江苏省扬州市邗江区2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市邗江区2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）.1.已知，，则等于（）A.（0，34，10） B.（-3，19，7） C.44 D.23〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴.故选：C.2.的展开式中的系数为（）．A.32 B.12 C. D.〖答案〗C〖解析〗由二项展开式通项公式知，，所以要得到项，则，，故选：C．3.已知向量共面，则实数的值是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因为共面，所以存在，使得，整理得，解得.故选：C.4.如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D作坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设与所成的角的大小为，则.故选：C5.用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）A.36 B.48 C.60 D.72〖答案〗C〖解析〗当个位数为0时，有个，当个位数为2或4时，有个，所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，故选：C.6.如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得.故选：D.7.如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取AC的中点O，取中点D，连接OD，则平面ABC，连接OB，因为是等边三角形，所以，因为平面ABC，所以OB，AC，OD两两垂直，所以以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，，故，，点到直线的距离为.故选：D8.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A72 B.120 C.144 D.168〖答案〗B〖解析〗分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所以N=+=120.种．选B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则正整数x的值是1〖答案〗ABC〖解析〗选项A，因为，故A正确；选项B，，故B正确；选项C，由，，得，故C正确；选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.故选：ABC.10.在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（）A.共有18种安排方法B.若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法C.若学校需要两名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在学校，则有12安排方法〖答案〗BD〖解析〗所有安排方法有，A错误；若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，B正确；若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，C错误；若甲被安排在学校，则有种安排方法，D正确.故选：BD.11.已知，则（）A.展开式中所有项的系数和为 B.展开式中二项系数最大项为第1012项C. D.〖答案〗AC〖解析〗选项A，令，则展开式的各项系数和为，A选项正确；选项B，因为，所以展开式中二项式系数最大项为第1012项与第1013项，B选项错误；选项C，令，则，令，则，所以，C选项正确；选项D，已知关系式两边同时取导，则，令，则，D选项错误；故选：AC.12.如图，已知正方体的棱长为2，P为空间中一点，，则（）A.当，时，异面直线BP与所成角的余弦值为B.当，时，三棱锥的体积为C.当，，时，有且仅有一个点P，使得平面D.当，时，异面直线BP和所成角的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗对于，连接，.由下图可知，P为的中点，取的中点O.连接PO，BO，则，所以∠BPO或其补角即异面直线BP与所成的角，易得，，，所以，故选项正确；对于，由条件可知（），P点的轨速为线段，因为，所以P到平面的距离为，且的面积为，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；对于，如下图，由条件可知（），所以点P在线段EF上（E，F分别为，的中点）.因为平面，所以平面即平面，点P则平面与直线EF的交点，此交点在FE的延长线上，故选项错误；对于，由条件可知（），可知点P的轨速为线段，如下图，建立空间直角坐标系，得，，设，，则，所以，令，当，即时，，此时直线BP和所成的角是；当，即时，，令，，所以，即时，取得最大值，直线BP和所成角的最小值为，故选项正确.故选：.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则n=_____________.〖答案〗〖解析〗因为，即，解得或，因为且，所以.故〖答案〗为：14.若的展开式中第6项的二项式系数最大，写出一个符合条件的n的值是____．（写出一个满足条件的n的值即可）〖答案〗9（〖答案〗不唯一，9，10，11均可）〖解析〗当为偶数时，若，第六项二次项系数最大；当为奇数时，若，第五、六项二次项系数最大，合乎题意；若，第六、七项二次项系数最大，合乎题意；故的值为：9，10，11，故〖答案〗为：9（〖答案〗不唯一，9，10，11均可）15.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__．〖答案〗〖解析〗由题意可得：，所以向量在向量上的投影向量为．故〖答案〗为：.16.如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.〖答案〗〖解析〗正三棱锥中，设,且侧棱长相等，因为，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值为.故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知．（1）若，求的值．（2）若，且，求的值．解：（1），．，，解得（2）由，得，∴，由，有，即，，解得19.有男运动员4名、女运动员3名，其中男、女队长各1人．现7名运动员排成一排．（1）如果女运动员全排在一起，有多少种不同排法？（2）如果女运动员都不相邻，有多少种排法？（3）如果女运动员不站两端，有多少种排法？解：（1）将3名女运动员捆绑起来有种方法，与4名男运动员排序有种方法，根据乘法分步原理得共有种不同的排法．（2）先将4名男运动员排序有种方法，再将3名女运动员插入4名男运动员形成的5个空中有种方法，根据乘法分步原理得共有种不同的排法．（3）如果女运动员不站两端，则两端安排男运动员有种方法，其余5名运动员在中间任意排序有种方法，根据乘法分步原理得共有种不同的排法．20.如图所示，在四棱锥中，底面，，∥，，.点E为棱的中点，求证：（1）；（2）∥平面；解：（1）因为平面，平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，所以，所以，所以，（2）平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以∥平面；21.已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.解：（1）展开式通项为，∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，，即.（2）令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.（3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为.22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中点.（1）求二面角A—EB1—A1的余弦值；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为，所以.所