高考理科数学模拟考试试题(八)

高考理科数学模拟试题精编（八）

（考试用时：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上

对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写

在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答

案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答

无效。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡

一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若集合M={x|logMVl},集合N={X|X2—I〈O},则MAN=

（）

A.{x|l〈xV2}B.{x|-l^x<2}

C.{x|-l<x^l}D.{x|0VxWl}

2.在某次测量中得到的A样本数据如下：

82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都

加2后所得数据,则A,3两样本的下列数字特征对应相同的是（）

A.众数B.平均数

C.中位数D.标准差

3.已知实数a,b满足（a+i）（l—i）=3+历（i为虚数单位），记z

z

-+国z的虚部为Im⑵，Z是z的共甄复数，则丽=()

A.-2-iB.-l+2i

C.2+iD.-l-2i

4.已知［x］表示不超过x的最大整数，比如：［0.4］=0,［—0.6］

=一1.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4,则输出z的

值为()

A.1.2B.0.6C.0.4D.-0.4

5.已知函数/(x)=Asin(ft)x+^)(A>0,co>0,101V不)的最小值

为一2,最小正周期为兀，1Ao)=1,则/(x)在区间［0,兀］上的单调递减

区间为()

八九］「兀2］「21匚元］E

A.0,%B.W，铲C.铲，nD.0,%和

2'

§元,n

2

x

6.已知P(xo,yo)是双曲线C:万一y2=l上的一点，Fi.B分别

是双曲线C的左、右焦点.若师1•亦220,则X0的取值范围是()

A/,铜

C.J智梓+8)

D.J一噌U*+8)

x—y^O,

7.已知不等式组《xW4,的解集为D,有下面四个命题:

j》0

pi：V(x,y)^D,2y^x的概率为:；pnV(x,y)^D,x+2j的最大

值为12；〃3：3(xo,jo)£D,2xo—jo0；〃4：V(x,y)^D,x2+j2+

2x+4y+5的最大值为64.其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

8.已知｛x)=sin2工十号,g(x)=M>:)+r(x),在区间一/,。上

任取一个实数x,则g(x)的值不小于#的概率为()

1

,8

9.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，

这四个点不共面的一个图是()

10.已知在△ABC中，角A,B,。所对的边分别是a,b,c,卡

=燕，A=^5C边上的中线长为4,则△A3。的面积8为()

JOvJ

A挈B亨

24

DT

1,x>0,

11.已知符号函数sgn(x)=<0,x=0,那么y=sgn(x3—3%2

、-1,x<0,

+x+l)的大致图象是()

12.设W，入分别为椭圆G£+（=1的左、右焦点，尸为椭

圆C上位于第一象限内的一点，NP尸1尸2的平分线与NPF2尸1的平分

线相交于点I,直线P/与x轴相交于点Q,则附+隔的值为（）

厂35

A.y/2B.2C.TD.T

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填

在题中横线上）

13.已知次=（一1,审），|防|=3,ZAOB=^,庆=；为+"防，

则而•元=.

14.已知sin2a_2=2cos2a,则sin2a+sin2a—.

15.从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5

个，…，10个健同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发

出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作答）.

16.过正方体ABCD-AiBxCiDi棱DDx的中点与直线B,D所成角

为60。，且与平面ACG4所成角为50。的直线条数为.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23

题为选考题，考生根据要求作答.）

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）等差数列｛跖｝的前n项和为且满足

99

。1+。7=-9,§9=一爹.

（D求数列｛斯｝的通项公式；

13

（2）设瓦=工，数列｛瓦｝的前〃项和为T,”求证：

18.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一

定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下：

1.抽奖方案有以下两种：方案从装有2个红球、3个白球（仅

颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金30元，

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b,从装有3

个红球、2个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红

球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙

袋中.

2.抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案。

抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品

的金额为260元,则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一

次或方案a,b各抽奖一次).已知顾客A在该商场购买商品的金额为

350元.

