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文档简介
♦教材习题解答
练习(P,)
1.(1)一个圆锥.它可看做是个直知三角形绕其一条直角边旋转而成;
(2)四棱柱.它的各个面都是矩形,且侧棱垂直于底面;
(3)一个阅柱与一个网锥的组合体.上部分为风就.下部分为圆柱;
(4)一个棱柱里面挖去了一个圆柱.
2.(1)正五棱柱;(2)例推.
3.略.
习题1.1(B)
A组
1.(DC(2)C(3)D(4)C
2.(1)不是台体.因为几何体的“侧梭”不相交手一点.不是由平行2“底面”的平面截
棱锥截得的,
(2)(3)也不是台体.因为不是由平行千棱推和圆锥的底面的平面截得的几何体.
3.(】)由留锥和例台组合而成的简单组合体;
(2)由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体.
4.两个同心的球而围成的几何体(或在一个球体内部挖去一个同心球体得到的简
单组合体).
5.略.
B组
1.剩下的几何体为五棱柱ABFEA'截去的几何体为,•极柱
EFH'"GC'.
2.略.
♦教材习题解答
练习(PH)
1.(1)略;(2)略.
2.(1)四棱柱(图略);
(2)咧锥与半球组成的简单组合体(图略);
(3)四棱柱与球组成的简单组合体(图略);
(4)两个阅台组合而成的简单组合体(图略).
3.(1)五棱锥(三视图略).
(2)四个圆柱组成的简单组合体(三视图略).
4.三棱柱.
♦教材习题解答
练习(p“)
1.(1)如图12-313所示.
(3)如图1-2-315所示.
图1・2•3•15
点评考查平面图形的直观图画法.
2.(DxZ(2)X(3)X(4)\/
点评考查直观图的画法理论.
3.A.
4.如图1-2316所示.
点评考查立体图形的宜观图画法.
图12-3-17
点评本例考查由三视图而直观图的能力.
习题1.2(P„)
A组
1.(1)如图12318所示.
n□
图12318
(2)如图12-319所示.
图12319
(3)如图12-3-20所示.
图12■320
点评本题考直立体图形的三视图的画法.
2.(1)三棱柱”2)圆台;(3)四棱柱;
(4)四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体.
3.略.
4.略.
5.略.
B组
1.略.2,略.
3.此题答案不唯一,一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体,如
图12-3-21.
图】23-21
♦教材习题解答
练习(PJ
1.解:设圆锥的底而半径为r.母线长为人则由题意得“一*尸•X”.①
又圆锥的侧面展开图为半㈣.所以有2w=H.即/=2r.②
将②代入①式得。=:如广,
・・厂=丁•即r=----♦
OK3〃
故圆锥的底面圆直径为V标.
点评考查侧面展开图与咧锥的不变关系及公式的应用.
2.解:机器零件的表面积可看做是阴柱的侧面积加上棱柱的全面积.
•••圆柱的侧面积S,=2nr«/=2itX3X25=150E471(mm:3
棱柱的全面积S:=12X5X6+2X6X12X12X亨=1108.25(mm).
,一个机器的全面积S=S|+£=1579.25(mm).
则10000个零件的全面积为15792500mm」—15.7925nr.
故需锌的重量为15.7925X0.11=1.74kg.
点评本题考查豆杂儿何的表面积求法和解实际问题及运算能力.
♦教材习题解答
练习(P)
1.增大到原来的8倍.
2.解:正方体的对角线长为西”.球的半径R=ga.
;•乙=+K尺「T"•(卓")=gm,cm」.
3.解"=JKR-100.
3V4穴
S=4nR--IK•J("—s/300'X4K—,360000.=104(cm,).
点评以上三题考查公式的灵活运用能力.
习题E3(P„)
A组
1.解:侧面都是等腰梯形.且上底为8cm.下底为18cm.侧棱长13cm,可得斜高
/J=J13“(上/J=I2.S>>=5X^y^X12=78O(cm2).
答:侧面积为780cm;.
点评本题考查校台中的直角梯形的应用和极台的侧面面积公式.
2.解:圆台的侧面积S.-ir(r4R)•/.圆台底面枳S—S,+S1一k(广•R).
由己知得K(r+R〃=(尸~R)K.A/--
r-+K
点评本题考查对圆台侧面积、底面积、表面枳概念的理解♦要将三者区别开来♦
另外考查了解方程的能力.
