第13讲 函数的对称性与周期性（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）

第13讲函数的对称性与周期性第13讲函数的对称性与周期性知识梳理与应用主要考察一：函数的对称性必要条件：具有对称性的函数，其定义域必然关于其对称轴或对称中心对称.轴对称等价形式：的图像关于直线对称的图像关于直线对称推广：的图像关于直线对称；中心对称等价形式：的图像关于点对称的图像关于点对称推广：的图像关于点对称

进阶1：判断函数是否具有对称性/判断函数的对称轴/对称中心（1）定义域法定义域非对应思路：1.定义域得横：求使得定义域对称的值，即为对称中心的横坐标；2.特值点得纵：若，对称中心纵坐标；若，取且，则对称中心纵坐标；3.如需再检验：利用函数图像具有对称中心的等价形式进行检验.特殊的，，其对称中心可直接记忆为.【例1】（2020秋•杨浦区校级期中）★★☆☆☆函数的图像的对称中心是．【答案】【解答】定义域为，定义域关于对称中心对称，故其对称中心横坐标必然为,取关于-2对称的代入得则对称中心的纵坐标为用的图像关于点对称进行检验故答案为【例2】（2015秋•上海中学高一上期末改）★★★☆☆对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断下列函数具有对称中心的有.（1）；（2）；【答案】（1）（2）【解答】解：（1），定义域有空点，，使得定义域对称的，中间的是，故若存在对称中心，其横坐标必为，特值法取，得，即对称中心纵坐标为，利用中心对称等价形式检验是否为的对称中心：，故的图像存在对称中心.（2），定义域为，故若存在对称中心，其横坐标必为2，特值法取得，即对称中心纵坐标为0，利用中心对称等价形式检验是否为的对称中心：，故的图像存在对称中心.【练习】（编者精选）★★★☆☆函数图象的对称中心横坐标为3，则．【答案】【解答】，定义域为，符合形式一故其对称中心横坐标为，解得；故答案为：．【练习】（2018秋•嘉定区高一上期末）★★★☆☆已知函数具有对称中心为，则点的坐标为．【答案】【解答】对于函数，，故对称中心横坐标为2，又当时，；当时，；，可得它的对称中心为，故答案为：．（2）图像平移法若所求函数可看做奇/偶函数平移变换得到，则对称中心/对称轴做相同的平移即可. 因此要能够快速分辨函数的奇偶性，并了解函数图像的平移变换.【例3】（2015秋•上海中学高一上期末改）★★★★☆对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心.【答案】，.【解答】解：（1）是个三次函数，考虑到和是奇函数，故可尝试配立方将平方项消掉，即可看做由奇函数平移得到，待定系数法，设：所以，解得所以，可看作由函数向左平移个单位，再向上平移个单位得到故有对称中心，.【练习】（编者精选）★★★☆☆函数，其图象的对称轴是A． B． C． D．【答案】【解答】，定义域为，不符合形式一，但观察到分母为，可由偶函数原型向左平移个单位得到，分子配方为，亦可由偶函数原型向左平移一个单位得到，所以令，为偶函数，，可由向左平移个单位得到，所以的图象的对称轴为.主要考察二：函数的周期性一般地，对于函数，如果存在一个常数，使得当取定义域内的任意值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做函数的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期.基础1：函数周期性的判断【例4】（2021·上海市实验学校高一期末改）★★★☆☆函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．【答案】4【详解】，，又为奇函数，是周期为的周期函数.【练习】（编者精选）★★★☆☆已知定义在N上的函数满足：．求证：是周期函数，并求出其周期.【答案】周期为6；【详解】解：因为，所以所以.所以是周期函数，周期为6.综合类型综合1：根据对称性或周期性求函数值【例5】（2020秋•崇明区期末）★★★☆☆已知函数，对任意，都有为常数），且当，时，，则．【答案】2【解答】解：因为对任意，都有为常数，所以，从而，即的周期为4，所以（1），故答案为：2．【例6】（2019·上海虹口区·高三月考）★★★★☆若函数，则的值为________.【答案】【详解】根据题意，函数，当时，，则，，当时，①，②，①+②得，∴，即，，又，而，，，∴；故答案为：．【练习】（2019秋•浦东新区校级期中）★★★☆☆设函数满足对任意，都有成立，，，则．【答案】【解答】解：因为，，（1），所以，两式相加得，即：，故，即是以6为周期的周期函数，，，（3）（4）（1）（1）（1）（1）．故答案为：．【练习】（2016·上海市七宝中学高三期中）★★★☆☆已知偶函数对任意都有，则_________．【答案】0【详解】解：因为是定义在R上的偶函数,,∵对任意都有,令,则,,即函数是最小正周期为4的函数,.故答案为：0.

综合2：根据对称性或周期性求函数的解析式【例7】（2019·上海市七宝中学高三期中）★★★★☆已知周期为2的偶函数的定义域为，且当时，，则当时，的解析式为________.【答案】【详解】由题可知，当，，令；当时，，则，又函数为偶函数，故，将代入可得，即故答案为：【例8】（2018·上海市宝山区海滨中学高一期中）★★★★☆设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；（2）对于整数，当时，求函数的解析式.【答案】（1）证明见解析；（2）；【详解】解：（1）因为

所以：是以2为周期的函数；

（2）∵当时，，函数是定义在上的偶函数

∴当时，，

∴时，，

∵是以2为周期的函数，即，

设，则，

，

即.

【练习】（2017·上海杨浦区·高三期中）★★★★☆已知函数的定义域是，且，，当时，.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）求在区间上的解析式.【答案】（1）奇函数，理由见详解；（2）；【详解】（1）因为函数的定义域是，关于原点对称；由得，即函数由为周期，所以，由得，所以函数是奇函数；（2）当时，，因为时，，所以，又，所以；当时，，所以；因此由（1）可得：.

1、（2021·上海市西南位育中学高一期末）★★★☆☆已知函数，对任意，都有（为非零实数），且当时，，则___________.【答案】【详解】当时，，则，对任意，都有（为非零实数），