(1)若顾客A只选择根据方案«进行抽奖，求其所获奖金的期望

值；

(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？

19.(本小题满分12分)如图，在几何体A3CDE尸中，四

边形A3。是菱形，ABCD,DF//BE,KDF=

2BE=2,EF=3.

⑴证明：平面AC以L平面

(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成

角

的正切值.

20.(本小题满分12分)已知抛物线G：V=4x和。2：*2=2QS

>0)的焦点分别为尸1,尸2,Ci,。2交于O,A两点(。为坐标原点),

且尸1/2_LOA.

(1)求抛物线Ci的方程；

(2)过点O的直线交Ci的下半部分于点M,交Ci的左半部分于

点N,点尸的坐标为(-1,-1),求的面积的最小值.

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=；+(l—a)Inx+ax,g(x)

=^—(a+l)Inx+j^+ax—Z(aGR,f£R).

(1)讨论人x)的单调性；

(2)记%(x)=/(x)—g(x),若函数力(x)在:，e上有两个零点，求实

数，的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如

果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程是

IX—2£

〈仄(/是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建

产冬+4啦

立极坐标系，曲线C的极坐标方程为〃=2cos(〃+：).

(1)判断直线/与曲线C的位置关系；

(2)设M(x,y)为曲线。上任意一点，求x+y的取值范围.

23.(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲

已知函数Ax)=|2x+a|+2a,“WR.

(1)若对任意的x£R,f(x)都满足Ax)=/(3—x),求f(x)+4V0的

解集；

(2)若存在x£R,使得人x)W|2x+l|+a成立，求实数”的取值

范围.

高考理科数学模拟试题精编（八）

班级：姓名：得分:

题号123456789101112

答案

请在答题区域内答题

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题

中横线上）

13.14.15.16.

=7解答题（共70分.解密应写出文字说明、证明过程或演蔻骤.5

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

19.（本小题满分12分）

20.（本小题满分12分）

21.（本小题满分12分）

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.作答时请写清题号.

高考理科数学模拟试题精编(八)

1.解析:选D.由题意得,知=(0,2),'=[—1,1],故知0%=(0,1],

选D.

2.解析：选D.由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A

样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.

3.解析：选A.由(a+i)(l—i)=3+Ai,得a+l+(l—a)i=3+bi,

G+1=3,a=2,z2+i

则I,解得]i，所以z=2—i,则斤石=W=一2—

l—a=b,[b=-11m(z)1

i.

4.解析：选D.输入x=2.4,则y=2.4,x=[2.4]-l=l>0,.,.x

=2=1.2;y=1.2,x=[1.2]—1=0,.*.x=2=0.6;y=0.6,x=[0.6]

—1=—1<0,则输出z的值为：z=x+y=—1+0.6=—0.4,故选

D.

5.解析：选B.由函数4x)的最小值为-2,4>0,得A=2.Y«r)

27r

的最小正周期T=TT,(o>0,，/二7二？.又八0)=1,••・2sin9=l,

Inn

即sin°=5.又|例V],：.甲=《

=2sin|2x+5J,由4+2EW2x+，<¥+2A7r("£Z),得人x)

\0/乙o/

的单调递减区间为今+E,看2+E.又x£[0,it],••如)在不7T铲2上

是减函数，故选B.

6.解析：选C.由双曲线方程可求出FK一小,0),尸2(小，0),

・,•防1=(一5-Xo,-Jo),存2=(5—X0,—yo),•••苏1•府2=(一由

—xo,—yo)(d§—xo,—yo)2O,即％20—3+了2()20.丁点尸(％0,yo)在双

曲线上，，等一X2()=l,即处)=拶—1,，必。—3+等一120,；・

“°》^^或“°W—斗故选C.