3.解:设正方体的校长为a.则V小一十乂4”一'
剩余几何体的体积V=V人一“'曰=3•八
所以棱椎的体积与剩下的几何体的体积之比为1«5.
点评本题考杳三棱锥体积的求法和“割补法”求儿何体的体积的方法.
4.当;棱柱形容器的侧面AAJiJi水平放置时•液而部分是四棱柱形.其高为原三
棱柱形容器的高.侧棱AA,—8.设当底面AB('水平放置时.液ifli高为由己知
条件知.四棱柱底而与原三楼柱底面面积之比为3:4.由广两种状态下液体体积
相等,所以3X8=4X/,./L6.因此ABC水平放置时,液面高为6.
点评本题考杳体积变换能力.要注意在儿何体转换过程中.水的体积始终不变.
5.解:由题息•需贴瓷博的部分为四棱柱与四桎台的侧面积之和.
SHHHW=4X40X80=12800(cm).
四棱台的斜高I=8=5伍(cm).
一」><^^乂56-1559(cm).
故需要底砖的面积数为12800+1559=14359(cm).
点评本题考杳简单组合体的侧面积求法和解决实际问题的能力.
6.提示:先求出等腰悌形的面积,再乘以北京到上海的铁路线长即可.请同学们自己
完成.
B组
1.解:由三视图画出它的直观图如图13216所示.
且A,B-A'8——8cm.
AJ}t=A'D'-C'8'-4cm.
球的直径为4cm.AB=CD=2Ocm.
EF-(;//-12cm.AD=B(、=16cm.EH—FG=8cm.
A|A'=B|B'=C£'=D|D'=20cm.
先求出四棱台A8EF面上的斜高
hJ=J+Z=20cm.
再求出四极台BF(X,面上的斜高人'v:26cm.
则s*=4*R=tx-2--16n(cm).V„==-yit-2—cm.
S"”=S"M”・=(8+4)X2X20=480cm1=4X8X20=640cm',
S“M”二S“*s+S,a+SY=2(^^)X2—+2(^^)X2yT-2OX16+
12X8=(112y5+416)cnr=;(12X8+2OX16+/12X8X2OX16)X2
*>
o
二彳(32730+416)cm'.
«5
•••奖杯的表面积S=S"+S“M"+S”M”=
16n+180-1126+416*1193cm:奖杯的体积V-
V“+V=MH+匕iKa=法+640+等(32月+416)*1
067cm.
答:奖杯的表面积约为1193cm:.体积约
为1067cm3.
点评本题考查观察图形想象力,运算能力及解综合
题的能力.
2.证明:如图13-2-17所示.因为三棱柱的侧面都是矩形,则侧面积为底乘以
高.而高相等.所以要证任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积,只要证明
三棱柱上底面上任意两边的和大于第三边即可•而这是显然的.
点评本题考查将空间问题转化成平面问题的能力.
3.(1)以斜边为轴的直观图如图13218(1)所示.三视图如图I3218
(2)所示.
图13218
(2)以直角边为轴旋转而成的几何体的直观图如图13-2-19(1)所示.三视图
如图13219(2)所示.
图】3219
点评本题考宣而自观图和二视图的能力.
♦教材习题解答
复习参考题(P)
A组
1.(1)圆柱体;
(2)三棱柱或是三楼台;
(3)”m
(4)〃'♦〃.〃;
(5
2.如图131.
图132
点评号查由三视图还原成实物图和将实物图画成直观图的能力.
4.略.
5.解由题意得三棱柱的底面三角形外接例是圆柱的底面,即三角形外接的直径
是阿柱的底面直径或母线.
设圆柱的底面半径为R,则VKR•2R.:.R
在中.设边长为a.则《“•y--R.BP“=闻?.
S的二条一莘R..•.八“—S…2”毛•R•2"挈K=挈•另
=吗
4"
6.解先求出一个接头需要的铁皮S,.然后再计算总量S.
VS,二农(八+广)/=〃(25+10)X35=l225«cm).
・・・S=10()00X8^12250000农=12250000X3.1
—37975000(cnr)-3797.5(m)―3798(m“).
答制作1万个这样的接头需要3798m的铁皮.
点评本题考查阅台侧面积的求法及单位换算.
