数学2019年全国各地真题（有答案）

2019年普通高等学校招生全国统一考试♦全国【卷

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M={x|-4<x<2},Af={x|x2-x-6<0},则MDN=()

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x\~2<x<2]D.{x|2<x<3}

C【考查目标】本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等，考查考生的化

归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】通解"：N={x\-2<x<3},M={x\-4<x<2},：.MC\N={x\-2<x<2},

故选C.

优解由题可得'={川―2<犬<3}.V-3$2V,二一34MCIN,排除A,B;V2.55M,

2.54〃nN,排除D.故选C.

【解题关键】求解此类题的关键：一是化简集合，如本题通过解一元二次不等式，达

到化简集合的目的；二是借形解题，有关集合之间的补集、交集、并集问题，需对集合的相

关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，通过观察集合之间的关系，借助数轴寻求元素之

间的关系，使问题直观准确地得到解决.

2.设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.(x+l)2+y2=]B.(A：—l)2+y2=l

C.9+。-1)2=1D.N+(y+l)2=l

C【考查目标】本题主要考查复数的模的概念和复数的几何意义，考查考生的化归

与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】通解在复平面内对应的点为(x,j),.t.z=x+yi(x,yGR).,.析一i|=l,

.,.pv+(y-l)i|=l,1)2=1.故选C.

优解一；|z-i|=l表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,Ax2

+。-1)2=1.故选C.

优解二在复平面内，点(1,1)所对应的复数z=l+i满足忆一“=1,但点(1,1)不在选

项A,D的圆上，.•.排除A,D;在复平面内，点(0,2)所对应的复数z=2i满足|z—i|=l,

但点(0,2)不在选项B的圆上，,排除B.故选C.

3.已知a=log20.2,6=202,c=0.20-3,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

B【考查目标】本题主要考查对数函数与指数函数的单调性，考查考生的运算求解

能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

2o3

【解析】•.,a=log20.2<0,h=20->\,c=O.2-G（O,1）,...aVcCA故选B.

【得分秘籍】破解此类题，通常寻找中间变量0,1进行估算，即可比较大小.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度

之比是好号1M.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如

此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是咛」若

某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26

cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

B【考查目标】本题主要考查以数学文化为背景的估算思想，考查考生的运算求解

能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】26+26^0.618+（26+26-0.618）-0.618=178（cm）,故其身高可能是175cm,故

选B.

5.函数大力=泌空当在［一兀，用的图象大致为（）

COSIX-

D【考查目标】本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的化归与转化能力、数

形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解析】•/—、）=V匕不=—我累=—於），二危）为奇函数，排

sin兀+兀Tt>。，：.排除C;・加）=黑哥,且sinl>cos1,；如）

除A;：刎=

cosTI+TT-1+?t2

>1,二排除B.故选D.

【方法总结】已知函数的解析式判断函数图象的技巧：一是灵活运用函数的性质，常

利用函数的单调性、奇偶性来排除错误选项；二是取特殊点，根据函数的解析式，选择特殊

点，即可快速排除错误选项，从而得出正确的选项.

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻

组成，爻分为阳爻“——”和阴爻"——“，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则

该重卦恰有3个阳爻的概率是（）

5c11

A正B.我

C2Dn

=32"16

A【考查目标】本题主要考查古典概型、计数原理等知识，考查考生的运算求解能

力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】由6个爻组成的重卦种数为2，＞=64,在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰

有3个阳爻的种数为C&=父•*=20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率「=|^=焉

故选A.

【解题关键】破解此题的关键：一是会利用分步乘法计数原理求样本空间所含的基本

事件总数；二是会利用组合数求事件发生所含的基本事件数；三是会利用古典概型的概率计

算公式求事件发生的概率.

7.已知非零向量8满足⑷=2网，且侬一为，"则a与》的夹角为（）

7t

A工B.

3

57r

D.~6

B【考查目标】本题主要考查平面向量的垂直、平面向量的夹角，考查考生的化归

与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】设a与的夹角为a,,.•（“一/＞）_!_瓦.'.（a—b＞6=0,二。力=於，；.|研|用cosa

1IT

=|》F,又|a|=2|A|,.,.cosa=^,*/ae（0,n）,.故选B.