7.解析：选C.作出不等式组

x—y^0,

«xW4,所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

j20

[x-v=0,

对于pi,当取图中△BOC内(包括边界)的点时,2yWx,由，

[x=4

fx—2j=0,i

可得4(4,4),由“可得C(4,2),故SM"=3X4><4=8,S

x=4z

△。吐=5义4X2=4,则所求概率为=«=^,故pi正确；对于P2,

当且仅当目标函数z=x+2y经过点4(4,4)时取得最大值，则Zmax=4

+2X4=12,故p2正确；对于P3,当xo=O,yo=O时，2x()—y()=0,

故〃3正确；对于p4,X2+y2+2x+4y+5=(x+l)2+(y+2)2表示的几

何意义是平面区域内的动点(x,y)到定点(一1,一2)的距离的平方，

因为(X+1)2+(J+2)24(4+1)2+(4+2)2=61,所以X2+y2+2x+4y+

5的最大值为61,又61V64,故p4错误，选C.

8.解析：选C.由题意，g(x)=2sin(2x+W)+2cos(2x+1)=

2啦sin(2x+萼当0时，2x+普£—??,骞又当

2x+普£全雪，即%£0时，g(x)2#,则所求概率为

9.解析：选D.在A图中分别连接PS,QR,易证PS〃QR,：.

P,。，R,S共面；在C图中分别连接PQ,RS,易证尸。〃KS,:.

P,Q,R,S共面；在B图中过尸，Q,R,S可作一正六边形，故四

点共面；D图中PS与0A为异面直线，四点不共面，故选D.

10.解析：选B.由acosB=》cosA及正弦定理得

sinAcosB=sinBcosA,所以sin(A—b)=0,故c=3

a,由余弦定理得16=C2+g)2—2c,/cos年,得

8s8^/21C_1.R16s

a-79c—7,S-2。。§】口B一口•

11.解析：选D.令人X)=X3—3*2+x+l,则八*)=(%—1)(%—1-

也)(x—1+6).

令人X)=0,则Xl=l—也，X2=l,%3=1+也，令人幻>0,则1

一qiVxVl或*>1+也，令A%)V0,则xVl一啦或lVxVl+也.

由符号函数sgn(x)的定义可知应选D.

12.解析：选B.由题意知，a=2,c=14—3=1.由角平分线的

性质得，解=鬻=盟I利用合比定理及椭圆的定义得，制=

I死尸|+吗尸|=加=所以欧1=回0=1则股.回21=间+一

旧20+匹。厂2c-乙阳勺+厂吗P厂2,即附|十眄P|一\PI\

+四=1+的+殴=1+1+[=2

十同尸|，T|P/|T|biP|'十2T2

13.解析：•・•以=(一1,5)，|次|="(-1)2+(5)2=2.・••

QX32=^X2X3X-+-X32=2.

答案：2

14.解析：由sin2a_2=2cos2a得sin2a=2+2cos2a,即2sin

acosa=4cos2<z,即cosa=0或tana=2.当cosa=0时，sima+sin2a

sin2a+2sinacosa

1;当tan«=2时,siiua+sin2a=或毋侬2a

tan2a+2tana8_..8

t।]5•之余-匕,sin2aIsin1

答案：1或亳

15.解析:依题意共有8类不同的和声，当有以女=3,4,5,6,7,8,9,10）

个键同时按下时，有CHO种不同的和声，则和声总数为C310+C410+

C5io+-+Cioio=2io-Coio-Cno-C2io=l024-1-10-45=968.

答案：968

16.解析：取。。1的中点P,AiG的中点为Oi,AC的中

点为。2,002的中点为O,连接OP和POi,则OPJ•平面

ACCiAlfPO\//BvD,在平面ACC1A1内，以点。为圆心，半

立

2、历

径为高£而=三亲而画圆，则点尸与此圆上的点的连线满足:

过。。1的中点P与平面ACCiAi所成的角为50。.所以满足与POi所成

角为60。的直线PQ有且只有2条.

