列｛斯｝的前〃项和为5,F-5n2+20n,求数列｛|斯|）的前〃项和S”.

等差数列前n项和性质

[例3]项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.

变式应用3在等差数列｛斯｝中，前12项和为354,前12项中奇数项的和与偶数项的和之比为27：32,

求公差d.

[例4]从5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，5月1日该款服装销售出10件，第二天销售

出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，

然后，每天销售的件数分别递减10件.

（1）记该款服装五月份日销售量与销售天数”的关系为如，求斯；

（2）求五月份的总销售量；

（3）按规律，当该商场销售此服装超过1300件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低

于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由.

[例5]已知数列｛斯｝的前〃项和S,满足关系式炮（5“+1）=〃+1（〃=1,2「・）,试求数列｛m｝的通项公式.

三、练习反馈

一、选择题

1.已知等差数列｛飙｝中，前15项之和为Si5=90,则痣等于（）

015r45

A.6B.—C.12D.—

42

2.若数列｛如｝的前n项和S尸层，则（)

A.a,尸2及-1B.a产2〃+1

C.an=-2n-1D.a〃=-2〃+l

3.已知等差数列共有2"+1项，其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则斯等于（）

A.30B.29C.28D.27

二、填空题

4.在等差数列｛%｝中，3+00=58,。4+。9=50,则它的前10项和为.

5.（2011•辽宁文，15）S,为等差数列｛斯｝的前〃项和,52=&,出=1,则“5=.

四、归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

§3等比数列

第1课时等比数列的概念及通项公式

一、自“学”提纲

（―）知识点

1.等比数列的定义

如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于,那么这个数列叫做等比数

列，这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母表示.

2.等比数列的递推公式与通项公式

已知等比数列｛斯｝的首项为四，公比为式q#0),

填表：

递推公式通项公式

a

j=q(〃22)

%an=_______

3.等比中项

(1)如果三个数羽Gy组成，则G叫做x和y的等比中项.

(2)如果G是x和y的等比中项，那么即.

(二)预习自测

1.在等比数列中：

(])的=27,q=-3,%;

⑵%=18,4=3,q=■>

⑶%=4,%—6,cig=;

2.利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮开始起，以后各轮

的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机(一台只能感染一轮)，到第五轮可以感染到台计

算机。

二、典型“导”例

[例1]已知数列｛如｝的前“项和S,=2%+1,求证：｛斯｝是等比数列，并求出通项公式.

变式应用2已知等比数列｛斯｝中，42+a5=18,“3+46=9,%=1,求几

[例3]等比数列｛斯｝的前三项的和为168,“2-45=42,求a5M7的等比中项.

变式应用3若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数。的值.

命题方向等比数列的实际应用

[例4]据《中国青年报》2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：前我国艾滋病

的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经

处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感

染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少

到公元年后，我国艾滋病毒感染者将超过1000万人.（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,

lg7=0.8451）

[例5]在等比数列｛斯｝中，。5、。9是方程7f-18x+7=0的两个根，试求即

三、练习反馈

一、选择题

1.若等比数列的首项为二，末项为士，公比为一，则这个数列的项数为（）

833

A.3B.4C.5D.6

2,若｛斯｝为等比数列，且204=06-的，则公比是（)

A.OB.1或-2C.-1或2D.-1或-2

3.等比数列｛知｝中，04=4,则。2•%等于（）

A.4B.8C.16D.32

二、填空题

4.2+6与2-、回的等比中项为.

5.下列各组数成等比数列的是.

①1,-2,4,-8;②-后,2,-2行,6t-2,a-3,tz-4.

三、解答题

6.已知等比数列｛“”｝中，0=1-,“7=27,求％

27

四、归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

第2课时等比数列的性质

一、自学“提”纲

（-）知识点

1.等比数列的项与序号的关系

（1）两项关系

通项公式的推广：

alt=am•（机、nN+）.

（2）多项关系

项的运算性质

若〃？+n=p+q（jn、小p、q£N+）,

则am-an=•

特别地，若加+〃=2P（加、小p£N+）,

贝"am•斯=.

2.等比数列的项的对称性

有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方）,

即a\•an=ai•=ak,=〃〃+/（n为正奇数）.

（二）预习自测

1、在等比数列｛氏｝中，aa，.,且%♦“*，则区等于（）

132

A、一B、?C、-I）、5

623

2.在等比数列｛a,J中，如果明。，%。，那么；

3.已知｛4｝是等比数列，若%*,4*6,则/。叫=

二、典型“导”例

[例1]在等比数列｛“"｝中，若“2=2,46=162,求4210.

变式应用1已知数列｛斯｝是各项为正的等比数列，且4W1,试比较.+痣与如+。5的大小.

[例2]在等比数列｛斯｝中，已知。7。02=5,则。8•。9•。10•01=（）

A.IOB.25C.50D.75

变式应用2在等比数列｛小｝中，各项均为正数，且“““0+。345=41,“必8=5,求44+48.

[例3]试判断能否构成一个等比数列使其满足下列三个条件：

①0+恁=11;②的54=二32;③至少存在一个自然数也使2一曲”,丽,而+|+4—依次成等差数列，若能，请写出这

939

个数列的通项公式；若不能，请说明理由.

变式应用3在等差数列｛斯｝中，公差dro,“2是0与“4的等比中项，己知数列0,“33,像”“,刖,……成等

比数列，求数列｛公｝的通项乂.

名师辨误做答

3

[例4]四个实数成等比数列，且前三项之积为1,后三项之和为1二，求这个等比数列的公比.