【易错警示】本题易错点有两处：一是两向量的夹角公式记错，导致结果错误；二是

由三角函数值求角时，把正弦的函数值与余弦的函数值搞混，导致结果错误，从而误选A.

8.如图是求一1r■的程序框图，图中空白框中应填入（

2+-J

2+2

A=2+A

B.4=2+]

A

C'4=1+24

D-A="=

A【考查目标】本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证

能力，考查的核心素养是逻辑推理.

【解析】A=~z,k=1,1W2成工，执行循环体；A—7,k=2,2W2成立，执行循

2+2

环体；A=—―,k=3,3W2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入.故

2+72十A

2+2

选A.

【方法总结】破解此类题需关注题干中所陈述的意思和程序框图中所含的结构，才能

准确填写处理框中的内容.

9.设S,为等差数列｛%｝的前〃项和.已知$4=0,的=5,则()

A.an—2n—5B.a“=3n—10

22

C.Sn=2n—8nD.Sn=^n~2n

A【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式和前〃项和公式，考查考生的运

算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、教学运算.

【解析】解法一设等差数列｛斯｝的公差为乩

f.4x3

54=0,46n+-7-J=0,〃]=­3

解得a=a\+(n—l)d=-3+2(〃-1)=2〃一

6/5=5,,d=2,tl

、〃i+4d=5,

n1)d=〃2—4〃.故选A.

_=

5,SnnciiI-

[S4=o,

解法二设等差数列｛如｝的公差为d,•・・

[45=5,

'4x3

4^|+-7-^=0,[67i=­3,

2解得选项A,m=2xl-5=-3;选项B,0=3x1-10=

।.G〔d=2.

l«i+4AJ=5,

13

-7,排除B;选项C,$=2—8=—6,排除C;选项D,5]=]—2=—5，排除D.故选A.

10.已知椭圆。的焦点为尸i(—1,0),F2(l,0),过巳的直线与C交于A,B两点.若

\AF2\=2\F2B\9|AB|=|BF1|,则C的方程为()

y2v-2

A.y+y2=1B.可+，=1

12y2,y2丫2

4+7=1D.W+5=1

B【考查目标】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，考查运算求解能力、化归与

转化思想以及教形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算、逻辑推理.

92

【解析】由题意设椭圆的方程为，+b=1(“>6>0),连接F\A,令|F2B|=,〃，则

=2m,|BQ|=3九由椭圆的定义知，4m=2a,得力=冬故|&A|=a=|QA|,则点A为椭圆C

的上顶点或下顶点.令/。4尸2=仇0为坐标原点)，则sin6=5.在等腰三角形A8Fi中，cos2。

211小22J

=z-=7,所以Q=l—2匕)，得〃2=3.又”=］,所以抉=々2—/=2,椭圆。的方程为(+'=

1.故选B.

【解后反思】求解圆锥曲线试题，首先考虑画图，其次考虑定义与几何性质.凡涉及

焦点三角形的问题，应注意解三角形知识的应用.

11.关于函数40=sink|+kinx|有下述四个结论：

①/(x)是偶函数

②/W在区间(壬兀)单调递增

③穴》)在［一兀，利有4个零点

④/U)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.②④

C.①④D.①③

C【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、最值)，函数

零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑

推理、直观想象、数学运算.

【解析】通解#—x)=sin|—x|+、in(—x)|=sinR+binx|=/U),・\/(x)为偶函数，故①

正确；当5Vxe兀时，/x)=sinx+sinx=2sinx,・\/(x)在俘兀)单调递减，故②不正确；於)

在［一兀，n］的图象如图所示，由图可知函数7U)在［一兀，Ti］只有3个零点，故③不正确；•・•丁

=sin|x|与)，=kinx|的最大值都为1且可以同时取到，・7/(幻可以取到最大值2,故④正确.综

上，正确结论的序号是①④.故选C.

