2020年高中数学选修2-3《2.4正态分布》测试卷及答案解析

第第页2020年高中数学选修2-3《2.4正态分布》测试卷一．选择题（共9小题）1．已知随机变量ξ的概率密度函数为，则＝（）A． B． C． D．【分析】由随机变量ξ的概率密度函数的意义知：概率密度函数图象与x轴所围曲边梯形的面积即为随机变量在某区间取值的概率，由此将问题转化为计算定积分问题，利用微积分基本定理计算定积分即可【解答】解：由随机变量ξ的概率密度函数的意义知：＝（2x）dx＝（x2）＝﹣＝故选：D．【点评】本题考查了连续性随机变量概率密度函数的意义，连续性随机变量在某区间取值的概率的计算方法，定积分的意义及计算方法2．已知随机变量x﹣y+1＝0服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤4）＝0.68，则P（ξ≥2）＝（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果．【解答】解：根据随机变量x﹣y+1＝0服从正态分布N（3，σ2），所以密度曲线关于直线x＝3对称，由于P（ξ≤4）＝0.68，所以P（ξ≥4）＝1﹣0.68＝0.32，所以P（ξ≤2）＝0.32，则P（2≤ξ≤4）＝1﹣0.32﹣0.32＝0.36，所以P（ξ≥2）＝0.36+0.32＝0.68．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3．在2020年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14【分析】已知P（80＜X≤86）＝0.36，根据正态曲线的对称性，P（X＞92）＝，计算即可．【解答】解：依题意，P（80＜X≤86）＝0.36，根据正态曲线的对称性知P（X＞92）＝＝（1﹣2×0.36）＝0.14．故选：D．【点评】本题考查了正态分布的性质，主要考查了正态分布的对称性，属于基础题．4．在某项测量中，测量结果ξ从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概为0.8，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由P（0＜ξ＜2）＝0.8，结合对称性求得P（0＜ξ＜1）．【解答】解：∵ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴μ＝1，又∵P（0＜ξ＜2）＝0.8，∴P（0＜ξ＜1）＝P（0＜ξ＜2）＝0.4，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5．已知随机变量ξ服从正态分N（2，σ2），若P（﹣1＜ξ＜4）＝0.85，则P（0＜ξ＜5）等于（）A．0.15． B．0.30 C．0.70 D．0.85【分析】由随机变量X服从正态分布N（2，σ2），得正态曲线的对称轴μ＝2，再由正态分布曲线的对称性结合已知得答案．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，∵P（﹣1＜ξ＜0）＝P（4＜ξ＜5），∴P（0＜ξ＜5）＝P（﹣1＜ξ＜4）＝0.85，故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．设随机变量X～N（μ，7），若P（X＜2）＝P（X＞4），则（）A．μ＝3，DX＝7 B． C． D．μ＝6，DX＝7【分析】利用正态分布列的性质即可得出．【解答】解：∵随机变量X～N（μ，7），若P（X＜2）＝P（X＞4），则μ＝3，DX＝7，故选：A．【点评】本题考查了正态分布列的性质，是基本知识的考查．7．随机变量X服从正态分布X﹣N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为（）A． B． C． D．【分析】根据正态分布的性质，2×P（X＞12）+P（8≤X≤10）＝2m+n＝1，结合基本不等式即可得到的最小值，【解答】解：依题意，根据正态分布的性质，2×P（X＞12）+2×P（8≤X≤10）＝2m+2n＝1，且m＞0，n＞0，所以＝（）（2m+2n）＝2（3++）≥6+4＝6+4，当且仅当＝，即n＝m时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查了正态分布的性质，基本不等式的应用，属于基础题．8．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X服从正态分布N（0.98，σ2），且P（X＜0.97）＝0.005，则P（0.97＜x＜0.99）＝（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99【分析】根据X服从正态分布N（0.98，σ2），可得P（0.97＜x＜0.99）＝1﹣2P（X＜0.97），即可得出．【解答】解：∵X服从正态分布N（0.98，σ2），且P（X＜0.97）＝0.005，∴P（0.97＜x＜0.99）＝1﹣2P（X＜0.97）＝1﹣2×0.005＝0.99，故选：D．【点评】本题考查了正态分布列的对称性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．若X﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ）＜X＜（μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ）＜X＜（μ+2σ）＝0.9545．设一批白炽灯的寿命（单位；小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186 B．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186 C．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545 D．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545【分析】由已知求得σ，可得P（980＜X＜1040）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ），则答案可求．【解答】解：∵σ2＝400，∴σ＝20，又μ＝1000，∴P（980＜X＜1040）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）＝＝0.8186．∴这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186．故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．二．填空题（共2小题）10．设随机变量ξ～N（1，1），P（ξ＞2）＝p，则P（0＜ξ＜1）的值是【分析】随机变量ξ～N（1，1），为正态分布，期望为1，由正态分布图形可知图形关于x＝1对称，故P（0＜ξ＜1）＝（1﹣P（ξ＞2））【解答】解：ξ～N（1，1），Eξ＝1，由正态分布图形可知图形关于x＝1对称，故P（0＜ξ＜1）＝（1﹣P（ξ＞2））＝﹣P故答案为：﹣P【点评】本题考查正态分布的概率问题，属基本题型的考查．解决正态分布的关键是抓好正态分布的图形特征．11．已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若X在（0，2）内取值的概率为0.3，则X在（4，+∞）内的概率为0.2．【分析】由随机变量X～N（2，σ2）知，X的均值为2，其图象关于x＝2对称，因为X在（0，2）内取值的概率为0.3，所以X在（2，4）内取值的概率为0.3，而且X在（﹣∞，0）和（4，+∞）内的概率相等，故可求X在（4，+∞）内的概率【解答】解：由随机变量X～N（2，σ2）知，X的均值为2，其图象关于x＝2对称，故X在（4，+∞）内的概率为P＝（1﹣0.3×2）＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查正态分布、由正态密度曲线的对称性求概率，属基本知识的考查．三．解答题（共1小题）12．设连续型随机变量X的密度函数为f（x）＝．（1）求常数a，使P（X＞a）＝P（X＜a）；（2）求常数b，使P（X＞b）＝0.05．【分析】利用连续型随机变量X的密度