4

三、练习反馈

一、选择题

1.在等比数列｛〃"｝中，若"6=6,49=9,则。3等于（）

316

A.4B.-C.—D.3

29

2.在等比数列｛“〃｝中,〃4+〃5=1006+47=20,则。8+。9等于()

A.90B.30C.70D.40

3.如果数列｛〃“｝是等比数列，那么()

A.数列｛层“｝是等比数列B.数列｛2""｝是等比数列

C.数列｛lga,J是等比数列D.数列｛〃6｝是等比数列

二、填空题

4.若a,b,c,既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.

5.在等比数列｛斯｝中，公比4=2,45=6,则“8=_______.

三、解答题

6.已知｛斯｝为等比数列，且”1“9=64,43+47=20,求01.

四、归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

第3课时等比数列的前〃项和

一、自学“提”纲

(-)知识点

1.等比数列前〃项和公式

(1)等比数列｛小｝的前〃项和为S”,当公比qWl时，Sn==；当口=1时，5„=_

(2)推导等比数列前〃项和公式的方法是.

2.公式特点

(1)若数列｛““)的前”项和S,=p(l-q")仍为常数)，且则数列｛为｝为.

(2)在等比数列的前"项和公式中共有©，斯，〃“S”五个量，在这五个量中知求

(二)预习自测

1.等比数列前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比q等于()

A.2B.-2C.2或-2D.2或1

2.等比数列｛q｝共有2n+l项，奇数项之积为100,偶数项之积为120,则《计1=

3.某企业去年的产值是138万元，计划在今后5年内每年比上一年产值增长10%,这五年的总产值是

二、典型“导”例

[例I]设数列｛的｝是等比数列，其前"项和为S”,且$3=343,求此数列的公比?

变式应用1在等比数列｛%｝中，已知S3=—&=—，求M

22

［例2］在等比数列｛%｝中，已知S”=48,S2"=60,求S3..

［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.

变式应用2等比数列｛〃”｝中，52=7,$6=91,求S-

［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股。万元，年利率为25%,由于某种需要，从第二年起此

投资人每年年初要从公司取出x万元.

（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；

（2）写出第〃年年底，此投资人的本利之和仇与〃的关系式（不必证明）；

（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若“=395,则x的值应

为多少?（在计算中可使用lg2^0.3）

变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10%,按复利计算（即

本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年

初开始归还，问每年应还多少元？

［例4］求数列1,a+a2,/+a4+a5,a6+a7+a8+a9,...的前”项和.

三、练习反馈

一、选择题

1.等比数列｛为｝的公比q=2,前〃项和为S”则显=（）

A.2B.4C.—D.——

22

2.等比数列｛知｝的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）

A.-2B.1C.-2或1D.2或-1

3.等比数列｛2〃｝的前〃项和S产（)

B.2〃-2C.2,,+l-lD.2n+1-2

二、填空题

4.若数列｛斯｝满足：0=l,a“+i=2a〃（〃©N+）,则的=；前8项的和&=.（用数字

作答）

5.在等比数列｛如｝中，S”表示前“项和，若a3=2S2+l,“4=2S3+l,则公比q=.

三、解答题

6.在等比数列｛〃"｝中，已知"6-44=24,“3•45=64,求数列｛%｝的前8项和.

四、归纳总结

1.知识方面：

2.思想与方法方面：

3.典型题型

第4课时等比数列的综合应用

一.自学“提”纲

(-)知识点

1.在等比数列的前〃项和公式5„=__________中，如果令，那么S,产_________.

q-i

2.若S”表示数列｛斯｝的前〃项和，且S“=Ag"-A(AWO,qWO且qW±l),则数列｛如｝是

3.在等比数列｛aj中，S,为其前〃项和.

(1)当于T且在为偶数时，Sk,《「Sk,(A6N.);

⑵当g#T或4为奇数时，数列£,(4GN).

(二)预习自测

1.等比数列前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为?

2.正项等比数列中，S2=7,S6=91则S4?

二、典型“导”例

［例1(1)等比数列｛a”｝,已知G=5,a沏0=100，求©8；

(2)在等比数列｛儿｝中，友=3,求该数列前七项之积；

(3)在等比数列｛斯｝中,02—2,05=54,求勰.

变式应用1已知｛斯｝是等比数列，且〃100=243,“4+。7=84,求a”.

［例2］各项都是正实数的等比数列｛斯｝,前〃项的和记为S”,若Sio=lO,530=70,则S40等于

()

A.150B.-200C.150或-200D.400或-50

变式应用2等比数列｛%｝的前n项和为S”,若S5=1O,SIO=2O,则由5等于.

［例3］求数列1,3。,502,703,・“,(2沱1)，的前〃项和(。#0).

变式应用3求数列｛〃•2"｝的前〃项和S,,.

［例4］若数列｛斯｝的前〃项和为S,=a"-1(aWO),则数列｛斯｝是()

A.等比数列B.等差数列

C.可能是等比数列，也可能是等差数列D.可能是等比数列，但不可能是等差数列

三、练习反馈

一、选择题

1.(2011•辽宁文,5)若等比数列｛%｝满足碇.+1=16",则公比为()

A.2B.4C.8D.16

2.在各项为正数的等比数列中，若。5-。4=576,6/1=9,则“1+42+43+44+45的值是()

A.I061B.1023C.1024D,268

3.在等比数列｛«„｝中，m=l,公比若厮=。1。2a3a4a5，则，"=()

A.9B.10C.llD.12

二、填空题

4.若等比数列｛%｝的前〃项和S,=2/i+r,则r的值为.

5.设等比数列｛““｝的公比为q,前〃项和为S“，若