黑龙江省牡丹江市重点中学2023届高三上学期期末考试数学试卷

牡丹江市重点中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1．若复数满足，则的共轭复数是（）A． B． C． D．2．已知纯虚数，其中i为虚数单位，则实数的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．03．m，n为不重合的直线，，，为互不相同的平面，下列说法错误的是（）A．若，则经过m，n的平面存在且唯一B．若，，，则若，，，则D．若，，，，则4．回旋镖（Boomerang）曾是澳大利亚土著人的传统狩猎工具，今在澳大利亚回旋镖是相当受欢迎的运动项目．四叶回旋镖可看作是由如图所示的四个相同的直角梯形围成，其中，若点满足，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．5．已知，，则（）A．0和 B． C． D．和06．已知，，9是与的等比中项，则的最小值为（）A． B． C．7 D．7．设，，，则（）A． B． C． D．8．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，BC的中点，过点，E，F的平面记为，则下列说法中正确的个数是（）①点到平面的距离与点到平面的距离之比为②平面截直四棱柱所得截面的面积为③平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积之比为47：25④平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形A．0 B．1 C．2 D．3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面平面10．已知，，若与共线，则下列说法错误的是（）A．将的图象向左平移个单位得到函数的图象；B．函数的最小正周期为；C．直线是的一条对称轴D．函数在上单调递减11．设函数的定义域为，且满足，，当时，．则下列说法正确的是（）A． B．当时，的取值范围为C．为奇函数 D．方程仅有3个不同实数解12．已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知，为单位向量，，则______．14．已知复数满足，则的最小值是______．15．如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．则该截角四面体的表面积是______．16．对任意的，不等式（其中是自然对数的底）恒成立，则的最大值为______．四、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①；②；③18．（12分）如图，长方体的底面是边长为4的正方形，高为2，E，F，G分别是BC，CD，，的中点．（1）求三棱锥C—EFG的体积；（2）求证：平面平面．19．（12分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，且，，，成等差数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，数列的前项和为，数列的前项和为，求，20．（12分）如图，在正方体中，E，F，G分别是AB，，AD的中点．（1）证明：平面；（2）棱CD上是否存在点T，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．．①试证明为等比数列；②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．22．（12分）已知，函数．（1）当时，求的单调区间和极值；（2）若有两个不同的极值点，．（i）求实数的取值范围；（ii）证明：为自然对数的底数）．

牡丹江市重点中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案题号123456789101112答案CBDCBBBDACACDBCABC13．14．15．16．17．解：由①②③：由正弦定理及可得，即，即，由于，所以即，而，所以，由，可得，所以．由①③②：由正弦定理及可得，即，即，由于，所以即，而，所以，由可得，则，所以．由②③①：由可得，由可得，即，所以，又，，所以，即，所以，所以，即．18．解：（1）由于四棱柱为长方体，所以平面ABCD，∵∴．（2）连接BD，，∵E，F分别为BC，CD中点，∴，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，又平面，平面，∴平面；同理可得：平面，又，，平面，∴平面平面．19．解：（1）∵，，成等差数列，∴①，又∵，，成等比数列，∴，得②，由①②得，，∴，；（2），∴，又，∴．20．解：（1）连接，，．因为E，G分别是，的中点，所以．由于是正方体，所以，且所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）假设在棱上取点，使得平面，延长，交于，连交于．因为，F为中点，所以为中点．因为，所以，且．若平面，平面，平面平面，则，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于为的四等分点，所以也为四等分点．故，即时平面．21．（1）解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，将在前三次扑出点球的个数可能的取值为0，1，2，3，，，，的分布列为：0123期望另解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为0，1，2，3，易知，，．的分布列为：0123期望（2）解：①第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，从而，又，∴是以为首项，公比为的等比数列．②由①可知，，，故22．（1）当时，，则，故当时，，当时，故的递减区间为，递增区间为，极小值为，无极大值；（2）（i）因为，令，问题可转化函数有个不同的零点、，又，令，故函数在上递