2023-2024学年北京市35中高二数学第二学期期中测试卷附答案解析

-2024学年北京市35中高二数学第二学期期中测试卷试卷说明：试卷分值150，考试时间120分钟Ⅰ卷一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）1．函数在处的导数是（

）A． B． C． D．2．已知数列的前n项和，则（

）A．4 B．6 C．8 D．103．已知随机变量，则（

）A． B． C． D．4．甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（

）A．0.06 B．0.38 C．0.56 D．0.945．在曲线上一点处的切线平行于直线，则点的坐标可以是（

）A． B． C． D．6．若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（

）A．10 B．11 C．12 D．137．某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（

）A．

B．

C．

D．

8．在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（

）A． B． C． D．9．银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方式叫做复利．现在有某企业进行技术改造，方案如下：一次性贷款10万元投入生产，贷款期限为10年，银行贷款利息均以年息10%的复利计算，到期一次性归还本息；第一年便可获得利润1万元，以后每年比前一年增加40%（参考数据：，），则此方案可获得净利润为（

）万元A．16.7 B．25.9 C．33.8 D．43.910．如果函数满足：对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．在下列函数：①

②

③

④中是“保等比数列函数”的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4Ⅱ卷二、填空题（共5个小题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应的题号处.）11．掷两颗均匀骰子，已知一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是．12．已知随机变量，若，，则．13．数列中为的前n项和，若，则.14．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是．15．已知数列的第n项为最接近的整数．若数列的前m项和为10，则．三、解答题（共6个小题，共85分，请将详细解答过程写在答题卡相应的位置．）16．根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下：甲X012P0.10.80.1乙X012P0.40.20.4现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由．17．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲同学9天6天12天3天乙同学6天6天6天12天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率；(2)记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望.18．已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．(1)利用导数定义求函数的导数；(2)求直线、的方程．19．已知是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为.又______，且，是否存在大于1的正整数k，使得？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.20．2022年11月，因受疫情的影响，北京高中全都采用网络授课的方式进行在线教学．北京35中的某老师在高一任教高一1班和高一2班两个班级，其中1班共有学生28人，2班共有学生29人．为了研究学生的学习主动性是否会受到疫情的影响，该名老师统计了连续6天的交作业人数情况，数据如下表：班级/天1234561班（人数）2525202122212班（人数）272625242522(1)从两班所有人当中，随机抽取1人，求该生在第6天作业统计当中，没有交作业的概率；(2)在高一2班的前3天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续3天未交作业，其他人均只有一天未交作业．从高一2班前3天所有未交作业的人中，随机抽取3人，记只有一天未交作业的人数为X，求X的分布列和期望；(3)在这6次数据统计中，记高一1班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，记高一2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，请直接写出，，，的大小关系．21．已知数列满足，，，且．记集合．(1)若，求集合中元素的个数；(2)①求证：，．②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．1．A【分析】求出函数的导函数，从而得解.【详解】因为，所以，所以.故选：A2．D【分析】由数列中与的关系代入数值计算即可.【详解】由题意可得，故选：D.3．C【分析】根据二项分布的概率公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：C4．B【分析】根据题意按一个预报准确一个预报不准确分两类计算即可.【详解】解：由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是：，故选：B.5．B【分析】设，求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可求出的坐标，最后还需检验.【详解】设，由，可得，则，依题意可得，解得或，所以或，当时切线为，符合题意；当时切线为，符合题意.综上可得或.故选：B6．A【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解【详解】因为等差数列满足，，所以，，即等差数列的前10项为正数，从11项开始为负数，故当的前项和最大时，，故选：A7．B【分析】由导数的几何意义结合题意可判断.【详解】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为逐渐变大，结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，结合图象可知，故B正确，故选：B.8．