优解V/-X)=sin|+|sin(—x)\=sin|x|+|sinx\=fix),・・J(x)为偶函数，故①正确，排

除B;当，VxV兀时，*x)=sinx+sinx=2sinx,・\/(x)在《，兀)单调递减，故②不正确，排除

A;•.,y=sinR与y=|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，的最大值为2,故④正确.故

选C.

12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2

的正三角形，E,F分别是用，A8的中点，NCEF=90。，则球0的体积为()

A.8#兀B.4优兀

C.2#itD.y[fm

D【考查目标】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，考查考生的化归与转化能力、

空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解析】因为点E,尸分别为以，AB的中点，所以EF〃PB,

因为/CEF=90°,所以EF_LCE,所以P8_LCE.

取AC的中点£>,连接BO,PD,易证AC_L平面BOP,

所以尸B_LAC,又ACDCE=C,AC,CEU平面必C,所以尸3_L平面B4C,

所以尸8_LB4,PBLPC,因为必=PB=PC,ZXA8C为正三角形，

所以朋_LPC,即B4,PB,PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中如图所示.因

为AB=2,所以该正方体的棱长为也，所以该正方体的体对角线长为优,所以三棱锥P-ABC

的外接球的半径R=坐,所以球0的体积丫=条尸=$(坐)=观兀，故选D.

【解题关键】破解此类题的关键：一是熟悉正三棱锥的结构特征；二是会利用正方体

或长方体，把三棱锥放入正方体或长方体中求解；三是会用公式，熟记球的体积公式.

二'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=3(x2+x)e，在点(0,0)处的切线方程为.

y=3x【考查目标】本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算求解能力，考查

的核心素养是数学运算.

【解析】因为所以曲线在点(0,0)处的切

线的斜率々=^'=0=3,所以所求的切线方程为y=3x.

【方法总结】导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，曲线大x)在点

(x(),7(X0))处的切线方程为y—J(xo)=f(xo)(x—xn),其中/(Xo)表示曲线人》)在点(M),兀卬))处的切

线的斜率.

14.设S”为等比数列｛斯｝的前〃项和.若届=46，则$5=.

亏【考查目标】本题主要考查等比数列的通项公式和前〃项和公式，考查考生的运

算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】通解设等比数列｛〃"｝的公比为4，因为屈=。6,所以（。0）2=0炉，所以“同

,（।_与、弓*（1—3，）si

=1,又ai=Q,所以q=3,所以S5=色―j—5-=;---j----=-^~.

3I—q1—3J

优解设等比数列｛如｝的公比为q,因为曷=。6,所以a2a6=。6,所以“2=1,又ai=g,

（15、Q—3，）I。]

“，~~,八ai（1—o'）3121

所以q=3,所以$5=]_g=匚百=--

【方法总结】首项与公比是等比数列的“基本量”，在解决等比数列的相关问题时，“基

本量法”是常用的方法.

15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决

赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主设甲队主场取胜

的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率

是.

0.18【考查目标】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率，考查考生的逻

辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】记事件M为甲队以4：1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前

四场甲队胜三场负一场，所以P（M）=0.6X（0.62X0.52X2+0.6X0.4X0,52X2）=0.18.

【易错警示】本题的易错点是五场比赛，只考虑甲队获胜的四次，漏考虑失败的一次,

导致所得的结果错误.

16.已知双曲线C：出一齐=13>0,Q0）的左、右焦点分别为尸1,Fi，过人的直线与

C的两条渐近线分别交于4,B两点.若m=屈，万方.疫=0,则C的离心率为.

2【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向

量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素

养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解析】通解因为R方•疫=0,所以如图.

所以|OFi|=|O8|,所以NBFiO=NFiBO,所以/BOF2=2/BFIO.因为户力=屈，所以点

A为QB的中点，又点。为尸正2的中点，所以OA〃BB,所以FiB_LOA,因为直线0A,

0B为双曲线C的两条渐近线，所以tan/8FiO=£,tan/8OF2=§.因为tan/B0F2=

tan（2ZBFiO）,所以'=3”，所以b2=3a2,所以c2—a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的

离心率e=§=2.

