2020-2021学年湖南省衡阳市衡阳县七年级（下）期末数学试卷

2020-2021学年湖南省衡阳市衡阳县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列结论错误的是（）

ab

A.右a=b,贝lj〃-c=Z?-cB.右a=b,则f—=——

c2+lc2+l

C.若x=2,则D.若ux=bx,则ci=b

2.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列方程变形正确的是（）

%—1x

A.方程——--=1化成5（x-1）-2x=l

25

B.方程3-x=2-5（x-1）,去括号，得3-x=2x-15

C.方程3x-2=2x+l移项得3x-2*=l+2

D.方程|r=|,未知数系数化为1,得f=l

3.（3分）（2021春•衡阳县期末）若x=-3是关于x的方程2x+a=l的解，则a的值为（）

A.-7B.-5C.7D.5

4.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

凌

5.（3分）（2021春•衡阳县期末）不等式组的解集在数轴上表示为（）

A.01

B.01f

C.节~~

,A

D.012

6.（3分）（2021春•衡阳县期末）若a>b,则下列不等式中一定成立的是（)

ab

A.a-c>b-cB.c-a>c-bC.ac>bcD.—>一

cc

7.（3分）（2021春•衡阳县期末）如果一个等腰三角形的两边长为4、9,则它的周长为（）

A.17B.22C.17或22D.无法计算

8.（3分）（2021•荔湾区三模）如图摆放一副三角尺，尸=90°,点E在AC上,

点。在BC的延长线上，EF//BC,ZA=30°,ZF=45°,则NCED=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

9.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列四组多边形：①正三角形与正方形；②正三角形与正

十二边形；③正方形与正六边形；④正八边形与正方形，其中能铺满地面的是（）

A.①③④B.①②④C.②③D.②③④

10.（3分）（2021春•衡阳县期末）如图，在△ABC中，NB=34°,将△ABC沿直线，〃翻

折，点8落在点。的位置，则］（/I-/2）的度数是（）

A.68°B.64°C.34°D.32°

11.（3分）（2021•宝安区二模）为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实

验室，现需购买航拍无人机和编程机器人.已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人

所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元.设购买1架航拍无

人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（）

A（2x=3y（3x=2y

[4x+7y=3480（4x+7y=3480

r（2x=3y[3x=2y

J\7x+4y=3480（7x+2y=3480

12.（3分）（2021春•衡阳县期末）“垃圾分类做得好，明天生活会更好”，学校需要购买分

类垃圾桶10个，放在校园的公共区域，市场上有A型和8型两种分类垃圾桶，A型分类

垃圾桶350元/个，8型分类垃圾桶400元/个，总费用不超过3650元，则不同的购买方

式有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.（3分）（2021春•衡阳县期末）如果关于x的方程（zn-7）x版「6+9=0是一元一次方程,

则m=.

14.（3分）（2021•阳西县模拟）已知x、y满足方程组心；二；二;2,则苫+y的值为.

15.（3分）（2021春•衡阳县期末）关于x的不等式2x+“Wl恰有2个正整数解，则“的取

值范围是.

16.（3分）（2021•盘龙区一模）一个正多边形的内角和是外角和的2倍,则它的边数为.

17.（3分）（2021春•衡阳县期末）如图，将长方形纸片48co折叠，使点。与点B重合,

点C落在点C处，折痕为E凡若NABE=30°,则NEFC的度数为

18.（3分）（2021春•衡阳县期末）如图所示，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延

长一倍，将得到的点A‘、夕、C'顺次连接成B'C,若AABC的面积是4,

则AA'B'C的面积是.

A'

/A1\

C

B

B'C

三、解答题

19.（6分）（2021春•衡阳县期末）解方程:

⑵解方程组:

（3（x+2）>x-2

20.（6分）（2021春•衡阳县期末）解不等式组：i+x，并将解集在数轴上表示

出来.

-5-4-3-2-1~6~~1~2~3"""4~5^

21.（6分）（2021春•衡阳县期末）如图所示，AE为△A8C的角平分线，C。为aABC的高，

若NB=30°,NACB为.

（1）求NCAF的度数：

（2）求/AFC的度数.

22.（8分）（2021春•衡阳县期末）如图，点尸为正方形ABC。内一点，ABFC绕点8逆时

针旋转后与△BE4重合.

