新课标高中数学平面向量

高中数学总复习教学案

第3单元平面向量.

本章知识结构

本章的市点难点聚焦

(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，向量共线的条件极其坐标表示，向量

的数量积运算的定义、运算律及其坐标表示，向量垂直的条件极其坐标表示._

(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，J知两边和其中一边的对

角解斜三角形等；_

本章学习中应当着重注意的问题

对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用一

本章高考分析及预测

在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用.平面向量的考查要求:

第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的

和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的儿何意义，并能正确地进行运算；第二，

考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等

知识结合，考察综合运用知识能力.一

在近几年的高考中，每年都有两道题目.其中小题以填空题或选择题形式出现，考查

了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题.大题则以向量形式为条件,

综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.

§3.1向量的概念及线性运算一

新课标要求一

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；_

2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或

出与某一己知向量相等的向量；一

3.会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量，会作两

个向量的差向量_

5.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；_

6.了解相反向量的概念；_

8.掌握向量的数乘定义，理解向量的数乘的几何意义；_

9.掌握向量的数乘的运算律；_

10.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.一

重点难点聚焦.

重点：1.向量概念、相等向量概念、向量几何表示；一

2.用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量与差向量;

3.掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件.一

难点：1.向量概念的理解；_

2.向量的加法和减法的定义的理解：_

3.对向量共线的充要条件的理解._

高考分析及预策.

本节主要考点：一

向量的加法与减法；_

向量的数乘的定义；_

向量的数乘的运算律；一

向量共线的条件；_

有关向量平行及三点共线问题.一

高考预策：一

注意数形结合思想的应用

注意向量共线条件的应用一

题组设计一

再现型题组一

1.已知48co的对角线AC和8。相交于。，且砺=。，砺=B,用向量2,占分

别表示向量。之而，沆，元.

2.对任意向量,下列命题正确的是（）.

A.若扇B满足间>网，月.。与3同向，则万〉B

B.归+坂卜同+忖

■>-张同-W

若原3都是单位向量，则）=3

3.设1是非零向量，又是非零实数，则下列结论正确的是（）.

A.行与一42的方向相反B.|-2a|>|a|

C.M与万彳的方向相同D.\-Aa\=\A\a

巩固型题组_

4.在A4BC中，AB=c,AC=b,若点。满足丽=2丽，贝|」而=（）..

2-152-2-1I-2

A.-b+-cB.-c--bC.-b--cD.-b+-c

33333333

5.已知而=1+53,瑟=—2）+83,而=3（2—B）,则（）_

A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线一

C.B,C,O三点共线D.A,C,。三点共线.

6.已知向量2,b是两个非两向量，在下列的四个条件中，能使不，b共线的条件是（）

①2万-33=4?且2+2^=—3。②存在相异实数入〃使

Aa+/2b-0

③4+）石=。（其中实数x,y满足x+y=0）④已知梯形ABCD,其中

AB=a,CD=b

A.①②B.①③C.②④D.③④.

提高型题组_

7.如图对于平行四边形A8CO,点M是AB的中点，点N在8。上，且

3

求证：M,N,C三点共线.一

8.若向量3,OB,OC

0C=AOA+f.iOB,反之，也成立.

反馈型题组.

9.平面向量方、5共线的充要条件是（）_

A.a,方方向相同B.a,5两向量中至少有一个为零向量一

C.BAeR,b=AaD.存在不全为零的实数z,乙，\a+^b=6

10.在AABC中，已知。是AB边上一点，若丽=2而，CD=-CA+XCB,则丸等

3

于（）_

2112

A.-B.-C.--D.一一

3333

11.化简以下各式结果为零向量的个数是（）.

①AB+JC+CA；②~AB-~AC+BD-CD；③OA-OD+~\D；④

NQ+QP+MN-MP

A.1B.2C.3D.4

12.设同=6,B卜20,求B+.的大值和最小值.一

13.。是平面上一定点，A,8,C是平面上不共线三点，动点P满足一

OP=OA+A（AB+AC）,/le[0,+oo）,则点尸的轨迹一定通过八43。的（）_

A.外心B.垂心C.内心D.重心一

14.已知A48c中，点。在6c上，且丽=2而，丽=+,则

r+s=.