优解因为户力・@=0,所以QB_LF2B,在RtZ\Q8F2中，|。用=|。尸2I,所以N08/2=

ZOF2B,又月1=屈，所以A为FiB的中点，所以04〃眄8,所以/QOA=NOF28.又/QOA

=ZBOF2,所以△OBF2为等边三角形.由尸2（c,0）可得砥华），因为点8在直线y=%

上，所以率c=21所以小，所以e=、/l+曰=2.

乙cizaci

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设（sinB-sinC）2=sin2A-sin

BsinC.

⑴求A；

（2）若也〃+/>=2c,求sinC.

【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，考查考生的化归与

转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解题思路】（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理，即可求出cosA的值，

从而求得A的大小；（2）利用正弦定理，将边化为角，再利用（1）的结论以及两角差的正弦公式

与辅助角公式，即可求出sinC的值.

解：⑴由已知得sin?B+sin?C-sin?A=sinBsinC,故由正弦定理得32+/一/=加.

加+/一］

由余弦定理得cosA=-------------=/.

因为00VAV180。，所以A=600.

（2）由（1）知8=120°-C,由题设及正弦定理得让sinA+sin（120°—0=2sinC,即乎+坐

1、历

cosC+^sinC=2sinC,可得cos（C+60°）=一手.

12

由于（TVCV120。，所以sin（C+6（r）=彳，故

sinC=sin(C+60°-60°)

=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin60°

=4,

【方法总结】求解此类问题的突破口：一是正确分析已知等式中的边角关系，合理地

设计“边往角化”还是“角往边化”，活用正弦定理、余弦定理；二是求角的值时应注意三角形

对角的取值范围的限制；三是熟记两角和、差的三角公式.

18.(12分)如图，直四棱柱4BCD-A出CQ的底面是菱形，A4=4,

48=2,ZBAD=60°,E,M,N分别是5C,BBi，4。的中点.

(1)证明：MN〃平面GOE；

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

【考查目标】本题主要考查空间直线与平面的平行关系，二面角

的正弦值的求解，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，

考查化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解题思路】(1)欲证MN〃平面CQE,只需在平面CQE内寻找一条直线与直线MN

平行；(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面M4N的法向量，再求出两法向

量的夹角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系，即可求出二面角A-M4-N的正弦值.

解：⑴连接SC,ME.因为M,E分别为BBi,3c的中点，所以ME〃囱C,且ME=/C.

又因为A为4。的中点，所以ND=%Q.

由题设知4Bi触。C,可得BiC飙AQ,MEMND,因此四边形MVDE为平行四边

形，MN//ED.又MNQ平面EDC{,所以MN//平面CiDE.

(2)由已知可得OE1.D4.以。为坐标原点，D4的方向为x轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系£>-孙z,则A(2,0,0),4(2,0,4),

M(l,木,2),N(l,0,2),瓦X=(0,0,-4),皿=(-1,y[3,-2),

屈=(-1,0,-2),加=(0,一小，0).

设机=(x,y,z)为平面41MA的法向量，则

?nA|A/=0,

V

mA\A=G.

f-x+d5y_2z=0,广

所以j可取m=(W，1,0).

〔一4z=0.

设〃=(p,/r)为平面AiMN的法向量，则

n-Mk=O,

n-Aih—O.

1一小q=0,

所以＜可取"=(2,0,-1).

(—p—2r=0.

于是cos〈，〃，”〉=j孙？j=所以二面角A-M4-N的正弦值为点°.

叫2x75JJ

【易错警示】本题的易错点：一是求平面的法向量出错，应注意点坐标的求解的准确

性；二是公式用错，导致结果出错；三是审题不认真，导致失分.

3

19.(12分)已知抛物线C：尸=3》的焦点为F,斜率为］的直线/与C的交点为A,B,

与x轴的交点为P.

(1)若|4月+|8网=4,求/的方程;

(2)若力=3闻，求|AB|.