7.表面积约为387.体积约为176.三视图略.
8.略.
9.(1)64»(2)8»(3)24;(4)24|(5)8,48cm.8cm'.
10.它们的表面积分别为36Kcm*2Incm♦—Kcm;
n
1Al
体枳分别为16TCrm.12recm.-77-wcm;
1o
三视图略.
B组(P,.)
1.(1)三视图如图133所示.直观图如图134所示.
点评木题考查空河想象能力和湎图能力.
(2)5”=8X;X30X30Xsin60J800G(cm:).
V=2X;S加.“•/,-2X;X30X30X~(15―尸=900072(cm).
点评本小题考查多面体的表面积和体积求法.
2.解V„--yK/?=yX3.14X25-65H7(cm).
2
水中球的体积为V,-V„Xy-43611(cm).
V一w=80X60X55=264000(cm').
.•.V;,Art-200000=264000200000=64OOO>43611.
故水槽中水不会溢出.
点评本题考查体积公式的求法和解实际问题的能力.
3.解它是由图1-35所示的图形L绕线/旋传而成的.其中L
与/不相交.
点评本题考查观察图形的能力和想象能力.
4.如图136.由题意得.BC=.rcm,EF=5cm,且四边形ABCD
为正方形•二()F-(cm).()E—JEFT)F-.25-'二
图I35
••.V=y•S,iHa>•OE-y.»-V,l00一三二
!工:•/100-r5.
0
点评考查四棱锥的体积求法和平面图形与立体图形
之间的关系.
♦教材习题解答
练习(P“)
1.D解设直线两两相交♦交点分别为A.B.C.如图21122.
则A.B.C三点不在一直线上.
.•.Aea.8Ga..,.CUa.同理aUa.ACa.
.•.由“•6,c三直线可确定一平面.
点评本题考查公理2.
2.(1)不共面的四点可确定4个平面.
(2)共点的三条直线可确定1个或3个平面.
点评本题考查公理2的应用.
3.(1)X(2)v(:i)v(4)0
(】)•••平面a与平面0相交.则a与3有一条公共直线.二有无数多个公共点.
(2)在已知直线上取不同两点.再加上直线外一点构成不共线三点.由公理2知确
定一平面.
(3)在两条直线上分别取•点(不同于交点),则构成不共线三点.由公理2可知确
定一个平而.
(4)•.•三个不共线的点.可确定一个平面....两平面重合.
4.如图21123.
♦教材习题解答
练习(p“)
1.(1)3条.分别是BB'.CC'.DD'(本题考查公理4).
(2)相等或互补(等角定理的考查).
2.(1).../8'(、幺'是异面直线A'C'与BC所成的角.
在RtzM'B'C'中,A'B'—2雷„—2痕—
与A'(、’所成角是43°.
是AA'与故''所成的角.
在♦△B'BC'中.B'C'=AD=2V5\BB'=AA'=2,
BC'=4.1/li'HC-60-'与BC'所成的角为60°.
点评本题考查异面直线所成角的求法.
♦教材习题解答
练习(P“)
因为a与平面a不平行且,,Ua.则,,与a的位置关系为相交.即“与a有一个
公共点.所以(A).(D)两选项排除.若a内存在一条线〃与“平行,则不妨设a与a
交于()点,在a内.过。点作直线,〃〃.则由公理4可知a〃’.这与“与,交于。点
矛盾.所以选答案(B).
点评此题考查直线与平面的位置关系•同时为将来判断直线与平面平行更
定了基础.
♦教材习题解答
练习(P“)
三个平面两两相交,那么它们的交线有一条或三条,如图2149.
图2-14-9
点评本题考查空间平面的位置关系及空间作图能力.
习题2.1(P“)
A组
1.如图21t10.
2.(1)如图211.(2)如图21412.
3.(1)^(梯形的上、下底平行.由平行线定义知共面)
(2)X(当问上两点恰好为直径两端点时.过这三点不能确定平面)
(3)3(由平行公理4可得结论)
(4)X(当。〃〃时也无公共点)
(5)X(a.6可能平行.也可能相交)
点评本题考查平面的性质.空间两直线的位置关系.