§3.2向量的正交分解及坐标表示_

新课标要求.

1了解平面向量基本定理；一

2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解

决实际问题的重要思想方法；_

3.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；_

4.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；_

5.掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；一

重点难点聚焦一

重点：1.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示；_

2.平面向量的坐标运算；

3.段的定比分点和中点坐标公式的应用

难点：1.平面向量基本定理的理解；

2.向量的坐标表示的理解及运算的准确性；

高考分析及预策

本节考点：

1.平面向量基本定理；

2.向量的正交分解；

3.平面向量的坐标表示极坐标运算；

4.两向量共线的条件的坐标表示；

5.利用共线求定比分点坐标.

题组设计

再现型题组

1.下列说法正确的是（）

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

2.已知2=(1,0),B=,c=(-1,0),求4和〃，使O=+

3.已知点40』)，B(l,0),C(l,2),0(2,1),是判断向量而和丽的位置关系.

巩固型题组

4.在AA8C中，已知4(2,3),8(6,—4),6(4,-1)是中线4。上一点，且不卜2|丽|,则

点C的坐标为()

A.(—4,2)B.(-4,-2)C.(4,一2)D.(4,2)

5.a=(1,2),B=(x,l),u=a+2b,v=2a-b,且/v,则x的值为()

A.-B.----C.-D.----

2266

6.已知5=(1,2),B=(—3,2),当人为何值时，女之+3与平行？平行时，它们是同

向还是反向？

提高型题组

9.若向量1=(x+3,——3x—4)与而相等，已知4(1,2),802),则x的值为一.

10.若2=(6,-8),则与5平行的单位向量是.

11.已知向量±5=(女,12),丽=(4,5),无=(—左,10),且A,8,。三点共线，则:=—.

12.已知点。(0,0),4(1,2),8(4,5)及丽=丽+£而

求：⑴f为何值时，尸在第二象限？

(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的f值；若不能，请说明理由.

13.已知向量而=(3,4),而=(—1,3),点A(—2,1),若点尸(3,y)满足丽=丸所,求y与

4的值.

14.已知A(1,O),直线/:y=2x—6,点R是直线/上的一点，若两=2而，求点尸的

轨迹方程.

§3.3数量积及其应用

新课标要求

1掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4掌握向量垂直的条件

重:点难点聚焦

重点：1.平面向量的数量积定义；

2.平面向量数量积及运算规律；

3.平面向量数量积的坐标表示.

难点：1.平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用;

2.平面向量数量积的坐标表示的综合运用

高考分析及预策

本节的主要考点：

1.两个向量的夹角；

2.平面向量的数量积的性质;

3.向量数量积的运算律；

4.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件;

5.向量的长度、距离和夹角公式.

题组设计

再现型题组

1.设心B是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题:

①(展—化以)石=0②同-同＜B-可

22

③方一01)坂不与E垂直@(3a+2&)•(35-2&)=9p|-41^|

其中正确的是()

A.①②B.②③C,③④D.②④

2.1=(1,0),3=(1,1),4为何值时,1+4$与2垂直？

3.已知同=4,同=3,(2不一33)<2万+3)=61

⑴求不与B的夹角6；

(2)求向+司;

⑶若丽=M,AC^b,求A48C的面积.

巩固型题组

4.若向量1与B的夹角为60°,W=4,5+2B)-®—3B)=—72,则向量5的模为()

A.2B.4C.6D.12

5.已知A(2,5),B(5,2),C(10,7),试判断AABC的形状,并给出证明.

6.已知。，"c为AABC的三个内角A,B,C的对边，向量玩=(6,-1),k=(cosA,sinA),

若比_Ln,且acosB+bcosA=csinC,则角B=.

提高型题组

7.设两个向量不，&满足：同=2,同=1.4,a的夹角为60°,若向量2同+7%与向量

不+向的夹角为钝角，求实数，的范围.