【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程及简单的几何性质、直线与抛物线的位

置关系、平面向量共线等知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化

归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解题思路】(1)设直线/：y=^x+t,结合抛物线的定义得xi+x2=|,将直线/与抛物

线C的方程联立，利用根与系数的关系，可得关于，的方程，解方程，求出，的值，即可得/

的方程；(2)利用向量共线，得点4,8的纵坐标之间的关系，将直线/与抛物线C的方程联

立，利用根与系数的关系得到y+m=2,从而求出点A,B的纵坐标，进而得点A,B的横

坐标，最后利用两点间的距离公式求出|A周.

解：设直线/：y=|x+r,A(xi,y)B(JC2,").

⑴由题设得帽，0),故|AF|+|BF|=XI+X2+|,由题设可得加+息=|.

y=z^+r,12(/—l)

由42可得9/+12(/—l)x+4户=0,则为+x2=--------g-------.

.y2=3x

37

所以/的方程为

(2)由#=3肪可得y尸-3y2.

由“―/"+''可得♦-2y+2r=0.

j2=3x

所以yi+>2=2.从而-3m+>2=2,故”=—1,巾=3.

代入C的方程得X]=3,12=1.

故依8|=耳亘.

20.(12分)已知函数,*x)=sinx—ln(l+x),/(x)为«x)的导数，证明：

(1中(X)在区间(一1，5存在唯一极大值点；

(2求x)有且仅有2个零点.

【考查目标】本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值与函数零点个

数的证明等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查化归与转化

思想、分类讨论思想、数形结合思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

解：(1)设以》)=/(》)，则g(x)=cosx—Y^：,g〈x)=-sinx+~^7^y^.当§时，

g，(x)单调递减，而g<0)>0,g'6)vo，可得g'(x)在(一1,电有唯一零点，设为a.则当Xd(一

1,a)时，g'(x)>0:当xG(a,习时，g'(x)<0.

所以g(x)在(一1,a)单调递增，在(a,知单调递减，故g(x)在(一1,g)存在唯一极大值点,

TT

即/(X)在(-1,])存在唯一极大值点.

(2次x)的定义域为(-1,+a>).

6)当彳6(—1,0]时，由(1)知，/(x)在(-1,0)单调递增，而了(0)=0,所以当xd(—1,

0)时，/(x)<0,故於)在(一1,0)单调递减.又式0)=0,从而x=0是1x)在(-1,0]的唯一零

点.

(ii)当xG(0,?时，由(1)知，/(X)在(0,a)单调递增，在(a,g单调递减，而/(0)=0,

./(?)<0,所以存在夕e(a,使得了劭=0,且当xe(0,为时，/(x)>0;当§时，

/(x)<0.故式x)在(0,用单调递增，在仇辨调递减.

又<0)=0,周=1一始(1+号>0,所以当xG(0,时，<x)>0.从而，於)在(0,；没有

零点.

(iii)当n时，/(x)V0,所以Hx)在兀)单调递减.而周>0,刎V0,所以火x)

在得，兀有唯一零点.

(iv)当xe(7t,+8)时，ln(x+l)>l,所以火x)V0,从而加x)在(兀，+8)没有零点.

综上，兀V)有且仅有2个零点.

21.(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此

进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，

随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其

中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药

更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白

鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则

乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈

率分别记为a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求*的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p，G=O,1,…，8)表示“甲药的累计得分为i

时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则仅)=0,08=1,pi=api-i+bpi+cpi+i(i=l,2,

7),其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,4=0.8.

(i)证明：｛p,+i-p,｝(i=0,1,2....7)为等比数列；

(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

【考查目标】本题主要考查离散型随机变量的分布列、等比数列的定义、方案的合理

性问题，考查考生的数据处理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、

数据分析.

【解题思路】(1)先求出X的所有可能取值，再用a,£表示出X取各个值时的概率，

即可得X的分布列.(2)(i)由(1)得a,b,c的值，再利用等比数列的定义，证明数列｛~+1—

2｝是等比数列；(ii)利用(i)的结论，将P8用pi表示，再根据08=1,可求出0,从而得P4

的值，即可对方案的合理性做出判断.