4.(1)6(由异而直线所成角定义或等角定理)
(2)8(由异而直线所成角和平面内线线垂直的判定)
(3)2(由公理2可得结论)
(4)平行或在平面内
(5)平行或相交
(6)相交或异面
点评本题考查空间两直线的位置关系.
5.共面
点评本题考查公理2的应用.
6.证明,且AA'=BB'.
,四边形AA'HB'为平行四边形.
二ABJLA'B'.同理BCJLB'C'.
•••NA/SC—/A'B'C'.
点评本题考查公理I及其应用.
7.三条直线两两平行且不共面.一共确定三个平面.如果二条直线交于一点则最多
确定三个平面.
8.正方体各面所在平面分空间成27部分.
点评本题考查学生的空间想象能力.
B组
1.(DC(2)D(3)C
点评本题考查空间想象能力.异面直线所成知的求法.
2.证明:因为A8na=P.A8U平面ABC.
所以PG平面ABC.P€a.
所以P在平面A8C与平面°的交线上.
同理可证.Q和R均在这条直线匕
所以P.Q,R三点共线.
点评先确定•条宜线.再证明其他点也在这条直线匕
3,证明:如图21I13.连接AC.EF.G".
♦EF分别为AB.BC中点.
:.EF^AC.
..D(;Dll1
,DC~DA~T'
...EF〃〃G且EF#H(;.
.••四边形EFGH为梯形.
,梯形两腰EH.FG相交,设交点'为K.
:E”U平面A8L).
平面A8D.
FGU平面C8D.
.\K£平面CBD.
而平面A8DA平面(m=8D.
:.K£BD.
•••EH.FG.BD交于•点K.
点评本题考查公理2和公理工
♦教材习题解答
练习(P“)
1.(1)平面OC'D'平,平面A'B'C'D';(2)平面BB'C'C.平面CC'D'D;(3)平面
BCC'B',平面A'B'C'D'.
点评考查直线与平面平行的判定定理.
2.直线〃平面AEC.
证明:如图2-2-116.连接BD交AC广().连接
OE.在ADBD,中,OE为三角形中位线.
:.OE//BDX.又一BDa平面AEC.OEU平面AEC,
二8出〃平面AEC.
点评考查直线与平面平行的判定定理.充分利用三
角形中位线性质.
♦教材习题解答
练习(P“)
1.(1)错误.以长方体为模型.如图22213,E.
F分别为A'B'.C'D'的中点.A'D'U平面A'B'C
D'.EFU平面平面BC
EF〃平面BCC'B'.但平面BCC'B'与平面A'B'
(力相交.
⑵正确.图2-2213
点评本题考查平面与平面平行的定义和判定定理的条件.
2.提示:容易证明M.V#EF.NA〃EB.进而可证平面AMN〃平面EFDB.
3.(A)不正确.以长方体为模型,如图22-2
14.则在平面ABCD内与平行的所有直线都
与平面BCC'B'平行.但平面ABCD与平面
是相交的.
(B)不正确,以长方体为模型.如图2-22
M.A'D'〃平面ABCD.A'D'〃平面HCCB'.但
而A8CD与面BCC'B’相交.
(C)不正确.以长方体为模型.如图2-2-214.A'D'〃平面BCC'B'.BC”
平而A'B'C'D'.但平面BCC'B'与A'8'C'D'相交.
(D)平面与平面平行的定义....应选(D).
点评本题通过对两平而平行判定的分析.培养学生周密分析问题的能力.
♦教材习题解答
练习(13)
(DX同时过两直线的平面不符合条件.
(2)X“与a内直线有平行和异面的两种位置关系.
(3)Xu与b可能出现三种位置关系:平行、相交、异面.
(4)x/;a〃a.过“作平面,交aPr.WJa//c.:.l,//e.:.l,//a.
点评本题考直线面的平行关系的判定和性侦.
习题2.2(P“)
A组
1.(A)以长方体为模型•如图22414.则平面
ABCD与平面ABB'A'都与直线D'C平行,但两平
面相交.
点评本题考查两平面平行的判定.
(2)(D)直线a不与a平行,则aUa或a与相交.
点评本题考查直线与平ifif的位置关系.
⑶(C),..0人.「£a.,口0".
.•.由P和直线“可确定一平面氏则8Da—/-P£/・:•存在一条直线,Ua且/〃a.