（1）判断△8EF的形状，并说明理由；

（2）若NBFC=90°,证明AE〃BE

23.（8分）（2⑼春•衡阳县期末）若关于“的二元一次方程组以的解x

>0>y>0,试确定整数。的值.

24.（8分）（2021春•衡阳县期末）△ABC在网格中的位置如图所示.

（1）请画出△A8C绕着点0逆时针旋转90°后得到的△AiBiCi；

（2）若网格中每一个小正方形的边长为1,请求出AABC的面积;

（3）在MN上找一点P,使以+PC最小（不写法，保留作图痕迹）.

25.（12分）（2021春•衡阳县期末）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其

进价与售价如表：

进价（元/个）售价（元/个）

电饭煲

电压锅

（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具

店在该买卖中赚了多少钱？

（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压

锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；

（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？

26.（12分）（2021春•衡阳县期末）如图①，在△A8C中，与/AC8的平分线相交

于点P.

（1）如果N）=80°,求NBPC的度数；

（2）如图②，作△ABC外角/M8C,NNCB的角平分线交于点Q,试探索/。、NA之

间的数量关系.

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E,△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的

2倍，求NA的度数.

2020-2021学年湖南省衡阳市衡阳县七年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列结论错误的是（）

ab

A.若a=b,则a-c=6-cB.若a=〃，则一;—=——

c2+lc2+l

C.右x=2,则/=2xD.右cix—bx,则ci—b

【考点】等式的性质.

【分析】根据等式的基本性质可判断出选项正确与否.

【解答】解：A、根据等式性质1,等式两边都减c,即可得到a-c="c；

B、根据等式性质2,等式两边都除以不等于0的数。2+1,即可得到厂一=/一；

c2+lc2+l

C、根据等式性质2,等式两边都乘x,即可得到f=2x；

D、根据等式性质2,两边都除以x时，需xWO才可得到

故选：D.

【点评】主要考查了等式的基本性质.

等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；

2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为。数或字母，等式仍成立.

2.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列方程变形正确的是（）

%—1X

A.方程---——=1化成5（x-1）-2x=1

25

B.方程3-x=2-5（x-1）,去括号，得3-x=2x-15

C.方程3x-2=2x+l移项得3x-2x=l+2

D.方程|f=?，未知数系数化为1,得

【考点】等式的性质；解一元一次方程.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】各方程整理得到结果，即可作出判断.

%—1X

【解答】解：A.方程二"一二=1化成5（x-1）-2x=10,不符合题意；

B.方程3-x=2-5（x-1）,去括号，得3-x=2-5x+5,不符合题意；

C.方程3x-2=2x+l移项得3x-2x=1+2,符合题意；

D.方程|/=|，未知数系数化为1,得仁小不符合题意；

故选：C.

【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握方程的解法是解本题

的关键.

3.（3分）（2021春•衡阳县期末）若x=-3是关于x的方程2x+“=l的解，则。的值为（）

A.-7B.-5C.7D.5

【考点】一元一次方程的解.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】把X=-3代入己知方程，列出关于。的新方程，通过解新方程来求4的值.

【解答】解：•.”=-3是关于x的方程2x+n=l的解，

A2X（-3）+a=l,

解得a=1.

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义.方程的解就是能够使方程左右两边相等

的未知数的值.

4.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】轴对称图形；中心对称图形.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

8、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确：

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

D,是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选:B.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分

重合.

5.（3分）（2021春•衡阳县期末）不等式组卜>1的解集在数轴上表示为（）

<2

【考点】在数轴上表示不等式的解集.

【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可.

【解答】解：•••不等式组卜>1的解积为l〈xW2,

...在数轴上表示为：

~0§勺

故选：A.

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是

解答此题的关键.

6.（3分）（2021春•衡阳县期末）若a>b,则下列不等式中一定成立的是（）

ab

A.a-c>b-cB.c-a>c-bC.ac>bcD.—>—

cc

【考点】不等式的性质.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】根据不等式的性质逐项判断可求解.

【解答】解：・・,4>4

:.a-c>b-c,故A符合题意；

c-a<c-by故3不符合题意；

当cVO时，ac<bc,故不符合题意；

当c=o时，也无意义，故不符合题意.

CC

故选：A.

【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键.

7.（3分M2021春•衡阳县期末）如果一个等腰三角形的两边长为4、9,则它的周长为（）

A.17B.22C.17或22D.无法计算

【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质.

【专题】三角形：运算能力.

【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等

腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应

用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：（1）若4为腰长，9为底边长，

由于4+4V9,则三角形不存在；

（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.