解：(1)X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-I)=(I-«)A

P(X=0)=a/5+(l-a)(l

P(X=l)=a(l-Q).

所以X的分布列为

X-101

P(1-a)在侬+(1—a)(l一份a(l一夕)

(2)(i)由⑴得a=O4,匕=0.5,c=0.1.

因此pi=0APt-\+0.5pi+0.lpi+i,故0.1(/?,+1—pi)=0.4(p,—p,-1),即pi+i—pi=4(pi—pi-i).

又因为pi—po=pi/0,所以{pi+i—pi}(i=0,1,2,7)为公比为4,首项为pi的等比

数列.

(打)由(i)可得

PS=P8—pi+Pl—ph+...+〃1_po+〃O

=（P8-pi）+（P1­〃6）+…+3-po）

48-l

=-y7.

3

由于P8=l,故Pl=4-］,所以

P4=（P4-pi）+（P3—P2）+（P2-P1）+（p1—po）

44-l

=^-Pl

_1

=说

P4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治

愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为「4=册立0039,此时得出错误结论的概率非常小，

说明这种试验方案合理.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

f1-r2

卜=吊，

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈Q为参数）.以坐标原点。为极

9-1+产

点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为勿cos8+小川in9+11=0.

（1）求C和/的直角坐标方程；

（2）求C上的点到/距离的最小值.

【考查目标】本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线

的距离最小值等知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、

数学运算.

【解题思路】（1）利用平方法，可轻松消去参数，从而得曲线C的直角坐标方程；利用

极坐标公式，即可求出直线/的直角坐标方程.（2）设出C的参数方程，再利用点到直线的距

离公式与辅助角公式，以及三角函数的有界性，即可求出C上的点到/的距离的最小值.

解：（1）因为一1VR/W1,且f+GJ+下工所以c的直角坐标方

程为/+£=1（琳一1）.

/的直角坐标方程为2x+V3y+ll=0.

x=cosa

(2)由(1)可设C的参数方程为'’(a为参数，-7t<aV7t).

j=2sina

C上的点到/的距离为

|2cosa+2,\/3sina+1114cos(a3)+1］

币=F'

当a=一与时，4cos(a-&+11取得最小值7,故C上的点到/距离的最小值为市.

【解题关键】求解本题的关键：(1)会转化，即把椭圆的参数方程化为直角坐标方程，

并把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)会设动点，即利用椭圆的参数方程设出动点

坐标；(3)会活用三角函数的有界性，利用辅助角公式与三角函数的有界性，求出最值.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,b,c,为正数，且满足岫c=l.证明：

(l)!+3+：Wa2+62+c2；

(2)(a+6)3+3+c)3+匕+“)3224.

【考查目标】本题主要考查利用综合法以及基本不等式证明不等式，考查运算求解能

力、推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

解：(1)因为a2-1-b2^2ab,b2+c2^2bc,且“bc=l,故有a2+lr+c2^ab

ah+hc+ca

+hc+ca=

abc

所以5+5+!W。2+岳+机

(2)因为凡b,c为正数且abc=l,故有

(。+力)3+(。+c)3+(c+a)3

3.___________________________

23d(a+b)3(b+c)(〃+c)3

=3(q+b)S+c)(a+c)23x(2V^)x(2版)X(2M)=24.

所以(a+b)3+(/?+c)3+(c+a)3224.、

2019年普通高等学校招生全国统一考试•全国n卷

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

I.设集合人="5一5x+6>0},B={x|x-l<0},贝I]ACIB=()

A.(—oo,1)B.(—2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+o))

A【考查目标】本题主要考查不等式的求解、集合的交运算，意在考查考生的运算

求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】因为一5x+6>0}={xb>3或x<2},{x|x-1<0}={xpc<1},所

以AD8={x优<1},故选A.

2.设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C【考查目标】本题主要考查共轲复数及复数的几何意义，意在考查考生的运算求

解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】由题意，得z=-3—2i,其在复平面内对应的点为(-3,-2),位于第三象

限，故选C.