假设/不唯一.不妨设还存在一直线/'Ua且/'〃a.则与过一点且平行于一直线
的直线有且只有一条矛盾....只有一条符合条件的直线.
点评本题考查直线与平面平行.
2.(】)平行或相交.如图22I15.
图22415
(2)相交或异面.如图2•2416.
点评本题考查空间直线与平面的位置关系.
3.证明:U);E.F.G分别是A8.8C.CD的中点.
:.FG//HD.
又,:FGU平面EFG.BD(Z平面EFG.二BD//
平面EFG.
(2)同理A「〃平面EF(;.
点评本题考查直线和平面的判定定理.
4.解:在直线,,上任取•点。.过()作/,'〃/,.则由。与,,'确
定的平面a即为所求.如图2-2417,V«Ca.//Ca.
:.1//a.
点评本题考查线而平行的判定.
5.证明:•••AC〃川..由AC.HD可确定平面f.则ABC
.且8与a交i'CD.":AB//a.:.AB//CD.
四边形ABCD为平行四边形.;.AC=BD.
6.证明:•;A8〃a.A8U8.ari8=(、D.,A8〃CD.同理AB〃EF.,(、D〃EF,
点评本题考查线而平行的性质.
7.证明:'.•AA'/B8'..'.四边形AA'B'B为平行四边形.
;ABU平面ABC.A'B'a平面ABC.
,A'8'〃平面ABC.同理B'C'〃平面ABC.
•:A'B'fl8','=8'..•.平面A'B'(、'〃平面AHC.
点评本题考查平面与平面平行的判定定理.
8.证明::A()=A'().BO—B'C./A()B=NA'OB'.
:..:.ZA'B'O-,/AIiO.:.A'H'//AH.
:ABU平面ABCA'B'U平面ABC.,4'"〃平面AHC.
同理B'C'〃平面ABU
VA'B'dB'C-B'..•.平面A'B'(、'〃平而ABC.
点评本题考查平面与平面平行的判定定理.
B组
1,过P点作MNHAC交VA广M.交VCJX'.过M点作MC〃V8.交A8于P.
过V作NQ〃VB.交8(、FQ•连接(JQ.则平面即为所求.
点评本题考查线面平行的判定.
2,过〃作平面y交a尸直线〃'.;6〃&..",〃/>'.过“作平面8交0于直线“',
•.N〃d与,,相交....a/A
点评本题考杳平而与平面平行的判定定理.
3.连接AF交p于M点.则MH//CI-.:.费一群.同理ME〃AQ.
..AMDE.ABDE
""MF~EF,',BC~EF'
点评本题考查平面与平面平行的性质定理.
4.正确命题序号①②④③」.,平面ABB出〃平面CDD,C..
•••行水的部分和无水的部分始终有两个而平行.而其余各而都易证是平行四边
形(水面与两平行平面的交线)..•.①②是正确的.
而从图中很明显存出在图(1)中.水ifil面积S,—EF•FG—EF•故,.在图(3)中
S-EF-BC.而⑴中的EF小于(3)中的EF..\S〈S:..•.③是错的.
由①.②的正确性知④是正确的.
因为水的体枳一定.形成柱体的高始终是8c..•.底面△EF8的【郁积是定值.
AyBE•EF•sin/8EF为定值.而/8EF为定值.
:.BE•EF为定值....③是正确的.
♦教材习题解答
练习(P“)
1.如图23121.取AC中点。.
:VA—VC..
同理HO^AC.":v()r\n()-(^
,AC_L平面VOB.
又•;VBU平面V()ii.:.AC.VB.
点评本题考查线面垂直的定义和判定定理.
2.(1)A8边的中点;(2)点()是△A8('的外心;
(3)点。是△ABC的垂心.
3.不一定平行.
♦教材习题解答
练习(P“)
分析:折登后的四面体SEF(;(如图2-32-31).
•.,在折段前SG_GE.S(;.GF.
...在折叠后SG..GE,SOA.GF.
乂•.,在折叠后GECIGF-G.
(;EF.
♦••应选A.
♦教材习题解答
练习(PQ
1.⑴0(参考基础知识部分的一个重要结论)
⑵3(性质定理)
(3)\/(直线与平面平行的定义)
2»与a的位置关系有两种MUa或b//a,
点评本题考查直线与平面垂直性质定理的应用和空间想象能力.