所以这个三角形的周长为9+9+4=22.

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系：题目从边的方面考查三角

形，涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应

养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.

8.（3分）（2021•荔湾区三模）如图摆放一副三角尺，NB=NEDF=90°,点E在AC上，

点。在BC的延长线上，EF//BC,ZA=30°,ZF=45°，则NCE£>=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】由三角形内角和定理可知，NDEF=45°,NAC8=60°,再由平行线的性质

可得，NCEF=60°,最后可得结论.

【解答】解：如图,

VZEDF=9Q°,NF=45°,

：.ZDEF=45°,

VZB=90°,NA=30°,

AZACB=60°,

■:EF//BC,

：.ZCEF^ZACB=60°,

ZCED=ZCEF-NDEF=15°.

故选：A.

【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目中的条件找到角之

间的关系是解题关键，是一道比较简单的题目.

9.（3分）（2021春•衡阳县期末）下列四组多边形：①正三角形与正方形；②正三角形与正

十二边形；③正方形与正六边形；④正八边形与正方形，其中能铺满地面的是（）

A.①③④B.①②④C.②③D.②③④

【考点】平面镶嵌（密铺）.

【专题】几何图形；应用意识.

【分析】能够密铺地面的关键是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角.

【解答】解：①正三角形内角为60°,正方形内角为90°,可以由3个正三角形和2个

正方形可以密铺；

②正十二边形一个内角150°,两个正十二边形与一个正三角形可平密铺；

③正六边形和正方形无法密铺；

④正八边形内角为135°,正方形内角为90°,2个正八边形和1个正方形可以密铺.

综上可得①②④正确.

故选：B.

【点评】本题考查了平面密铺的知识，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一

起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.

10.（3分）（2021春•衡阳县期末）如图，在△ABC中，Zfi=34°,将△ABC沿直线机翻

折，点B落在点。的位置，则［（N1-/2）的度数是（）

A

A.68°B.64°C.34°D.32°

【考点】三角形内角和定理.

【专题】计算题；三角形；应用意识.

【分析】由折叠的性质可得到N8与/O的关系，再利用外角与内角的关系求出（N1-

Z2）的度数.

【解答】解：•.•△EFD是由△EF8沿，〃翻折后的图形，

；./。=/8=34°.

=Z3=Z2+ZD,

AZ1=ZB+Z2+ZD=68°+Z2.

AZI-/2=68°.

【点评】本题考查了折叠的性质及三角形外角与内角的关系，掌握外角与内角的关系是

解决本题的关键.

11.（3分）（2021•宝安区二模）为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实

验室，现需购买航拍无人机和编程机器人.已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人

所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元.设购买1架航拍无

人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（）

（2x=3y（3x=2y

{4x+7y=3480（4%+7y=3480

（2x=3y[3x=2y

\7x+4y=3480（7x+2y=3480

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无

人机和7个编程机器人共需3480元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：依题意得：{^；7y=3480-

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元

一次方程组是解题的关键.

12.（3分）（2021春•衡阳县期末）“垃圾分类做得好，明天生活会更好”，学校需要购买分

类垃圾桶10个，放在校园的公共区域，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类

垃圾桶350元/个，B型分类垃圾桶400元/个，总费用不超过3650元，则不同的购买方

式有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

【考点】一元一次不等式的应用.

【专题】应用题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识.

【分析】设购买A型分类垃圾桶尤个，则购买B型分类垃圾桶（10-x）个，根据总价=

单价X数量，结合总费用不超过3650元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可

得出x的取值范围，再结合x,（10-x）均为非负整数，即可得出x的可能值，进而可得

出购买方案的数量.

【解答】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（10-x）个，

依题意，得：350x+400（10-x）W3650,

解得：x27.

Vx,（10-x）均为非负整数,

.♦.X可以为7,8,9,10,

•••共有4种购买方案.

故选：c.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一

次不等式是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.（3分）（2021春•衡阳县期末）如果关于x的方程Cm-7）?n|-6+9=0是一元一次方程，

则m=-7.

【考点】绝对值；一元一次方程的定义.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一

次方程.它的一般形式是ax+〃=0（a,匕是常数且aWO）.

【解答】解：根据题意得,〃?-7#0,且|刑-6=1,

解得：m--7.

故答案是：-7.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指

数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.

14.（3分）（2021•阳西县模拟）已知x、y满足方程组贝|科）.的值为5.