55-尤X71

8.已知向量万=(cos—x,sin—x),/?=(cos—,-sin—),且xw0,—

22222

⑴求展B及B+；

⑵若/(x)=展B-2/1B+.的最小值是一m,求/l的值.

反馈型题组

9.A48c为锐角三角形的充要条件是()

A.(AB.AC)•(A4-BC)>0B.(AB-AC)•(C4-CB)>0

C.(BA-JC)-(CACB)>OD.(AB-AC)-(BABC)-(CACB)>0

10.如图，E,EG,“分别是四边形48co的所在边的中点，若

（而+就）•（而+而）=0,则四边形EQG”是（）

A.平行四边形，但不是矩形也不是菱形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

11.设优5是两个非零向量，4是2在B的方向上的投影，而〃是坂在之的方向上的投影,

若万与B的夹角为钝角，则（）

A.丸=〃〉0B.2=//<0C.2,/ZG/?-D.

12.若同=忖=归一可=r（r>0）,则万与B的夹角为；a-h=.

13.在A46c中，若与e==而=5,且屐5=3.己=03，则A48C的形状是

（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形

-1

14.已知向量T=（sinx,l）,b=（cos・

⑴当AJL1时,求B+可的值；

⑵求函数的值域.

第3章平面向量45分钟单元综合检测题

一、选择题

1.已知O,A,B是平面上的三个点，直线A3上有一点C,满足2元+而=0,则方=

()

————2—1——■2―-

A.2OA—OBB.—OA+208C.—OAH—OBD.——OA+-OB

3333

2.设。=(1,—2)3=(—3,4)忑=(3,2),则伍+21)1=()

A.(-15,12)B.0C.-3D.-11

3.已知向量不=(2,—3),3=(3,4),若汗则力等于()

2Q

A.-B.-2C.--

32

4.已知两点M(—2,0),N(2,0),点尸为坐标平面内的动点,

满足|丽1网+而初=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为(

A.y2=8xB.y2--8xC.y2-4x1).y2=—

—►—►3A/33—►—►

5.在A48c中，ABBC=3,A48C的面积SE工,一，则A8与8c夹角的取值

42

范围是()

7171八兀兀7171〜7C兀

A.—B.—C.—D.—

.43」|_64」|_63」|_32.

6.已知:与了为互相垂直的单位向量，万=；—2］力=；+/17,且2与3的夹角为锐角，

则实数2的取值范围是()

A.(―8,—2)U(-2,2)B.f,+oojC.(—2,§)U(§,+8)D.f—j

二、填空题

7.若三点4(2,2),8(。,0),。(0,匕)(。匕70)共线，则4+1=_________.

ab

8.设向量4=(1,0),1=(cos。,sin6),其中0464万,则卜+4的最大值是________

9.设是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，

且AB=4i+2j,AC=3i+4j,则\ABC面积的值等于.

10.已知向量G与B的夹角为120°,同=1,阿=3,则忖一可=.

三、解答题

11.设A,8为圆/+F=1上两点，。为坐标原点(A,O,B不共线)

⑴求证：/+砺与砺-而垂直.

TT(JTJT|‘‘I'-3

(2)当NxO4=—,NxOB=e,ee——，—且0A08=一时，求sin。的值.

4I445

12.已知0为坐标原点，4(0,2),5(4,6),OM=ttOA+12AB

⑴求点M在第一象限或第三象限的充要条件；

⑵求证：当4=1时，不论L为何实数，A,8,M三点都共线.

§3.1向量的概念及线性运算（解答部分）

再现型题组

1.【提示或答案】

如图

反是次的相反向量，，近=一。

而是砺的相反向量，，历=一3

DC^DO+OC-a（或反=反一历=B—5）

BC=~BO+OC=-b+a（BC=OC-OB=a-b）.

【基础知识聚焦】相反向量的概念；向量加法的几何表示；向量减法的几何表示.

2.【提示或答案】B.

