2022-2023学年新疆昌吉州高中学联体高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆昌吉州高中学联体高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合"={久€"03%32},可={久6叫一1<%<3},则“。可=()

A.[1,2}B.(0,1,2)

C.{%|0<%<2}D.{x|-1<%<3]

2.“sine<o”是“e为第三象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知(l-i)z=4+2i(i为虚数单位)，则团=()

A.V^OB.10C.V-5D.5

4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上是减函数的是()

A./(x)=x3B./(%)=0.3xC./(x)=lg|x|D./(%)=/

5.(1+2久)6的二项展开式中含％3项的系数为()

A.240B.16C.160D.60

6.材料：已知三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积为S=Jp(p—a)(p—b)(p—c),

其中p=这个公式被称为海伦一秦九韶公式.根据材料解答：已知△力BC中，BC=2,

AB+AC=4,则AaBC面积的最大值为()

A.4AT3B.2AT3C.3D.7-3

7.已知角0的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点(1,2),贝卜讥28=()

A.YB.-|C.|D.|

8.已知长方体ABCD的体积为2,AB=2AA1=2BC,4。1与相交于点E,贝U

三棱锥E-4CD的外接球的表面积为()

A.57rB.157rC.187rD.207r

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.在第一次全市高二年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全

班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65到145

之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65,75),第二组[75,85),…，第

八组［135,145］,按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正

确的是()

A.第七组的频率为0.008

B.该班级数学成绩在［85,95］的学生人数为8人

C.该班级数学成绩的众数的估计值为100

D.该班级数学成绩的第82百分位数的估计值为115

10.已知圆锥的底面半径为1,其母线长是2,则下列说法正确的是()

A.圆锥的高是CB.圆锥侧面展开图的圆心角为空

C.圆锥的表面积是3兀D.圆锥的体积是次正

11.某商场开业期间举办抽奖活动，己知抽奖箱中有10张奖券，其中有2张写有“中奖”字

样,假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记力表示甲中奖，B表示乙中奖，贝。()

A.PQ4B)=亲1B.P(B)=1|C.PQ4|B)=1tD.P(5|A)=1

12.把函数讥+COS3X(0<3<兀)的图象向左平移着个单位长度，得到的函

数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是()

A.a)=2

B./(x)的最大值为，石

C.“X)关于点(-刍0)对称

D.若/(%)在区间［-七,a)上存在最大值，则实数a的取值范围为偿,+8)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数f(x)=++的定义域为.

14.一只口袋内装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则

摸出的两只球颜色不同的概率是

15.如图，在直三棱柱中，AB=4C=A4i，4ABe=

l，P为81G的中点，则直线PB与"1所成的角为

16.己知函数"%)=<1,若函数y=/(x)-1有3个零点，则实数a的取值

范围是•

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五=(4,久)，b=(-1,2).

(1)若31石，求|五+3|

(2)若五〃方,向量尊=(1,1),求方与了夹角的余弦值.

18.(本小题12.0分)

在△4BC中，角2,B,C所对的边分别为a,b,c,已知七=空警”.

b—asinA+sinC

(1)求角B的大小；

(2)若sinA=2sinC,且以必。=8"/与，求a和c.

19.(本小题12.0分)

根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对

此不断进行安全教育.如表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾

驶员不戴头盔的统计数据：

月份X12345

不戴头盔人数y120105907065

(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份X之间的回归直线方程y=bx+a；

(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人,分析不戴头盔行为与事故是

否伤亡的关系，得到下表，试根据小概率值a=0.05的/独立性检验，分析不戴头盔行为是

否增加事故伤亡风险.

不戴头盔戴头盔

伤亡1510

不伤亡2550

参考数据和公式：方=i久(%=1205，y=90,匕=芋,a=y-bx,X2=

Li=iXf—nx/

2

n(ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

20.(本小题12.0分)

xx

已知/(%)=log2(4+b-2+4)(实数b为常数).

(1)当£>=一5时，求函数y=f(x)的定义域D；

(2)若不等式/(X)>x当xG[1,+8)时恒成立，求实数b的取值范围.

21.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P—4BCD的底面4BCD是梯形，AD//BC,AB1BC,E为4。延长线上一点，PE1

平面ABCD,PE=2AD,tan/PDE=2,9是PB中点.

(1)证明：EFLPA；

(2)若=24。=2,三棱锥E—PDC的体积为，求锐二面角尸—DC—B的余弦值.