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】将两式相加即可.

【解答】解：两式相加得3x+3y=15,

x+y=5.

故答案为：5.

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，利用加减消元法求解是解题的关键.

15.（3分）（2021春•衡阳县期末）关于x的不等式2x+“Wl恰有2个正整数解，则〃的取

值范围是-5<aW-3.

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到

一个关于a的不等式，求得a的值.

【解答】解：解不等式2x+aWl得：xW宁，

不等式有两个正整数解，一定是1和2,

根据题意得：2〈号<3,

解得：-5<aW-3.

故答案为：-5<aW-3.

【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键.解

不等式应根据不等式的基本性质.

16.（3分）（2021•盘龙区一模）一个正多边形的内角和是外角和的2倍,则它的边数为6.

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】根据多边形的内角和公式2）780°以及外角和定理列出方程，然后求解即

可.

【解答】解：设这个正多边形的边数是〃，

根据题意得，（"-2）780°=2X360°,

解得"=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与

边数无关，任何多边形的外角和都是360°.

17.（3分）（2021春•衡阳县期末）如图，将长方形纸片4BCD折叠，使点。与点B重合,

点C落在点C处，折痕为EF,若NABE=30°,则NEFC的度数为120°.

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】由折叠的性质知：/EBC'、ZBCF都是直角，因此8E〃C'F,那么/EFC'

和互补，欲求/EFC'的度数，需先求出/8EF的度数；根据折叠的性质知/BEF

=NOEF,而NA£B的度数可在Rt^ABE中求得，由此可求出/BEF的度数，即可得解.

【解答】解：RtZ\ABE中，/A8E=30°,

ZA£fi=60°；

由折叠的性质知：NBEF=NDEF；

而NBEZ）=180°-ZAEB=120°,

：.ZBEF=60°；

由折叠的性质知：ZEBC=ND=NBC'F=NC=90°,

：.BE//C'F,

：.ZEFC'=180°-ZBEF=120°.

故答案为：120.

【点评】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是

一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

18.（3分）（2021春•衡阳县期末）如图所示，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延

长一倍，将得到的点A‘、8,、C'顺次连接成B'C,若AABC的面积是4,

则4A'B'C的面积是28.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】连接AH、BC、CA',根据题意可得点B、A、C分别为BA\AC的中点,

所以可得SS^A'AC=S^A'CC=SABCC=SMB'B=S^B'A'A=S&CBB=SAABC=4,贝I]△A'B'C的面

积=7S”BC=7X4=28.

【解答】解：如图，连接BC、CA,

根据题意可得点8、A、C分别为C8、BA\AC的中点，

S^AB'B=SAABC=4,SAB'A'A=SCAB'S-4,

同理可得：SAA,AC=S^A'CC—S^BCC—S&AB'B—SAB'A'A—S^CB'B—S&ABC—4,

故△AEC的面积=7SAABC=7X4=28,

故答案为：28.

【点评】本题考查了三角形中线的性质（三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角

形），作出正确的辅助线转化为利用三角形中线性质求面积是关键.

三、解答题

19.（6分）（2021春•衡阳县期末）解方程:

⑵解方程组:修驾三1°.

【考点】解一元一次方程：解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】（1）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可;

（2）方程组利用加减消元法求解即可.

【解答】解：（1）x+空=1一等L

O5

去分母得，6x+（2x+l）=6-2（2x-1）,

去括号的，6x+2x+l=6-4x+2,

移项得，6x+2x+4x=6+2-1,

合并同类项得，12x=7,

系数化为1得，x=

（,）+5y=2①

~-3y=-10（2）,

①-②X2得，lly=22,

解得y—2,

把y=2代入①得，8x+10=2,

解得x=-1,

故方程组的解为：

【点评】本题考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化

成一元一次方程是解二元一次方程组的关键.

3(%+2)>x-2

1l+x，并将解集在数轴上表示

出来.

-5-4-3-2-1~6~1~2"34~5^

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式3(x+2)>x-2,得x>-4；

解不等式贵，得xW3,

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

-5-4-3-2-10

二不等式组的解集为-4VxW3.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

21.(6分)(2021春•衡阳县期末)如图所示，AE为△ABC的角平分线，8为AABC的高,

若NB=30°,/ACB为70°.

(1)求/CAF的度数;

(2)求/AFC的度数.