【基础知识聚焦】

⑴向量是既有大小又有方向的量，不能用“>”或连接;

⑵向量加法的三角形法则的应用;

⑶单位向量的概念.

3.【提示或答案】C.

【基础知识聚焦】

⑴实数与向量的积的意义；

⑵向量共线的条件.

巩固型题组

4.【解法一】

------2—

VBD=2DC：.BD=-BC

3

————2——•2——1—2—■12-

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=-c+-b.

333333

【解法二】

过。作OEAC交A6于点E

—1—•―-2―-

则AE=-A8,ED^-AC

33

——■—1-2-

•*.AD-AE+ED=—cH—b

33

【点评】解法二利用了共线向量的性质，使过程得到了简化.解题过程中应注意条件

30=20。的使用，它表明了点。的位置.

【变式与拓展】在A48c中，已知。是AB边上一点，若AO=2OB,

—1—■—

CO=—C4+/IC8,则4等于（）

3

,2、1八12

A.-B.-C.—D.----.

3333

5.解：'：BD^BC+CD^-2a+Sh+3（a-b）^a+5b^AB

A,8,。三点共线.

【点评】判断三点共线往往借助于两个共点向量共线.

--1-101-

6.解：①由22—38=4。且万+2b=—30,得）=—则）=—则

7710

aB；

②；存在相异实数2,〃使然+〃=0,不妨设之wo,则"一名，则2B；

③有可能是x=y=o,所以不能判断万B；

④A&C。不一定是梯形的两底，有可能是梯形的两腰.

提高型题组

7.解：设而=2,而=B

贝IJ

一'-""I'一I'-I'——I-I''I］一

MN=MB+BN=MB+-BD=-AB+-(AD—AB)=-AB+-AD=-G+-b；

3236363

————1——I——2--I—1?-

CN=CB+BN=-AD+-BD=-AD+-(AD-AB)=——AD——AB=——a——b

333333

...丽=—2而：.CNMNM,N,C三点共线.

8.解：「AI,。共线：.~ABBC：.BteR,^BC=t~AB

：.OC-OB=t(OB-OA)：.OC=(l+t)OB-tOA

令2=l+r,〃=—f,则几+〃=1,使0C=%0A+〃08.

反之，若存在实数4〃，且4+〃=1,使得反=/l次+〃丽，

则反=丸次+〃丽=/1况+(1—/1)历=赤+/1/一力砺

：.OC-OB=A(OA-OB)

/.BC—ABA：.BCBA...A,5,B共线

【变式与拓展】平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知A(3,1),8(-1,3),若点C满

足OC=aOA+£OB,其中且a+£=l,则点C的轨迹方程为()

A.3x+2y—11=0B.(x—1)~+(_y-2)~=5

C.2x-y=0D.x+2y-5=0

课堂小结

本节课重点是向量的加减法运算的几何表示，实数与向量的乘枳的意义，向量共线的

条件，在解题过程中应注意使用数形结合的方法.

反馈型题组

9.D10.A11.D

12.提示:利用向量加法的三角形法则，三角形三边之间的关系,

14<|a+K|<26.

13.提示：(如图而+/=2近)D.

14.1.

§3.2向量的正交分解及坐标表示(解答部分)

再现型题组

1.【提示或答案】D

【基础知识聚焦】本题考查的是基底的概念以及构成基底的条件.

注意：零向量不可作为基底中的向量.

2.【提示或答案】待定系数法

-：c=Aa+^ib：.(-1,0)=2(1,0)+//(1,1)=(2+//,//)

.—1=4+〃.Z=-1

・♦V・・〈

0=〃[〃=0

【基础知识聚焦】本题考查的是平面向量基本定理的坐标表示.

3.【提示或答案】

已知点A(0,l),5(1,0),C(l,2),£)(2,1),是判断向量而和丽的位置关系.

解：V=,CD=(1,-1)AB=CD

ABCD

［基础知识聚焦】本题考查的是向量共线的条件的坐标表示.