3.已知显=(2,3),泥=(3,。，|曲=1,则屈•月逢=()

A.—3B.—2

C.2D.3

C【考查目标】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查

考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】因为选=祀一屈=(1,f-3),所以|比|=41+。-3)2=1,解得f=3,所

以证=(1,0),所以显•证=2x1+3x0=2,故选C.

4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航

天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测

器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗

日七点的轨道运行.心点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质

量为此，地月距离为R,4点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，厂满

MiMi/\4\r3凉+3。4+。5

足方程：+等=(R+r)需设a=5.由于a的值很小，因此在近似计算中

(R+r、)'，产KK(，昔1-\~a)/

=3a3,则，的近似值为()

B.

D【考查目标】本题主要考查考生对背景材料的审读能力、逻辑思维能力、化归与

转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】由一譬=(穴+「卷，得,"、+器=(1+舟外•因为a弋,所以

I"㈤

Mi।M2।、〃,廿3a3+34+a5M2,36z3+3a4+a5得3加=号，即3横

（1+a）支2-（1+幻必，仔（1+a）2=而由（1+a）…，

券所以八隔R故选D,

5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原

始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相

比，不变的数字特征是()

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

A【考查目标】本题主要考查样本的数字特征，意在考查考生分析问题和解决问题

的能力，考查的核心素养是逻辑推理.

【解析】记9个原始评分分别为凡b,c,d,e,f,g,/?,，・(按从小到大的顺序排列),

易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.

6.若a>b,贝！］()

A.ln(<?-Z?)>0B.3"<3〃

C.a3~b3>0D.|a|>|fe|

C【考查目标】本题主要考查函数的性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求

解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】通解由函数y=lnx的图象(图略)知，当0<a—XI时，ln(a-/))<0,故A不

正确：因为函数y=3*在R上单调递增，所以当时，3">3",故B不正确：因为函数>=

JC3在R上单调递增，所以当时，a3>b\即〃一加>0,故c正确；当*a<0时，\a\<\b\,

故D不正确.故选C.

优解当。=0.3,匕=一0.4时,\n(a-b)<0,3“>3〃，—,故排除A,B,D.故选C.

【注意事项】特例法具有简化运算和推理的作用，适用于题目中含有字母或具有一般

性结论的选择题，但用特例法做选择题时，要注意以下两点：第一，取特例时应尽可能简单,

有利于计算和推理；第二，若在某一特殊情况下有两个或两个以上的选项符合，则应选另一

特殊情况再检验，直到剩余一个选项.

7.设a,夕为两个平面，则a〃4的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与月平行

B.a内有两条相交直线与夕平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

B【考查目标】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，意在考查考生

的空间想象能力、逻斡思维能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象.

【解析】对于A,a内有无数条直线与£平行，当这无数条直线互相平行时，a与£

可能相交，所以A不正确；对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C,

平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D,垂直于同一

平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是

相交的，所以D不正确.综上可知选B.

【方法总结】判定空间直线、平面间的位置关系主要有两种策略：（1）根据概念、定理、

性质进行判定；（2）根据选项给出的位置关系，联想相关的几何体（如正方体、正三棱柱等）模

型进行直观判定.

29

8.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆卦+:=1的一个焦点，则〃=（）

3PP

A.2B.3

C.4D.8

D【考查目标】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维

能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】由题意，知抛物线的焦点坐标为（号0）,椭圆的焦点坐标为（士回，0）,所以

g二匹,解得p=8,故选D.

9.下列函数中，以方为周期且在区间《，?单调递增的是（）

A../（x）=|cos2x|B.yCx）=|sin2x|

C./（x）=coslx|D.y（x）=sin[x|

A【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查考生的逻辑思维能

力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】A中，函数y（x）=|cos2x|的周期为会当时，2%6值兀），函数段）

单调递增，故A正确：B中，函数/（x）=|sin2r|的周期为当xW。今）时，兀），函

数7W单调递减，故B不正确；C中，函数式X）=COS|A1=COSX的周期为2兀，故C不正确；D

sinx,x20,

中，＜x)=sink|=