22.(本小题12.0分)

某商场举行有奖促销活动，凡7月7日当天消费每超过400元(含400元)，均可抽奖一次，抽奖

箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有3个，白球有3个，抽奖方案设置

两种，顾客自行选择其中的一种方案.

方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打

8折；若没摸出红球，则不打折；

方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减80元.

(1)若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中恰有一人享受6折

优惠的概率；

(2)若小勇消费恰好满500元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：：M={x|0<x<2],N={0,1,2},

；.MCN={0,1,2).

故选：B.

可求出集合N,然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：当9=一30。时，s讥。<0,但是一30。为第四象限角,

所以由“sine<0”推不出“。为第三象限角”，

当。为第三象限角时，sin6<0,

所以由“8为第三象限角”可以推出^sind<0"，

即“sin8<0"是为第三象限角”的必要不充分条件.

故选：B.

根据充分条件和必要条件的定义判断.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解:(1—i)z=4+2i,

则Z=但—(4+2〃1+。.1+3i,

故z=Vl2+32=V10-

故选：A.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4/(©=/,是幕函数，是奇函数，不符合题意；

对于8,/(x)=0.3,是指数函数，不是偶函数，不符合题意；

对于Cf(x)=lg|x|,在(0,+8)上，/(x)=Igx,是增函数,不符合题意；

对于D,/。)=1=小2,是寻函数，既是偶函数又在(0,+8)上是减函数，符合题意.

故选：D.

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案.

本题考查函数奇偶性、单调性的判定，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：(1+2x)6的二项展开式的通项为图+1=c式2久)r=2yx『,

令r=3,得含项的系数为23/=160.

故选：C.

写出展开式的通项，令x的指数为3,然后可求得结果.

本题考查二项展开式的通项的应用，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：记a=8C,b=ACfc=AB,

由题意a=2,c+b=4,

则p==3,且p—a=1,

故三角形的面积为S=V3x1x(3-b)(3-c)=AT3XJ(3—6)(3—c)<AT3x三等二=

<3,

当且仅当3-b=3—c,即b=c-2时等号成立，

故4ABC面积的最大值为V2.

故选：D.

计算p=3,代入海伦-秦九韶公式，利用基本不等式可求得△ABC面积的最大值.

本题考查了海伦一秦九韶公式的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：因为角。的终边过点(1,2),点(1,2)到原点的距离丁='2?7=废,

所以cosb=~=六，sin®=(=言，

[74

所以si?t2e=2cos9sin3=2xx-^==

故选：D.

利用三角函数定义即可求得：cos9=福,sind=再利用正弦的二倍角公式得解.

本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算

能力，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：设48=2441=28C=2x,则由长方体的体积公式，得2炉=2,解得％=1,

所以AB=24&=2BC=2,

由题可知，四边形40D14为正方形，

所以AE1DE,

所以△E4D外接圆的圆心为4D的中点，记为点M,如图：

又AaCD是直角三角形，同理AACO外接圆的圆心为4C的中点，即为点N,

过点M,N分别作平面4DE与平面4CD的垂线，两条垂线的交点为4C的中点N,

所以三棱锥E—4CD的外接球的球心是AC的中点N,

又AC=A/-5,

所以外接球半径为R=^AC=号，

所以外接球的表面积为4兀/?2=5兀，

故选：A.

根据已知线面关系，判断三棱锥E-4CD的外接球球心的位置并求得半径，从而得外接球的表面

积即可.

本题考查外接球表面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题.

9【答案】BCD

【解析】解：对于4设第七组的频率为无，贝打0X(0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+

0.004)+x=1,

解得x=0.08,故A错误；

对于B,由班级数学成绩在［85,95］的频率为0.016x10=0.16可知：

班级数学成绩在［85,95］的学生人数为0.16x50=8,故2正确；

对于C,该班级数学成绩的众数的估计值在［95,105］组，为100,故C正确；

对于D,由频率分布直方图可知在［65,115］组的频率为10x(0.004+0.012+0.016+0.03+

0.02)=0.82,

该班级数学成绩的第82百分位数的估计值为115,故。正确.

故选：BCD.

由频率直方图中的数据，根据频率之和为1直接求第七组的频率，由频数与频率的关系判断B选项,

由众数、第p百分位数求法，判断其余各项的正误.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数和百分位数的估计，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4圆锥的底面半径为r=l,其母线长是1=2,

则圆锥的图h=VI2—r2=A/-3,故A正确；

对于B,设圆锥侧面展开图的圆心角为a,则a［=2兀八解得a=兀，故B错误；

对于C,圆锥的表面积是S=兀,+兀包=3兀，故C正确；

对于D,圆锥的体积是p=g兀产八=穿，故。错误.