B

【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】(1)依据三角形内角和定理，即可得到/84C的度数，再根据角平分线的定义，

即可得到/CAF的度数；

(2)依据三角形内角和定理，即可得到NACF的度数，再根据三角形内角和定理，即可

得出/AFC的度数.

【解答】解：(1)；/8=30°,/ACB=70°,

AZSAC=180°-30°-70°=80°，

又平分NBAC,

11

AZCAF=^ZCAB=x80°=40°；

(2):CD为△ABC的高，ZCAD=80°,

.♦.拉△AC。中，NACF=90°-80°=10°,

AZAFC=1800-ZACF-ZCAF=180°-10°-40°=130°.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高线和角平分线，解题时注意：

三角形内角和是180°.

22.(8分)(2021春•衡阳县期末)如图，点F为正方形A8C。内一点，△8FC绕点B逆时

针旋转后与△BE4重合.

(1)判断aBEF的形状，并说明理由；

(2)若/BFC=90°,证明AE〃BF.

【考点】正方形的性质；旋转的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】(1)根据△2FC绕点3逆时针旋转后与△3EA重合，得NE8F=/A5C=90°,

BE=BF,即可得出△BEF是等腰直角三角形；

(2)由旋转得NAEB=NB?C=90°,则NAEB+NEBF=90°+90°=180°,得出结论

AE//BF.

【解答】（1）解：△BEF是等腰直角三角形，理由如下：

:四边形ABCZ）是正方形，

ZABC=90Q,

绕点8逆时针旋转后与△8E4重合，

:.NEBF=NABC=90°,BE=BF,

/\BEF是等腰直角三角形；

（2）证明：•.•△8FC绕点8逆时针旋转后与△BEA重合，

NAEB=ZBFC,

■:NBFC=90°,

ZA£fi=90°,

:.NAEB+NEBF=9Q°+90°=180°,

：.AE//BF.

【点评】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，明确旋转前后对应角相等、

对应边相等是解题的关键.

23.（8分）（2021春•衡阳县期末）若关于x、y的二元一次方程组=二的解x

>0、>>0,试确定整数a的值.

【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解.

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】通过解方程组得到f+,然后解不等式组即可求出a的取值范围，再确

（3a-1>0

定整数。的值.

【解答】解：2+2y=7a-l&

（2%—y=-a+3@

①+②X2,得5x=5a+5,

解得x=a+l,

把x=a+l代入②，得2（a+l）-y=-〃+3,

解得y—3a-1,

又•.•关于X、y的二元一次方程组的解x>0、y>0,

Ja+1>0①

"l3a-1>0@'

解①得〃>-1,

解②得a>}

，不等式组的解集为a*,

整数。是不小于1的正整数.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.也考查了解二元一次方程组和不等式组.

24.（8分）（2021春•衡阳县期末）△ABC在网格中的位置如图所示.

（1）请画出△ABC绕着点。逆时针旋转90°后得到的△A1BC1；

（2）若网格中每一个小正方形的边长为1,请求出aABC的面积；

（3）在上找一点P,使附+PC最小（不写法，保留作图痕迹）.

【专题】作图题；几何直观.

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可；

（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算AABC的面积；

（3）作C点关于直线MN的对称点C',连接AC'交直线MN于P点，利用两点之间

线段最短可判断此时必+PC最小.

【解答】解：（1）如图，△AiB。为所作；

Ill

（2）△ABC的面积=3X3-/1X2-/2X3-/3X1=3.5；

（3）如图，点P为所作.

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转

角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，

找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了最短路径问题.

25.（12分）（2021春•衡阳县期末）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其

进价与售价如表：

进价（元/个）售价（元/个）

电饭煲

电压锅

（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具

店在该买卖中赚了多少钱？

（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压

锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由：

（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用.

【分析】（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅），台，根据橱具店购进这两种电器共30

台且用去了5600元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，

再根据总利润=单个利润X购进数量即可得出结论；

（2）设购买电饭煲“台，则购买电压锅（50-a）台，根据橱具店决定用不超过9000元

的资金采购电饭煲和电压锅共50个且电饭煲的数量不少于23个，即可得出关于〃的一

元一次不等式组，解之即可得出”的取值范围，由此即可得出各进货方案；

（3）根据总利润=单个利润X购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结

论.

【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，

根据题意得：（200x+160y=5600,

解得：.翁

A20X（250-200）+10X（200-160）=1400（元）.

答：橱具店在该买卖中赚了1400元.