D【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．【详解】设事件“第次抽到社会学题目”，事件“第次抽到艺术学题目”，所以，，所以．故选：D．9．D【分析】结合题意由等比数列的求和公式求出10年获得的利润，再减去银行获得的复利可得结果.【详解】由题意可得10年获得的利润为万元，到期时银行的本息和为万元，所以净利润为.故选：D.10．B【分析】根据等比中项的性质，依次验证各个选项是否满足，则可得结果.【详解】由等比数列性质知，且，对于①，，，所以与不一定相等，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，故③正确；对于④，，故④错误；故正确的有②③.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解“保等比数列函数”的定义，利用等比中项的性质判断.11．##【分析】根据题意求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，同时抛掷两枚均匀的骰子，已知第一枚掷出的点数为6，则基本事件的总数为个，分别为，，，，，；其中两枚骰子掷出点数之和不小于10包含的基本事件为，，；共有个，所以两枚骰子掷出点数之和不小于10的概率为.故答案为：12．【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算可得.【详解】因为，所以，，即，所以.故答案为：13．6【详解】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得．考点：等比数列的概念及等比数列求和．14．【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．30【分析】由题意可得数列中，有2个1，4个2，,6个3，进而得到在数列中，，从而得到是首项为2，公差为2的等差数列的前5项和，最后用基本量法求和即可.【详解】因为数列的第n项为最接近的整数，所以，所以在数列中，有2个1，4个2，,6个3，所以在数列中，则，又前m项和为10，所以，所以是首项为2，公差为2的等差数列的前5项和，则，故答案为：30.【点睛】关键点点睛：本题关键是根据“数列的第n项为最接近的整数”发现规律为数列中，有2个1，4个2，,6个3，.16．甲【分析】由期望和方差公式分别求出甲乙运动员的期望和方差，再做比较即可.【详解】甲的期望，方差；乙的期望，方差；因为甲、乙的期望相等，而方差甲小于乙，所以甲成绩比较稳定，所以派甲运动员参加比较好.17．(1)；(2)分布列见解析；【分析】（1）利用古典概率公式求解即可；（2）由题意可得，的可能取值为，再利用二项分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，再用期望公式求出期望即可；【详解】（1）设事件表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”，因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐有天，用频率估计概率，所以，；（2）由题意可知，，的可能取值为，则；；；；，所以的分布列为：01234所以.18．(1)(2)：；：【分析】（1）结合导数的定义及极限的运算性质计算可得；（2）结合（1）求出直线的斜率，即可求出直线的方程，设的切点为，利用导数的几何意义及两直线垂直斜率之积为，求出，从而得到切点坐标，再由点斜式求出切线方程.【详解】（1）因为，所以；（2）点满足曲线，即为直线的切点，直线的斜率为，故直线的方程为，即；又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则，因为，所以，解得，所以，即切点为，切线的斜率为，故的方程为，即．19．存在，【分析】若选①，结合以及等差数列前n项和公式求出，再由即可求出k的值；若选②，同理可求出k的值.【详解】若选①，则由题，又，所以，，所以，令，即，解得或，故存在大于1的正整数，使得.若选②，则由题，又，所以，，所以，令，即，解得或，故存在大于1的正整数，使得.20．(1)(2)分布列见解析，期望为(3)【分析】（1）求出两个班级这6天应交作业的总人次和未交作业的人次，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意，得出随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；（3）根据方差的性质和数据的波动性，即可得到结论.【详解】（1）解：两个班级这6天应交作业的总人次为，未交作业的人次为，所以从两个班级所有人中，随机抽取1人，其未交作业的概率为.（2）解：根据题意知，2班前三天由2人连续三天未交作业，3人只有一天未交作业，所以随机变量的可能取值为，又5人中3人有种抽法，所以，所以的分布列为：123所以，期望为.（3）解：根据数据方差的性质，可得：1班交作业的人数数据的方差为，没交作业的人数数据的方差为，可得；2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，可得，根据表格中的数据，可得1班数据的波动性更大一些，所以.21．(1)7(2)证明见解析(3)7；6【分析】（1）利用，，求出集合所有元素，从而得到答案；（2）①根据递推关系结合数学归纳法，即可证明；②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，由于，可归纳证明对任意，是3的倍数；（3）分为3的倍数和不是3的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值.【详解】（1）若，由于，，所以，，，，，，故集合的所有元素为：，，10，2，4，8，16，所以集合中元素的个数为7个；（2）①因为数列满足，，，且，所以当时，，满足条件，假设时，成立，当时，由于，得，因为，当，，则，成立，当时，，所以，则也成立，因此当时，也成立，故，；②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，由于，如果，则集合中所有元素都是3的倍数；如果，因为或，所以是3的倍数，则是3的倍数；类似可得，都是3的倍数；同理都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数；综上，若集合中存在一个元素是3的倍数，则中所有元素都是3的倍数；（3）由(2)证明可知，，，因为为正整数，,所以为的倍数，从而当时，为2的倍数，①如果为的倍数，由(2)知，对，为3的倍数，当时，则，，，则的元素个数为3，当时，则，，则的元素个数为2，当时，则，，则的元素个数为2，当时，则，，则的元素个数为2，当时，则，，，则的元素个数为3，当时，则，则的元素个数为1当为的倍数，集合的元素个数不超过3个，②如果不的