立体几何专题之空间的角与距离（2）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习立体几何专题之空间的角与距离②教学目标空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。知识梳理一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐标，那么到平面的距离（2）求两点之间距离，可转化求向量的模。（3）求点到直线的距离，可在上取一点，令或的最小值求得参数，以确定的位置，则为点到直线的距离。还可以在上任取一点先求，再转化为，则为点到直线的距离。(4)求两条异面直线之间距离，可设与公垂线段平行的向量，分别是上的任意两点，则之间距离二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为。设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。典例精讲zABCDMNxyzzzz(★★)zABCDMNxyzzzz解：如图建立坐标系，则，设是直线与的公垂线，且则，(★★★)ABCDxyz例2：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。ABCDxyz解：，同理又，建立直角坐标系，，,设为平面的法向量，则由，不妨设，再选一条斜线段（端点分别在两个平面内），求斜线段对应的向量在法向量上的射影向量的模即可。点评：若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，则点到平面的距离，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影向量的模。(★★★)例3：在棱长为的正方体中，分别是的中点，ABCDEFABCDEFGxyz（2）求直线与平面所成的角，（3）求平面与平面所成的角解：（1）如图建立坐标系，则，故所成的角为（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，，故与平面所成角为由所以平面的法向量为下面求平面的法向量，设，由，，，所以平面与平面所成的角(★★★)SBACDzxy例4：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，SBACDzxy解：如图建立直角坐标系，则，所以是平面的一个法向量。设平面的一个法向量由，令，平面与平面所成的二面角的正切值为点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。巩固练习：(★★★★)1：如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；（3）求DB与平面DEF所成角的大小.解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、、（1）（2）假设存在，（3）设平面DEF的法向量为AzyBxFEPDC(★★★)2、如图8，四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BAD=ADC=90，AB=AD=PD=2，CD=4，E是PB的中点，以DA、DC、DP分别为x轴、yAzyBxFEPDC(1)若点F平面ABCD，且FE面PBC，，求F点坐标；(2)求直线AB与平面PBC所成的角。解：依题意，知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0）,P(0,0,2) F平面ABCD，故可设F（x，y，0）又E（1，1，1），=（x–1，y–1，–1）FE面PBC，,又=（2，2，–2），=（0，4，-2）于是解得，故F（）（2）由（1）知，为平面PBC的法向量，=（），又=(0,2,0)，cos====cos=设AB与平面PBC所成的角为,则有=,sin=cos=即AB与平面PBC所成的角为arcsin.点评：本例中，按常规方法。求AB与平面PBC所成的角，需找AB在平面PBC内的射影，而过A点作平面PBC的垂线，垂足的位置不易找到，利用向量来解，巧妙地绕过了这一难点，问题迎刃而解。(★★★★)3、在正方体中，棱长为1，为的中点，求下列问题：（1）求到面的距离；（2）求到面的距离；（3）求面与面的距离；（4）求异面直线与的距离.解：（1）如图，建立空间直角坐标系，则，设为面的法向量则取，得，选点到面的斜向量为得点到面的距离为（2）由（1）知平面A1BE的法向量，斜向量∴点D1到面A1BE的距离为（3）由图知平面A1BD的法向量为，而斜向量∴点D1到面A1BD的距离为即面A1BD与D1CB1的距离为（4）建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，E(0,eq\f(1,2),1)，∴设是与都垂直的向量，则，取，得一个法向量为选的两点向量得的距离为课堂检测：(★★★)1、如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。（1）求异面直线PA与DE所成的角的余弦值；（2）求点D到面PAB的距离．解：如图取DC的中点O，连PO，∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.如图建立空间直角坐标系则（1）E为PC中点，，，（2）可求，设面PAB的一个法向量为，①.②由②得y=0，代入①得令则D到面PAB的距离d等于即点D到面PAB的距离等于ACBEP(★★★★)2、如图，在三棱锥中，，，．ACBEP（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．解：（1），，．又，．，平面．平面，．ACBPzxyHACBPzxyHE则．设．，，．取中点，连结．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小为．（3），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．如（2）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．点到平面的距离为．回顾总结