沪科版九上《解直角三角形》

初中数学单元作业设计基本信息年级教材版本单元名称数学级第一学期沪科版解直角三角形单元组织方式课时信息序号课时名称对应教材内容1锐角的三角函数第23.1(P112-116)230°、45°、60°角的三角函数值第23.1(P117-119)3一般锐角的三角函数值第23.1(P120-123)4解直角三角形第23.2(P124-125)5解直角三角形的应用(1)第23.2(P126-128)6解直角三角形的应用(2)第232(P128-130)二、单元分析(一)课标要求了解锐角三角函数、解直角三角形的概念，通过实例认识锐角三角函数(sinA、cosA、tanA)，知道30°、45°、60°角的三角函数值，运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。课标在“知识技能”方面指出：了解锐角三角函数、解直角三角形的概念，逐步了解函数思想。在“数学思考”方面指出：体会方程思想，建立符号意识；体会转化思想，运用数形结合思想，发展推理能力；锻炼独立思考能力，体会数学的基本思想和思维方式。《解直角三角形》是沪科版(2013年版)，本章的主要内容是锐角的三角函数的概念(主要指正弦、余弦和正切的概念)以及利用锐角的三角函数解直角三角形，这些内容是中学阶段“空间图形”的重要知识。本章内容是在同学们学习了相似三角形、勾股定理和函数等有关知识的基础上研究的，这些知识是学习本章内容的直接基础。本章的重点是锐角的三角函数的概念和直角三角形的解法；学生学习的难点是锐角的三角函数的理解与应用，因为锐角的三角函数的概念反映了一个锐角的度数与实数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及sinA，cosA，tanA等函数的符号表示方法，学生都是第一次接触，所以，同学们理解和认识起来都有一定的难度。学习本章的关键是结合图形，遵循“从特殊到一般，从实践探索到证明”的方式呈现正弦函数概念，在学生通过实验、观察、归纳、猜想等求知过程的基础上，建立起角度与数值之间的对应关系，从而正确掌握锐角的三角函数的概念，真正理解直角三角形中边、角之间的关系。把实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，进而解决问题。因此在教学中，引导学生，审清题意，并根据题意画出示意图。结合图形，求得结论。(三)学情分析从学生的认知规律看：在直角三角形的边角关系，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而对于两边的比与一个锐角的关系，具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，学生还有些困难，易混淆，也易出错。从学生的学习习惯、思维规律看：解直角三角形往往需要综合运用勾股定理、锐角三角函数等知识，具有一定的综合性。因此恰当选择锐角三角函数，运用数形结合思想，把已知与未知联系起来学生会比较容易接受。学生是学习的主体，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习本节课知识的主要方法，“问题情境—合作探究—建模应用—归纳理解—自测自结”是本章的主要教学模式，“情智启动—情智初显—情智共生—情智升华—情智飞跃”是本章要做到的的情智变化，需直观呈现教学素材，更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。三、单元学习与作业目标1.知道锐角三角函数、解直角三角形的概念，通过作业练习加深对正切、正弦、余弦的认识，提升学生的符号意识；2.掌握30°、45°、60°角的三角函数值，会用它们进行简单的四则运算，培养学生思维的严谨性和数形结合的运算习惯，提升运算能力和推理能力；3.经历解直角三角形的应用过程，加深对新知的理解，发展学生的数学思维能力。四、单元作业设计思路分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”(面向全体，体现课标，题量3-4大题，要求学生必做)和“发展性作业”(体现个性化，探究性、实践性，题量3大题，要求学生有选择的完成)。具体设计体系如下：五、课时作业1.作业内容BC4(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，则tanB＝______(2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3，AC=12则AB=______(3)如图是一座水库大坝横截面的一部分，若已知坝高h＝6m2.时间要求(10分钟以内)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图第(1)、(2)题要求学生会运用正切的概念解题，加深对概念的理解和运用。其中，第(2)题考查学生对概念的理解的同时，考查学生对勾股定理的应用。作业评价时要关注学生对题中“正切”概念的认识,需要学生理解“正切”概念的同时，培养学生的数形结合思想。1.作业内容(1)计算图(一)、图(二)中坡面AB和A1B1的坡度.(二)(2)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4m，此时，他离地面的高度为h＝2m，则这个土坡的坡角∠A＝________．(3)如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是()A．7米B．9米C．12米D．15米2.时间要求(10分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图作业(1)是让学生再次加强对“坡度、坡角”概念的理解，并通过分别计算感受运算方法与技巧。第(2)题则是反向利用概念的性质求出角度的大小。第(3)题为坡度与坡角及构造直角三角形的过程让学生再次经历概念的形成过程及计算的具体要求，加深对概念的理解，体会数学的应用价值。1.作业内容①若∠A=30°，则sinA=，cosA=，tanA=。③若tanA=1，则∠A=。(3)．在△ABC中，若cosA=tanB=则∠C=2.时间要求(10分钟)3.评价设计①sin60°-tan45°； ①sin60°-tan45°； B评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图三个题目均是对30°、45°、60°角的三角函数值的简单应用，旨在让学生能熟练的运用30°、45°、60°角的三角函数值进行计算。本节易错点是弄混30°、45°、60°角的三角函数值，为了学生不搞混，练习及讲解过程中应引导学生理解推导过程和通过表格总结正弦、余弦、正切函数的增减性。作业内容(1)计算②cos60°+tan60°；(2)如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A(∠ACB=90°)，测得∠CAB=45°。问河宽是多少？CA2.时间要求(10分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合4.作业分析与设计意图(1)提高学生的综合运算能力；(2)提高学生将实际问题转化成数学问题的能力，并体会数形结合思想的应用。1.作业内容(1)求下列三角函数值(精确到0.0001)：(2)已知cosA＝0.7038，求锐角A的度数．2.时间要求(10分钟)3.评价设计(1)让学生熟练掌握以度为单位的锐角，按cos或(1)让学生熟练掌握以度为单位的锐角，按cos或tan后直接输评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图入数字，再按＝得到锐角的正弦、余弦、正切值．