♦教材习题解答
练习(P”)
1.A是错误的.因为假设aA0—/.则由两平面垂直的性质知.若平面a内的所有直
线都垂直干氏则这些直线都与/垂直.而在平面a内的直线与/的位置关系不仅
仅是垂直关系.
2.①错误.若平面的己知直线垂直J:另个平面的任意直线.则己知直线就垂直
干另一平面•而一个平面内的直线与另一平而存在平行和相交两种情况.
②正确.在另一平面内存在无数条与两平面的交线垂直的直线.而这些直线都与
第个平面的已知直线垂直.③错误,(参考第1题答案)④:正确.(参考性所定
理)故选B.
A组
1.(1)错误.如图2-3・420.以长方体为模型.平面
储平面ABCD.平面D'B'BD,平面ABCD.
但平面A%7M与平面Q'B'BD不垂直.
(2)正确.(参照长方体的两相对侧面和底面的位
置关系)
图2-3420
2.证明:如图23-I-21.设afly—/.在平面y内作直
线aJJ.
因为al/•
所以a.La・
过a作一个平面日与平面8相交于直线b.
由B〃八得4〃〃・
所以b_La.
又仅=8•所以8,%
3.解:平面VBA和平面VBC垂直.如图23422.
;/VA8=/VA('-90°.VA1.平面A故'.
.,.VA1BC.
又•.•/AB('=90W('」8V.VAVnBV-V.
,以'.平面VAB.又YBCU平面VBC.
,平面V8A_L平面VBC.
点评本题主要考查线面垂直和面面垂直的相互转化.
4.如图2-3423.
取A8边中点。.连接VO.C'O.
由条件V。」一AB.C。.AB.
:.ZV(X'为二面用VAHC的平面角.
易求未)=OC=1./.ZVTX,-60°.
...二面角VAB('的大小为60°.
点评本题主要考查二面角平面角的作法和求法.
5.略.
6.己知VA.V8.V「两两垂直.
求证;平面VAH.平面VBC.平面VAC也两两垂直.
证明:如图23I24.
':VA.VB,VA.VCWBCIVC-V.
J.VA_L平面VBC.又,?VAU平面VAC.
平面VACL平面VBC.
同理平面VAC1平面VAB.平面V8('l平面VAB.
点评本题主要考查线面垂直.面面垂直的判定和性
质•以及两种位置关系的相互转化.
7.解:平面A/O与平面ABCD、平面A'8'C'D'、平而
ABB'A'、平面CC'n'D成角45°,平面ABC'D'与平面
ADD'A'、平面ECC'B'都垂直.
8.证明:•;/(相交垂直于确定
的平面a.
同理/.」a.二。〃/
9.己知Cla=A]a—耳.41Jd.分别是a•/)与a所
成角.
求证血=4.
证明:如图23425.在a./,上分别取点A.及这两点
在平面a的同侧,且AA,=88,.连接A8和A,B,,因为
AA,〃B/S,,AA,-48,.所以四边形AA,BB是平行四边
形,所以AB〃A1,.乂AiBUa,ABUa.所以Ali//a.
设A—也分别是平面a的垂线八A.HH:的垂足.连接A,A.B,H..则AA
-BB.
在Rt"AA和中.因为AA—88.—8%.所以Rt/SAA”A
^RtABB,B.所以NAAiA=ZBB,B.0,0:.
B组
1.证明:如图23426.
•正方体的性质BD.AC.A'AL平面ABCD.
:.A'A.HD.V.ACn/l^-A.
,/”).平面ACC'A'.乂•.FDU平面A'BD.
二平面ACC'A」平面A'BD.
2.解:如图23127.
;V()一平面A8(\二VO.AB.
.'.VA-VB.AD-BD,:.VD^_AB.
W)ClVT>—V.,ABI.平面VIX).
':(、DU平面VD().:.Ali.CD.
•:D为AB中点-8(:
3.已知a..p.a././?:y.aA;3—a.
afly-6.00/-=G
求证:”一.<.
证明,如图23428.
'•'a_y.0_Ly.aD/3-a♦
参考典型例题2知a.Ly.
又,:af}产b.
《♦同理
点评上述三题均是直线和平面、平面和平而垂直的判定
和性质的考查,同时注重考查了转化的数学思想.
4.解:如图23429.
♦VCJ_平面ABC,ACU平面ABC.