答案：2

17.解：（1）设数列｛“〃｝的公差为d,则由已知条件可得:

2ai+6d=—9f3

ai=—^、

L99,解得129(4分)

[9/+36.=—万U=-i.

，I1

于是可求得an=一'^一.(6分)

，o..H(W+2)

(2)证明：由(1)知，S„=~9\

故从尸一次用=一翡一S,(8分)

故T„=—1

[fl+瑞+…+4一[|+鸿+…

23刃口45n+2JJ

、

=一1奏(3_市1_r11),(10分)

31133

又因为广篦+「/Z+ZVR所以Tn>-4(12分)

18.解：(1)解法一：由题意知顾客A只选择根据方案a进行抽

奖，此时可抽奖3次，且选择方案。抽奖1次，获得奖金30元的概

率为穿=0.1.(1分)

V25

设顾客A所获奖金为随机变量X,则X的所有可能取值为

0,30,60,90,则P(X=0)=0.93=0.729,P(X=30)=C13X0.1X0.92=

0.243,P(X=60)=C23XO.I2X0.9=0.027,P(X=90)=0.13=0.001,

.・.E(X)=0X0.729+30X0.243+60X0.027+90X0.001=9.(4分)

解法二：由题意知顾客A只选择根据方案。进行抽奖，此时可

C”

抽奖3次，且选择方案a抽奖1次，获得奖金30元的概率为是=0.1.(1

C25

分)

设只选择根据方案«抽奖中奖的次数为随机变量？，则？〜

3(3,0.1),£(0=3X0.1=03,设此时顾客A所获奖金为随机变量X,

则X=30?,.・・£(X)=30£©=30X0.3=9.(4分)

(2)由题意得选择根据方案力抽奖1次，获得奖金15元的概率为

恁=03(5分)

设顾客A只选择根据方案》抽奖，此时可抽奖2次，所获奖金

为随机变量Y,则y的所有可能取值为0,15,30,则P(y=0)=0.72=

0.49,P(y=15)=C12X0.3X0.7=0.42,尸(¥=30)=0.32=0.09,

E(y)=0X0.49+15X0.42+30X0.09=9.(7分)

设顾客A选择根据方案a抽奖2次、方案b抽奖1次时所获奖

金为随机变量Z,则Z的所有可能取值为0,15,30,45,60,75,(8分)

贝"P(Z=0)=0.92X0.7=0.567,P(Z=15)=0.92X0.3=0.243,P(Z

=30)=CI2X0.1X0.9X0.7=0.126,P(Z=45)=C12X0.1X0.9X0.3=

0.054,P(Z=60)=O.I2X0.7=0.007,P(Z=75)=0.12X0.3=0.003,

:.E(Z)=0X0.567+15X0.243+30X0.126+45X0.054+

60X0.007+75X0.003=10.5.(11分)

：.E(Z)>E(X)=E(Y),顾客A应选择根据方案a抽奖2次、方案

b抽奖1次，可使所获奖金的期望值最大.(12分)

19.解：(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形，：.ACA-BD.'：BE1.

平面ABC。，：.BE±AC,，：BDCBE=B,(2分)

JACJ■平面ACU平面AC尸，,平面AC尸_L入j

平面BEFD.(4分)/i

(2)设AC与3。的交点为O,由(1)得AC_LB。，分别二一汾。

以。4,03为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABC。

的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-到z,(5分)

TbEJ■平面ABC。，：.BE±.BD,*：DF//BE,：,DF±BD,

：,BD2=EF2-(DF-BE)2=8f工BD=26

设OA=a(a>0),贝4A(a,O,O),C(-a,O,O),E(0,也，1),F(0,

一隹2),・•.彷=(0,-2^2,1),A^=(-«,巾,1),C^=(a,/，

1).(7分)

/w£^=0

设m=（xi,yi,zD是平面AEF的法向量，贝।卜,即

—2y/2yi+zi=0

令Zi=2yfi,

-axi+也yi+zi=O

,是平面AEF的一个法向量，（8分）

〃•昉=0

设〃=S，y2,Z2）,是平面CEb的法向量，则J,即

、〃庠=0

—2g/2+Z2=0吟,1,2词是平面CE尸

，令Z2=2啦，=

+gy2+N2=0

的一个法向量，•・•二面角A-EF-C是直二面角，.・.%〃=一一+9=0,

。2

；・a=®10分）

TBEJ■平面ABCD,：.N3AE是直线4E与平面ABCD所成的

角，VAB=\IOA2+OB2=2,

.BE1

BAE==

tunNAABo^2r.