巩固型题组

4.【解法一】

・"阿=2回AAD==|(2,-4)=(3,-6)

：.^D=AD-AB=(,3,-6)-(4,-7)=(-1,1)

：.AC=AB+2BD=(4,-7)+2(-1,1)=(2,-5)

：.0C=0A+AC=(2,3)+(2,-5)=(4,-2)

【解法二】

•“砌=21西AO是中线

.•・G点是AA8C的重心

.r_XA+XB+%、，_yA+yB+yc

•・%=-5-，九二一3—

•*.xc=4,yc=-2

【点评】本题考查的是向量线性运算的坐标表示，解法二利用了重心坐标公式，使问题得

到简化，可见数形结合魅力和善于观察的重要性.

5.【解法一】

VMvA3/1^0,使江=丸/，即万+2彼=/1(2。一往)

/.(1-22)a=(2-2)b；.ab

2x=1/.x=—

2

【解法二】

,Zz7=a+2&=(l,2)+2(x,l)=(l+2x,4)

3=2"—B=2(l,2)-(x,l)=(2-x,3)且五v

3(1+2x)=4(2—x)•*-x=~

【点评】本题考查了向量共线的条件的坐标表示.解法已从，0看出了2。，使运算得

到简化.

1--

6.【提示或答案】左=一一时，Qj+b与万一36平行，且方向相反.

3

提高型题组

7.【提示或答案】

•••表示向量42,4$-21,2(万-1),2的有向线段首尾相接能构成四边形

4a+4&-2c+2(a-c)+J=0

d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-2,-6)

【点评】本题考查的是向量加法的几何表示，通过几何表示找出能构成四边形的条件，又

考查了向量加法的坐标表示.

8.【提示或答案】

——■1-.

设A/(x,y),则AM=/A8

1fx+2-3fx-1

即(x+2,y-l)=—(3,2).72/J2

2[y-l=l[y=2

点的坐标为(―工,2)

57

同样可求得P点坐标为(-1,§)，。点坐标为(0,§)

【变式与拓展】已知A(—2,1),8(1,3),点P满足而=4而，求点P的坐标.

课堂小结

本节课重点是平面向量基本定理，向量线性运算的坐标表示，向量共线的条件的坐标

表示，以及利用向量共线证明三点共线，求定比分点的坐标等，解题过程中应注意使用数形

结合的方法.

反馈型题组

342

9.-110.——)11.k=——

553

21

12.(1)—WkW—时，P在第二象限；

33

⑵不能构成四边形.

704=(1,2)方=(3—3，,3—3。

•••不论，为何值/都不可能和A1平行.

13.y=—,2=——

-23

14.解：设点尸(x,y),R(a,b)

贝ijb=2a-6

•：RA=2AP

(1—a,—b)—2(x—1,y)

.[1-a=2x-2

：.<

-6=2y

.a——2x+3

:.<

b=-2y

，—2y——2(—2x+3)—6

§3.3数量积及其应用(解答部分)

再现型题组

1.【提示或答案】D

【基础知识聚焦】向量数量积的运算律，向量垂直的条件，向量减法的几何表示的应用.

2.【提示或答案】人=一1时，5+43与2垂直

【基础知识聚焦】向量垂直的条件的坐标表示.

3.【提示或答案】(1)6=—；⑵忖+回=小；⑶5.=3月.

【基础知识聚焦】向量数量枳的定义，求模的方法，求面积公式.

巩固型题组

4.【提示或答案】

解：••・()+2$)•Q—3B)=—彳.B—6b2=一|同x4cos60°—6x16=-72

,同=6

【点评】本题考查了数量积定义的变式，还可以利用数量积定义求夹角.

【变式与拓展】已知同=4,忖=3,(2)-3$)<22+6)=61,求G与3的夹角。.

5.【提示或答案】

解：•.•丽=(3,-3),AC=(8,2),BC=(5,5)

AB

：.AB1BC

二AABC为直角三角形.

【点评】本题考查了数量积的应用.

【变式与拓展】反馈型题组9

6.【提示或答案】

解：*/mInV3cosA-sinA=2sin(y-A)=0

<式

A=—

3