AVCXAC.
•••('为圆周上一点.AB是直径.
.,.AC1.BC.
':VCnBC=C.r.AC±平面VBC.
ID,E分别为VA.VC中点.二DE//AC.
平面VBC.
♦教材习题解答
复习参考题(H.)
A组
1.三个平面将空间分成I或6或7或8个部分.
2.连接CE.在上底面过点E作直线/一CE即可.
因为Cg一底面A,BCD,.所以CC,J/•
根据作法知Z±GE.又因为CEJ_CC=C.
所以U平面CCE.因此/,CE.
3.已知直线〃./,.(两两相交且不共点.如图212.交点分_________
别为A.B.C./\
求证:直线a.〃"在同一个平面内./.“q
证明:•••A.H.C三点不共线♦//迎\八!
.•.由A.8.C三点可确定一平面.设为a.
•;AGa,BSa,A£b,BSb,;.bUa.图212
同理"Ua.rUa..…“
••.a./,,,在同一个平面a内.w
4.(1)证明:如图213.在正方体MNPQM'N'P'Q'\\^!\\
中♦连接Q'N'♦则CD/^Q'N:吟UX-
'•Q'^I'//AB.M,v<fl)
.'CD』十AB.图2-13
,四边形ABCD为梯形.
(2)连接MP.连M'P'交CDf-H.交Q'N'于O'.
设MP交A8ra.连a)’.则(X)'_平而MN'P'Q'.
:.OO'_LCD.
•:CD.LM'P'.()()'r\M'P'.
.•.CD,平面MPP'M'.而OHU平面MPP'M'.
:.CDJ_OH.:.OH为梯形的高.
易求Cl)与I.AB-j2a.()H/(XX(Yn邛“,
Z4
=4"传半a=*
Sw弓wur-
点评本题考查公理4和初中知识的综合应用.解法】中利用的是线面垂直的判
定和性质.
5.证明:如图2-14.连接EH.FR.
由正方体性质AE//AtEt.
又,•,AE—A禺.
...四边形AEE,A,为平行四边形.
.,.AAdEE,.
同理AA^FF,.
:.EE、/FF、.
四边形EFF.E,为平行四边形.
:.EF//E,F,且EF-EF,.
6.解:设A8=.r.AD=j,.AA'=z.
则AL=/F+TTF.
又•.•./+》'=,
,+9一6'=>>+y+J
V+u,=优
点评本题考查线面垂直的性质.
7.解:如图215.作\〃)一平面ABCD.垂足为O.
则VOAB.取AB中点H.连VH.OH.KJVHAB.
VVHQVO^V.
.,.AB.平面VHO.
为二面角VA8('的平面角.
易求VH=VAAH-5-1=4.
:.VH=2.
而()H-JAB-1.
;./V/")=60°.图2•M
点评本题考查二面角平面用的作法和求法.
8.证明::"八〃二。....CSa.Ce/,..,()6尺
•.,an••()6/.,()为F与7的公共点.又••,grv
=(♦,()£r.
・•・〃/"三线共点.
9.a//b//c.
证明:由条件a〃〃.,a〃A
乂Ya过“且与平面8交于,'
.**a//c.b//r--•a//h//c.
点评本题考直线而平行的判定和性侦.
10.证明A8•二ABUa.ABU区
VPC_a.二PC.AB.VPD±p..\PD.AB.
VPenPD-P.,AB工平面PCD.
♦.•('DU平面PCD.:.AH.CD.
B组
1.(1)折叠前.ADLAE.CD…CF.折叠后.
A'D±A'E.A'D_LA'F.又A'EAA'F=A'.
所以A'DLffiiA'EF,因此A'D_EF.
2.(1)证明,如图2-16连接BD,.则B,D」AC.
又平面A8,CQ.
3AC.
又FBAB.D.-B,.
平面BB,D,D.
又•••8,DU平面BB.D.D.
同理B,D±A,B.
乂•••AlflACrA,.
.dD.平面ACB.
(2)证明:由(1)知AC,
...〃为的高的交点.
又••'△ACB为正三角形.
J.HH.CJl.AJl为三条中线.
/.//为△Ad的重心.
♦教材习题解答
练习(P“)
1.解:(l)&-tan30°=条(2)/—tan450=1;
{3}k—tan120—tan(180*160°)=-tan600——/;
(4)A=tan135°—tan(180°-45°)——tan45°=1.
