解直角三角形知识点

解直角三角形知识点10.101解直角三角形一、锐角三角函数的定义:RTABC,b在中，?C=90?，、、分别是?A、?B、?C的ac对边，则:，Aa的对边，Ab的邻边sinA,,cosA,,斜边c斜边c，Ab的邻边，Aa的对边tanA,,cotA,,，Ab的邻边，Aa的对边aacA,sinc,常用变形:;等，由同学们自行归纳。sinA二、锐角三角函数的有关性质:0sin1,,A0cos1,,Atan0A,cot0A,1、当0?<?A<90?时，;;;sintan2、在0?90?之间，正弦、正切(、)的值，随角度的增大而增大;余弦、余切(、coscot)的值，随角度的增大而减小。三、同角三角函数的关系:sinAcosA22tancot1AA,sincos1AA，,tanA,cotA,cosAsinA22(用定义证明，易得，同学自行完成)常用变形:sin1cosAA,,cos1sinAA,,四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系:asincoscos(90)ABA,,,:,如图1，由定义可得:同理可得:csincos(90)AA,:,cossin(90)AA,:,tancot(90)AA,:,cottan(90)AA,:,五、特殊角的三角函数值:Acos,tan,cot,三角函数sin,13330?3A30?22322322245?112260?45?BC133BC60?321223六、解直角三角形的基本类型及其解法总结:类型已知条件解法2a2，,:,，BA90tanA,cab,，，，ba两直角边、b两边a22，,:,，BA90sinA,bca,,ac直角边，斜边，，c2a，,:,，BA90baA,cot，锐角A，，c,直角边a一边sinA一锐角斜边，锐角Ac，,:,，BA90acA,sinbcA,cos，，七、三角形的面积公式:,ABCb已知中，?A、?B、?C的对应边分别是、、，如图2，过点A作AD?BC于点D。在acADADABB,sinADcB,sin中，，即:()sinB,RTABD,AB111(其中:?B为、的夹角)SBCADacBacB,,,sinsinac,ABC222111同理可得:SacBbcAabC,,,(三角形的面积公式)sinsinsin,ABC22211由面积公式可得:acBbcAsinsin,22ab1caBbAsinsin,,,两边同时除于得:2sinsinABabc,,同理可得，正弦公式:sinsinsinABC八、余弦定理ADbC,sinBDBCCDabC,,,,cos如图2:，，在直角三角形ABD中，由勾股定理得:222222整理得:ABADBDcbCabC,，,,，,(sin)(cos)2222222222cbCaabCbCbCCaabC,，,，,，，,sin2coscos(sincos)2cos222222b,,，,cbaabC2coscababC,，,2cos整理得到余弦定理:(?C为、的夹角)a同理可得:(余弦定理及其变形)222bca，,222cosA,abcbcA,，,2cos2bc222acb，,222cosB,bacacB,，,2cos2ac222abc，,222cosC,cababC,，,2cos2ab九、三角函数的高中定义:(图中的圆半径为单位1)yyxsin,,,ytan,,cot,,如图3，同理可得:cos,,x，，如图4，也可以得到相同的结rxy论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。3十、三角函数与相似:如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解:DEBCADABxx，3.2sinA,,cosA,,,,AEACAEAC610DEBCx6如图6，tanA,,,,AEAB48备注:三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些十一、相似与直角三角形的射影定理:C222直角三角形射影定理:CDADBD,ACADAB,BCBDAB,CDBD2ABtantanABCDCDADBD,,，,,,DADCDBCBDACAD22cosAACADAB,,,,cosBBCBDAB,,,,ABACABBC十二、三角函数与一次函数设一次函数经过点与那么我们可以列出方程组:Axy(,)Bxy(,)ykxb,，1122ykxb,，,yy,1121k,tan,则可以得到:如下图所示:k,,ykxb,，xx,2221,B(x,y)22y2-yy21A(x,y)11αy1x-x21αOx1x2十三、解直角三角形的实际运用41、仰角与俯角:在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。如图所示(hli2、坡角:如图所示坡面的铅直高度()和水平长度()的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作，即hhi,，通常写成1:m的形式(坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有。,,,itan,ll3、方向角:从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示:射线OA为北偏东60?，射线OB为南偏西30?，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。练习题1.如图，已知?ABC中，?ABC=900，AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距lll,,123ll,离为2，ll,之间的距离为3，则AC的长是()1223A.B.C.D.72172542第1题第2题2、如图，ABCD是一个正方形，P、Q是正方形外的两点，且?APD和?BCQ都是等边三角形，则tan?PQD()31,62,23,23，A.B.C.D.240045,A,903、当时，下列不等式中正确的是()5tanA,cosA,sinAcosA,tanA,sinAA.B.sinA,tanA,cosAtanA,sinA,cosAC.D.4、如下左图，将一个Rt?ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20?，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示)，则木桩上升了()A、8tan20?B、C、8sin20?D、8cos20?5、如上右图，?ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则?ABC的面积是()A、B、12C、14D、21PAA6、如图，某航天飞机在地球表面点的正上方处，从处观测到地球上的最远点，若?Q=，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是,QAP()RR,,RR(90),,,,A.B.,R,Asin180sin180,,RR(90)，,,RR(90),,,,R,C.,R,D.Pcos180sin180,,QO7、某水坝的坡度i,1:3，坡长AB,20米，则坝的高度为()A(10米B(20米C(40米D(203米8、如图，直径为10的?A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧?A优弧上一点，则?OBC的余弦值为()1343A.B(C.D(24529、图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点距桌面A的高度为10公分。如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分点距桌面时，A的高度为()616,,A(B(C(18D(1922,3310、如上右图，?ABC和?CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列BC结论:?tan?AEC=;?S+S?S;?BM?DM;?BM=DM.正确结论的个数是()??CDE?ACEABCCD(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个填空题ABCDCDMNMM1.如下左图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点(点在长边上)出发沿虚线射mBCMCn,，,CMN,B向边AB，然后反弹到边上的点.如果，.那么点与点的距离PP为.AB?N,?CDM2、如上右图，在Rt?ABC中，?ABC=90?，?ACB=30?，将?ABC绕点A按逆时针方向旋转15?后得到1C1?，ABB1C1交AC于点D，如果AD=2，则?ABC的周长等于(3、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB?CF，?F=?ACB=90?,?E=45?,?A=60?,AC=10,则CD=(4(如上右图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，?A=90º，?C=30º(折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8(则求?BDF=度，AB=。5、五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45?方向;然后沿北偏东60?方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离为。7解答题SAFD11.如图，已知BC?AD于C,DF?AB