（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50-。）台，

根据题意得:（200a+160（50-«）<9000）

解得：23WaW25.

又为正整数，

可取23,24,25.

故有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压

锅26台：③购买电饭煲25台，购买电压锅25台.

（3）设橱具店赚钱数额为w元，

当a=23时，vv=23X50+27X40=2230；

当〃=24时，.=24X50+26X40=2240；

当。=25时，w=25X50+25X40=2250；

综上所述，当。=25时，w最大，

即购进电饭煲、电压锅各25台时，橱具店赚钱最多.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键

是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系，列出关

于“的一元一次不等式组；（3）根据总利润=单个利润X购进数量分别求出各进货方案

的利润.

26.（12分）（2021春•衡阳县期末）如图①，在△ABC中，NA8C与NACB的平分线相交

于点尸.

（1）如果/4=80°,求NBPC的度数；

（2）如图②，作△4BC外角NMBC,/NC8的角平分线交于点°,试探索NQ、NA之

间的数量关系.

(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E,△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的

2倍，求的度数.

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质.

【分析】(I)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出N1+/2,进而求出

NBPC即可解决问题；

(2)根据三角形的外角性质分别表示出NM8C与再根据角平分线的性质可求

得NCBQ+/BCQ,最后根据三角形内角和定理即可求解；

(3)在aBOE中，由于N0=9O°求出NEBQ=90°,所以如果

△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①NE8Q

=2NE=90°；②N£BQ=2NQ=90°；③ZQ=2NE；④NE=2NQ；分别列出方程，

求解即可.

【解答】(1)解：；14=80°.

AZABC+ZACB=\00°,

•.•点P是NABC和/ACB的平分线的交点，

11

.\ZP=180o一方(ZABC+ZACB)=180°一/100°=130°,

(2)・・•外角NM8C,NNC3的角平分线交于点。

・・・NQBC+/QCB=1(NMBC+NNCB)

(360。-AABC-NACB)

i

=*(180°+NA)

i

=90°+・乙4

/.Z0=18O°-(90°+1ZA)=90°一*A；

(3)延长3c至F,

VC0为△ABC的外角NNCB的角平分线，

JCE是AABC的外角ZACF的平分线，

/ACF=2/ECF,

丁族平分NA5C,

・•・/ABC=2/EBC,

♦：NECF=NEBC+NE,

：.2ZECF=2ZEBC+2NE,

即ZACF=ZABC+2ZE,

又ZACF=ZABC+ZA,

AZA=2ZE,即/后=方乙4；

,/ZEBQ=/EBCMCBQ

11

=1(ZABC+ZA+ZACB)=90°.

如果aBOE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况:

①NEBQ=2NE=90°,则/E=45°,NA=2NE=90°；

②NEBQ=2NQ=90°,则NQ=45°,ZE=45°,NA=2NE=90°；

③NQ=2NE,则90°-1ZA=ZA,解得/4=60°；

@ZE=2ZQ,Plij|zA=2(90°-|zA),解得NA=120°.

综上所述，乙4的度数是90°或60°或120°.

Q

图③

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义

等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键.

考点卡片

1.绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

（2）如果用字母a表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身

②当a是负有理数时，”的绝对值是它的相反数-公

③当〃是零时，a的绝对值是零.

即|a|={a（a>0）0（a=0）-a（a<0）

2.等式的性质

（1）等式的性质

性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；

性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.

（2）利用等式的性质解方程

利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化.

应用时要注意把握两关：

①怎样变形；

②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的.

3.一元一次方程的定义

（1）一元一次方程的定义

只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1,这样的方程叫一元一次方程.

通常形式是ax+8=0（a,b为常数,且aWO）.一元一次方程属于整式方程，即方程两边都

是整式.一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我

们将以+6=0（其中x是未知数，“、人是已知数，并且a#0）叫一元一次方程的标准形式.这

里a是未知数的系数，匕是常数，x的次数必须是1.

（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）

这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面.求方程中字母系

数的值一般采用把方程的解代入计算的方法.

4.一元一次方程的解

定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.

5.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针

对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.

（3）在解类似于+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+6）

x=c.使方程逐渐转化为or=b的最简形式体现化归思想.将以=匕系数化为1时，要准确

计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是江尤其a为分数时；二要准确判断符号，

a、匕同号x为正，〃、〃异号x为负.

6.二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点，当遇到

有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程

组，这种方法主要用在求方程中的字母系数.

7.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代

入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求