点评直接利用&=tana求斜率.
2.解:(1)骷,二>"一乌>0..•.倾斜角a是锐角;
4-187
(2次《,—夸一条一偌V0..•.倾斜角a是钝角•
点评利用两点的坐标求斜率3利用A-tana判断用的大小.
3.解(l)\2=E=0..\a=0。
(2)直线CD_L”轴..Ja=90°;\/
⑶……""一…X
...由Z—tana=1得a=45°.
点评利用A=tan。求倾斜角a.注意特殊情形--斜率
不存在的情况.图3-1-
4.解:如图31113.
♦教材习题解答
练习(P-J
[解⑴3-号方―
(2)机=1.•."/,=4-X(—5)=1.1/」/,.
点评利用斜率的关系判断两直线的平行与垂直是基本方法.
2解k-w-1卜-°~2±
乙醉:1,”从2--51-3.
(1)若AB〃PQ,则仙尸小.则为二“-g.解得,,一;.
⑵若AB.PQ.则如•如一1•即牛匕T=1.解得,,,——2.
习题3.I(P.J
A组
1.解:M由121»&=1得<1=-15°.由1;1110--1得a=135°.
...倾斜角为45°或135,
3.解此“一7=2.解得.r=4.加一上;三—2,解得产3.
1—3—1-3
点评:直线的斜率的大小不随直线上的点的坐标的改变而改变.
4.解:⑴「6、-12.解得,,,--2.
⑵!—迦」L二Tan60=。.解得”,3+])
=4
5.解:Aw=TT7^i=1=彳吃二不二1.:.AB//BC,
又・・・AB.BC都经过点B.,A.B・C三点在同一条直线上.
点评利用斜率相等证明三点共线.是最基本的方法之一.
6.解:⑴£一J=2—4・・"〃/.或。与/重合.
41
(2坨〃/轴•/二〃/轴.A过点P.Q./_不过点P.Q.
〃心
-2015~-a
(3)A|=—5-(—1)=T**J=0—(—4)=T**'~k-"在
同一个坐标系中画出小小如图3126.由图可知,
Z,与I.不重合
点评本题在r提醒我们注意公式/成立的条件是/•,.人存在.且
I,与/不重合.
24/2\N
7.(1)上一1v)xT~I♦工人上L.
U1ti\O/£,
—•6"(-1)
(2)/?(—tan45°—1J--(,、'—1出小:—―1.・•・/」/_・
/八i-5-0_5,_3-03......
(、-A----_1_(_6)--.I.
8.解,设D(“./,).则躺,=匕=3.&小=2,(-/)=3.4.,=。=-2.4“=
«-3a—32—1(2—3
»(1)6+1
•:CD±AB.:.knikw-1•即普-一1,①
VCH//AD.:.krn=As•即—2=
由①、②联立.解方程组得“―0$1.,。的坐标为(0.1).
点评本题综合考行了平行与垂直的基本公式.
B组
1.解:设P点坐标为(“.0).Ar—T-/、,=空一’f?一3.
。一2。一2a-。a-5
•m、,jl.;.(•々=1.解得a=l,或“一6.
\a-2/a—
:.P点的坐标为(1.0)或(6・。).
点评直角的两边垂直.因此可以使用3A-1解题.
2.解出血=岫斗耳?”=-4.
-3—“1-3一-1—12
21
当。〃,时♦&।—&•即二,二〃,—,丁♦解得,〃—3♦
当A_L/一时.3A--八即(一),(J)=-T.解得,”—--y.
3.解…纪第3『唔"f.
•.Fv,—加-,AB〃CD.同理HC//AD.:.四边形ABCD是平行四边形.
又二%•Jt«-=Y•(-夜)=l.;.ABJ_BC,.QABCD是矩形.
点评根据矩形的定义解题•首先证明四边形是平行四边形.其次.有一个角是直
用的平行四边形是矩形.
4.解:依据直角梯形的定义.有一组对边平行•另一组对边不平行.且有一个角为直
角的四边形为直角梯形.利用定义来解题.
_
=1〃,3=122_53_4_5-n
kwi76-—--〃)z_73—一6丁・&,31,~72=--32.A”,2---m.
1-〃
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