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文档简介
新疆维吾尔自治区克拉玛依市第十三中学2024年高三第三次测评数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.112.函数的大致图象为A. B.C. D.3.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()A. B. C.2 D.﹣24.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.5.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]6.已知集合,,,则集合()A. B. C. D.7.设不等式组,表示的平面区域为,在区域内任取一点,则点的坐标满足不等式的概率为A. B.C. D.8.给出下列三个命题:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要条件;③将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.其中假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.39.若(是虚数单位),则的值为()A.3 B.5 C. D.10.在函数:①;②;③;④中,最小正周期为的所有函数为()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③11.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱中,点是平面内一点,则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为()A.2 B.3 C.4 D.512.抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若向量与向量平行,则实数___________.14.函数过定点________.15.设为定义在上的偶函数,当时,(为常数),若,则实数的值为______.16.已知,,且,则最小值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)若,求函数的值域;(2)设为的三个内角,若,求的值;18.(12分)如图,已知四棱锥,平面,底面为矩形,,为的中点,.(1)求线段的长.(2)若为线段上一点,且,求二面角的余弦值.19.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.20.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线与直线其中的一个交点为,且点极径.极角(1)求曲线的极坐标方程与点的极坐标;(2)已知直线的直角坐标方程为,直线与曲线相交于点(异于原点),求的面积.21.(12分)选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A=(k≠0)的一个特征向量为α=,A的逆矩阵A-1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.22.(10分)a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面积;(2)若D,E是BC边上的三等分点,求.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.2、A【解析】
因为,所以函数是偶函数,排除B、D,又,排除C,故选A.3、D【解析】
化简z=(1+2i)(1+ai)=,再根据z∈R求解.【详解】因为z=(1+2i)(1+ai)=,又因为z∈R,所以,解得a=-2.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.4、D【解析】
设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.5、A【解析】
根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x>0时,x<ax,则有f(x)>f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此时sgn[g(x)]=1,当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,当x<0时,x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=﹣1,综合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故选:A.【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.6、D【解析】
根据集合的混合运算,即可容易求得结果.【详解】,故可得.故选:D.【点睛】本题考查集合的混合运算,属基础题.7、A【解析】
画出不等式组表示的区域,求出其面积,再得到在区域内的面积,根据几何概型的公式,得到答案.【详解】画出所表示的区域,易知,所以的面积为,满足不等式的点,在区域内是一个以原点为圆心,为半径的圆面,其面积为,由几何概型的公式可得其概率为,故选A项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域,求几何概型,属于简单题.8、C【解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题.故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.9、D【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】(是虚数单位)可得解得本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用,复数的模的求法,考查计算能力.10、A【解析】逐一考查所给的函数:,该函数为偶函数,周期;将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象,该函数的周期为;函数的最小正周期为;函数的最小正周期为;综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛:求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.11、A【解析】
根据几何体分析正视图和侧视图的形状,结合题干中的数据可计算出结果.【详解】由三视图的性质和定义知,三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形,其面积都是,正视图与侧视图的面积之和为,故选:A.【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和,解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.12、A【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值,再利用双曲线的定义可求得a的值,即可求得离心率.【详解】由题意知,抛物线焦点F1,0,准线与x轴交点F'(-1,0),双曲线半焦距c=1,设点Q(-1,y)ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥抛物线的准线,从而PF⊥x轴,所以P1,2∴2a=P即a=故双曲线的离心率为e=故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合,分析题目,画出图像,熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题可得,因为向量与向量平行,所以,解得.14、【解析】
令,,与参数无关,即可得到定点.【详解】由指数函数的性质,可得,函数值与参数无关,所有过定点.故答案为:【点睛】此题考查函数的定点问题,关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关,熟记常见函数的定点可以节省解题时间.15、1【解析】
根据为定义在上的偶函数,得,再根据当时,(为常数)求解.【详解】因为为定义在上的偶函数,所以,又因为当时,,所以,所以实数的值为1.故答案为:1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.16、【解析】
首先整理所给的代数式,然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】,结合可知原式,且,当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)将,利用三角恒等变换转化为:,,再根据正弦函数的性质求解,(2)根据,得,又为的内角,得到,再根据,利用两角和与差的余弦公式求解,【详解】(1),,,,即的值域为;(2)由,得,又为的内角,所以,又因为在中,,所以,所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题,18、(1)的长为4(2)【解析】
(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,根据向量垂直关系计算得到答案.(2)计算平面的法向量为,为平面的一个法向量,再计算向量夹角得到答案.【详解】(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,所以.,因为,所以,即,解得,所以的长为4.(2)因为,所以,又,故.设为平面的法向量,则即取,解得,所以为平面的一个法向量.显然,为平面的一个法向量,则,据图可知,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19、(1)(2)【解析】
(1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集即可.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集为.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,又,当且仅当时取等,只需最小值,即.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查利用绝对值三角不等式求最值,属基础题.20、(1)极坐标方程为,点的极坐标为(2)【解析】
(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可;(2)只需算出A、B两点的极坐标,利用计算即可.【详解】(1)曲线C:(为参数,),将代入,解得,即曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(2)由(1),得点的极坐标为,由直线过原点且倾斜角为,知点的极坐标为,.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积,考查学生的运算能力,是一道基础题.21、解:设特征向量为α=对应的特征值为λ,则=λ,即因为k≠0,所以a=2.5分因为,所以A=,即=,所以2+k=3,解得k=2.综上,a=2,k=2.20分【解析】试题分析:由特征
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