故选：AC.

根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式，依次分析选项，综合可得答案.

本题考查圆锥的体积、表面积的计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对于4PQ4B)=,x：=U，故A正确；

1Uy45

对于B,P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=^xi+^x^=|,故2正确；

1

对

于C

-415=I，故C正确；

5一

1

对于

。-4T5=t,故。错误.

5

故选：ABC.

根据题意，由条件概率和古典概型公式依次分析选项，综合可得答案.

本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由题意可得：/(x)=yT^sinwx+cosa)x=2sin(wx+^),

对4函数/(©的图象向左平移看个单位长度，

得至！Jy=f(x+,)=2sin[ci)(x+,)+==2sin(a)x++)),

y=2s出(3久+触+3)关于y轴对称，

即y=2sin(cox+^a>+3)为偶函数，

则*3+3=(2k})\keZ,则3=6k-4,kez,

注意到0V3<7T,则々=1,3=2,故A正确；

对B，/(久)=2s讥(2x+$,则/(%)的最大值为2,故B错误；

对C,由/(—工)=2s讥[2x(—为+刍=0,贝式一刍0)是f(x)的对称中心，故C正确；

对D,'''xG.贝!]2x+*e[0,2a+/

若/Q)在区间[-aa)上存在最大值,则2a+,>?,解得a>,

即实数a的取值范围为(，+8),故。正确.

故选：ACD.

先利用辅助角公式化简〃彷，再通过图象平移求得新的函数，从而利用图象关于y轴对称求得3=

2,由此得到〃久)的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.

本题考查了三角函数的图象及性质，属于中档题.

13.【答案】（―8,—2）u（—2,1]

【解析】解：要使原函数有意义，则已;W?，解得久＜1且x丰-2.

1%+2Ho

・•・函数/（久）=C=+击的定义域为：（―8,—2）u（—2,1].

故答案为：（-co,-2）U（-2,1].

由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不为0联立不等式组求解.

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

14.【答案】葛

【解析】解：记4只白球分别为4B,C,。两只黑球分别为a,b,

则从6只球中一次摸出两只球的所有情况有：

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,ab9aD,bD,共15种情况，

其中摸出的两只球颜色不同的有：Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,aD,bD,共8种情况，

所以摸出的两只球颜色不同的概率为：盘.

故答案为：

利用列举法求解，列出6只球中一次摸出两只球的所有情况，再找出摸出的两只球颜色不同即一黑

一白的情况，然后利用古典概型的概率公式计算可得答案.

本题考查等可能事件的概率计算，属于基础题.

15.【答案】I

【解析】解：在AABC中，因为4B=4&乙48。=】，可得N2CB=M

取的中点Q,连接GQ,AQ,可得4QLBC,

又由直三棱柱ABC—&B1Q中，可得4Q1BB],

因为BCn8Bi=B,所以4Q上平面BCGBi，所以4Q1GQ,

又由P为BiG的中点，所以C】Q〃PB,

所以异面直线PB与4G所成的角，即为直线GQ与4G所成的角，设为仇

2

设AB=AC=AAr=2,可得4Q==VAC+CCf=20，

在直角AAGQ中，由$讥8=怒=矍=]

因为86(0,刍，所以9=也

故答案为：*

取BC的中点Q,连接QQ,得到QQ〃PB,异面直线PB与力的所成的角，即为直线QQ与4Q所成

的角，在直角△立五中，求得即可求解.

本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题.

16.【答案】(-2,2)

【解析】解：函数/(久)=:<1,若函数y=f(x)-1有3个零点，

当％时，令/(%)—1=0,即,％=1,解得％=e,符合题意；

当无<1时，令/(%)—1=0,BPx2+2%+a=1,即％2+2%+a—1=0,

要使得函数y=/(%)-1有3个零点，在方程/+2%+a-1=0有两个小于1的实根，

设。(%)=/+2%+a-1,即函数g(%)在第<1与久轴有两个交点，

则满端;)t24M>1/。，解得-2<a<2,

即实数a的取值范围是(-2,2).

故答案为：(-2,2).

根据对数函数的性质，得到x=e为函数的一个零点，根据题意转化为/+2久+a-1=0有两个

小于1的实根，设g(x)=/+2x+a-1,结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.