(2)理解用计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的作业内容(1)比较大小：sin37°，cos52°，sin41°上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图通过练习让学生熟练掌握比较锐角三角函数值的大小的方法：(1)先直接利用计算器计算锐角三角函数的值，再比较大小；(2)先利用互余两角的三角函数关系转化为同一种三角函数，再根据三角函数的增减性进行比较：①正切值随着锐角的增大而增大；②正弦值随着锐角的增大而增大；③余弦值随着锐角的增大而减小．反之亦成立．1.作业内容1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝3b，则∠A＝______度，sinA＝________．3．在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．A＝60°，b＝4，求a；要求(10分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图三个题目分别从学生熟悉的直角三角形中边的关系，角的关系，边角关系设计，引导学生发现直角三角形中只要有两个条件就可以解直角三角形(至少有一元素是边)，强化练习的同时，提高学生的分析、组织、概括能力。经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。1.作业内容(1)将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是 A.cmB．2cm C．4cmD.cm为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长(结果保留根号)．1.作业内容(3)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．2.时间要求(15分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图三个题目通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯。(1)热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？(2)热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，这栋楼高1603m，热气球与楼的水平距离为多少米？2.时间要求(10分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图题目设置旨在引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过一题多解，培养学生的求异思维。一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到的思想方法。1.作业内容(1)站在一栋楼的顶端A处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，这两栋楼间的水平距离为240m，楼BC有多高？(2)小明在地面A处，测得楼顶B的仰角为30°，向前走60米到达D处，测得楼顶B的仰角为45°，这栋楼有多高？(结果保留整)(3)小明在地面A处，测得楼顶B的仰角为20°，向前走60米到达D处，测得楼顶B的仰角为50°，这栋楼有多高？(结果保留整数)(sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36，tan20°≈1.2)2.时间要求(10分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图通过两个变式使学生意识到：尽管实际问题的背景发生了变化，但解决问题的方法没变，实质都是在利用解直角三角形的知识解决实际问题。变换实际问题背景和图形，学生尝试运用所学独立解决问题，巩固利用解直角三角形解决实际问题的方法，同时培养学生的知识迁移能力，提高运算能力。让学生学以致用，锻炼学生的实践操作能力，同时既培养学生应用数学的意识又培养学生交流合作意识。1.作业内容(1)如图，一船以20nmile/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C位于北偏东30°，已知灯塔C周围10nmile内有暗礁．问这船继续向东航行是否安全？(2)利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90m，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°，测得乙楼底部B点的俯角β为60°，求甲、乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值)2.时间要求(10分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图两个题目旨在让学生主动探讨，以加深对方向角的运用．同时，培养学生主动探究、积极思考的学习习惯，激发学生的学习兴趣．题目应从C点向AB作垂线，构造直角三角形是解题关键。1.作业内容(1)一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD．(单位：米，结果保留根号)(2)如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(精确到0.01海里)(3)一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最短的水平距离该是多少？(精确到0.1米)2.时间要求(10分钟)3.评价设计评价指标等级备注ABC答题的准确性过程错误、或无过程。答题的规范性解法的创新性综合评价等级4.作业分析与设计意图(1)为简单的直角三角形的应用在梯形、截面问题中的应用，主要为构造直角三角形；(2)因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线，AB是南北走向的一条直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BCP均为直角．再通过65°角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34°角与∠BPC互余的关系求∠BPC．(3)解直角三角形的方法解决实际问题的步骤主要为以下三步：(1)审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成的直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中。(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形。55六、单元质量检测作业(一)单元质量检测作业内容一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是()A．sinA=sinBB．cosA=sinBC．sinA=cosBD．∠A+∠B=90°2.在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是()aa3．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最