故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为1.（12分）

欧・时2=(-1,

20.解：⑴解法一：由已知得FI（1,0）,F2

J2=4xx=0x=y]16p2

联立解得，v=0或,,即0(0,0),

j2=2〃y

A(为16P2,^/32p),，弧=图16P2,跖石).(3分)

VF1F2±OA,：,I^F2^=Q,即一外而+g寺河=0,解得p

=2,・•・抛物线。2的方程为X2=4J.(5分)

y2i=4xi/

解法二：设A(xi,ji)(xi>0),贝心，①，由题意知

X2i=2pyi

b1(1,0),40,芍，・•.林2=(-1,"(1分)

VF1F2±OA,・•・百方2•次=0,即一X1+舄1=0,

解得pyi=2xi,(3分)

将其代入①式，解得xi=4,ji=4,从而p=2,

・•.抛物线C2的方程为x2=4y.(5分)

⑵设过点O的直线的方程为y=入供V0),

y=kx(44、[y—kx

解法一：联立t=4x，解得女，力联立k=4y，解得

N(4M442),(7分)

点P(—1,一1)在直线y=x上，设点M到直线y=x的距离为力,

点N到直线y=x的距离为d2,

则5".=t|0尸卜(a+4)

=2^A/2X

rA_4\

k?k|4fc-4A：2|

l啦十巾）

=2低一制+而一回

=2（_：_4+++k）2

*2%H有+2\/|词=8,

当且仅当上=—1,即过原点的直线为y=-x时,

4PMN的面积取得最小值8.（12分）

解法二:联立忆X,解得碌&

kx

联立，,解得M94A2）,（7分）

[X2=4y

从而|MN|=、1+A2去-4k=yjl+k2俵-4k

11

点尸（一1,一1）到直线MN的距离d=Ji+；一，进而

S"=；•点野"戏一向

2（1—4）（1—43）2Q一无）2（1+4+依）

ki

ki、

=2长+工一2a+计1〉

令，2）,则

Swv=2（f—2）（什1）=21一：｝号，（10分）

当t=~2,即k=-l,即过原点的直线为y=~x时，4PMN

的面积取得最小值8.（12分）

81—d

21.解：（1）函数Ax）的定义域为（0,（x）=--+——+

X2X

4X2+Q-a）x~~1=0（空为

X2X2

X—1

当a=o时，r（幻==，令r（x）＞o,则x＞i,令r（x）vo,

42

则OVxVl,所以函数Ax）在区间（0,1）上单调递减，在区间（1,+°°）

上单调递增.

当aWO时，f（x）=-------一（2分）

①当1＞0时,%+十＞0,令，（x）＞0,则x＞l,令，（x）＜0,

则OVxVl,所以函数人x）在区间（0,1）上单调递减，在区间（1,+~）

上单调递增；（3分）

②当。=-1时，1=一）,f（x）=（:1）2.0,所以函数人用

U*V2

在定义域（0,+8）上单调递减；（4分）

③当一IVaVO时，IV—［令，（x）＞0,则IVxV一十，令，（x）

VO,则OVxVl或%＞一1,所以函数人幻在区间（0,1）和（一1,+8）上

单调递减，在区间（1,一0上单调递增；3分）

④当“V-1时，1＞一：,令，（幻＞0,则一!VxVl,令，（x）

＜0,则OVxV—：或x＞l,所以函数人