本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题.

17.【答案】解：⑴•・,a1a'b=0，

即一4xl+2%=0,解得％=2,

a+&=(3,4)，

|a+K|=732+42=5.

(2)a//bf~x—4x2=0,解得久=-8,

ct=(4,—8).

va-c=-4,\a\=742+(-8)2=4AT5,|c|=AT2,

——a-cV10

・•.cos〈a，c〉=瓯=—。'

即N与不夹角的余弦值为-崇.

【解析】(1)根据向量垂直的坐标表示求出久，进而求得答案；

(2)根据向量平行的坐标表示求出x,利用向量的夹角公式求得结果.

本题考查平面向量的夹角与数量积的坐标表示，属于基础题.

18.【答案】解:(l)AABC中，•:三sinA+sinB

sinA+sinCf

由正弦定理得：以a+b

a+c'

••・ac+c2=b2—a2,BPc2+a2—b2=—ac,

由余弦定理得，cosB=外层-庐=W==，

2ac2ac2

•・•在三角形中，OVBVTC,

(2)vsinA=2sinC,由正弦定理得：a=2c,

又SMBC=IacsinB==81^，

**,cic—32,

•••a=8,c=4.

【解析】(1)由正弦定理化简已知等式，再由余弦定理得cosB,从而可得角B的大小；

(2)由正弦定理结合面积公式可得a,c关系，解方程即可得a和c的值.

本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想,

属于基础题.

-1+2+3+4+5„-120+10+90+75+65nn

19.【答案】解:(1)由题意知,x=-------Q------=3,yJ=------------R------------=90,

.,_£区1阳%-5%y_1205-5x3x90_

•*•0=T-=7=

E-=I%2-5X55-5X3

a=y—bx=90+14.5x3=133.5

••・回归直线方程为y=—14.5%+133.5；

(2)零假设为：不戴头盔行为与事故伤亡无关.

100x(15x50-25x10)2

由#2=«6>3.841-

40x25x60x75

根据小概率值a=0.05的％2独立性检验，推断/不成立,

即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，此推断犯错误的概率不超过0.05.

【解析】(1)先求出样本中心点的坐标，利用公式求得力口，进而求得不戴头盔人数y与月份x之间

的回归直线方程；

(2)求得f的值并与3.841进行大小比较，进而得到不戴头盔行为是否与事故伤亡有关.

本题考查线性回归方程与独立性检验，考查运算求解能力，是基础题.

xx

20.【答案】解:(1)当b=-5时，f(x)=log2(4-5-2+4),

则4工一5・2,+4=(2,一1)(2,-4)>0,

所以4>4或2工<1,解得x<。或%>2,

即。=(―CO,0)U(2,4-CO).

(2)当xe［1,+8)时，/(x)>x,y=log?久为单调递增函数,

xXX

故/(x)>x=log22,所以4*+b-2+4>2,

令t=2x(x>1),贝1>2,

故产+仙—i)t+4>0nb-l>—=一(t+》•

由对勾函数的性质可知y=-(t+》在［1,2)上单调递增，［2,+8)上单调递减,

故—(t+3)W—4,所以6—1〉—4,解得b>—3,

即b的取值范围为(—3,+8).

【解析】(1)利用对数函数的性质及指数不等式即可求解；

(2)利用对数函数的单调性将不等式转化为4,+6•2*+4>2工，令土=2x(x>1),贝It>2,利用

参变量分离及对勾函数的性质即可求解6的范围.

本题主要考查函数定义域的求法，函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴证明：•••PE，平面力BCD,ABu平面4BCD,

•••PE1AB.

■：ABIBC,AD]IBC,

•••ABLAD.

又PECW=E,PE,ADu平面PAD,

•••AB_L平面PAD.

PAu平面JMD.

•••PA1AB,

取PA的中点M,连接EM,FM,

F为P8的中点，

FM//AB.

：.FMIPA.

tanzPDF=2,

PE

2,

DE

・•.PE=2DE=2ADf

・•.0为AE的中点，

・•.PE=AE,

・•・EM1PA.

又EMCIFM=M,EM,FMu平面EFM,

・••PA1平面EFM.

•・•EFu平面EFM,

・•・EF1PA；

p

・•・PE=2.

BC//AE,^BC=AE,

AB1BC,

.•.四边形力BCE为矩形，

•••CE_L平面PAE.

[111

*',^E-PDC=VP-DEC=5s4OEC.PE=§X