2019年湖北省襄阳市中考数学试卷（解析版）

2019年湖北省襄阳市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答

1.（3分）（2019•襄阳）计算|-3|的结果是（）

A.3B.1C.-3D.±3

3

【考点】15：绝对值.

【专题】511：实数.

【分析】根据绝对值的性质进行计算.

【解答】解:|-3|=3.

故选：A.

【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是

它的相反数；。的绝对值是0.

2.（3分）（2019•襄阳）下列运算正确的是（）

-"

A3_2——D2,3——66_j_J2——3n（2\3——6

A.ci-a—aJj.ci*ci—ciC.a•a—aD.）—a

【考点】35：合并同类项；46：同底数幕的乘法；47：幕的乘方与积的乘方；48：同底

数幕的除法；6F：负整数指数累.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数募的乘除运算法则分别化简得出答案.

【解答】解：A、无法计算，故此选项错误；

B、a2,a3=a5,故此选项错误；

C、a6-^-a2—a4,故此选项错误；

D、（a2）~3=a~6,正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数塞的乘除运算，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

3.（3分）（2019•襄阳）如图，直线BC//AE,CDLAB于点D,若NBCD=40。，则N1

的度数是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】先在直角△C2。中可求得的度数，然后平行线的性质可求得N1的度数.

【解答】解：••,CD_LA8于点。，ZBCD=40°,

A90°.

：.ZBCD+ZDBC=90°,BPZBCD+40°=90°.

AZDBC=50°.

:直线BC//AE,

.•.N1=NOBC=50°.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质,

掌握相关知识是解题的关键.

4.（3分）（2019•襄阳）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的

)

来C.斗D.奋

【考点】18：专题：正方体相对两个面上的文字.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】正方体展开图的“Z”字型找对面的方法即可求解;

【解答】解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋;

故选：D.

【点评】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键.

5.（3分）（2019•襄阳）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

8、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.

故选：B.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合.

6.（3分）（2019•襄阳）不等式组<的解集在数轴上用阴影表示正确的是（

.3+x>3x+9

A,B.

D.

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组.

【专题】11：计算题；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可.

【解答】解：不等式组整理得：fX<4,

述《-3

・•・不等式组的解集为X<-3,

故选：C.

【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7.（3分）（2019•襄阳）如图，分别以线段A3的两个端点为圆心，大于A3的一半的长为

半径画弧，两弧分别交于C,。两点，连接AC,BC,AD,BD,则四边形ADBC一定是

（）

A.正方形B.矩形C.梯形D.菱形

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方

形的判定；LH：梯形；N3：作图一复杂作图.

【专题】13：作图题.

【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断.

【解答】解：由作图可知：AC=AD=BC=BD,

...四边形AC8。是菱形，

故选：D.

【点评】本题考查基本作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，

属于中考常考题型.

8.（3分）（2019•襄阳）下列说法错误的是（）

A.必然事件发生的概率是1

B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率

C.概率很小的事件不可能发生

D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

【考点】XI：随机事件；X3：概率的意义；X6：列表法与树状图法；X8：利用频率估

计概率.

【专题】54：统计与概率.

【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0

并且小于1.

【解答】解：A、必然事件发生的概率是I,正确；

8、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；

c、概率很小的事件也有可能发生，故错误；

。、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，

故选：C.

【点评】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小,

概率取值范围：OWpWl,其中必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概

率尸（A）=0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率

越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0.

9.（3分）（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如

下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、

羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）

A.5尤-45=7x-3B.5x+45=7x+3C.D.

5757

【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程.

【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用.

【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，

此题得解.

【解答】解：设合伙人数为x人，

依题意，得：5尤+45=7x+3.

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一

次方程是解题的关键.

10.（3分）（2019•襄阳）如图，是O。的直径，BC是弦,四边形02CD是平行四边形,

AC与08相交于点P,下列结论错误的是（）

A.AP=20PB.CD=20PC.OBLACD.AC平分OB

【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；M2：垂径定理；M5：圆周

角定理.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】利用圆周角定理得到NACD=90°,再根据平行四边形的性质得到CDHOB,

CD=OB,则可求出/A=30°,在Rt^A。尸中利用含30度的直角三角形三边的关系可

对A选项进行判断；利用OP〃CD,C£>_LAC可对C选项进行判断；利用垂径可判断。尸

为△ACD的中位线，则CZ）=2OP,原式可对8选项进行判断；同时得到。8=2。尸，则

可对。选项进行判断.

【解答】解：YA。为直径，

AZAC£>=90°,

•/四边形OBCD为平行四边形，

J.CD//OB,CD=OB,

在RtAACD中，sinA=—

AD2

AZA=30",

在RtZ\A。尸中，AP=MOP,所以A选项的结论错误；

'：OP//CD,CD±AC,

：.OP±AC,所以C选项的结论正确；

：.AP=CP,

，。尸为△AC。的中位线，

：.CD=2OP,所以8选项的结论正确；

：.OB=2OP,

；.AC平分。8,所以。选项的结论正确.

故选：A.

【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的

圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上

11.（3分）（2019•襄阳）习总书记指出，善于学习，就是善于进步.“学习强国”平台上线

后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习.1.2亿这个数用科学记数法表示为L2X

108.

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法就是将一个数字表示成"X10的〃次累的形式），其中

〃表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的〃次幕.

【解答】解：1.2亿=1.2X28.

故答案为：1.2X108.

【点评】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算.科学记数法的表示形式

为aX10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

12.（3分）（2019•襄阳）定义：。*6=旦，则方程2*（x+3）=1*（2%）的解为x=l.

b

【考点】1G：有理数的混合运算；B3：解分式方程.

【专题】23：新定义.

【分析】根据新定义列分式方程可得结论.

【解答】解：2*（x+3）=1*（2x）,

2_1

x+32x

4x=x+3,

x=L

经检验：尤=1是原方程的解，

故答案为：X=l.

【点评】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键.

13.（3分）（2019•襄阳）从2,3,4,6中随机选取两个数记作a和b（a<b）,那么点（a,

b）在直线y=2x上的概率是_1一

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】画出树状图，找到b=2a的结果数，再根据概率公式解答

【解答】解：画树状图如图所示，

开始

a234

/1\Z\I

ft346466

一共有6种情况，b=2a的有（2,4）和（3,6）两种,

所以点（a,b）在直线y=2x上的概率是2=工，

63

故答案为：—.

3

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果

求出力再从中选出符合事件A或2的结果数目如然后根据概率公式求出事件A或B

的概率.

14.（3分）（2019•襄阳）如图，已知添加下列条件中的一个：①/A=N

D,@AC=DB,@AB=DC,其中不能确定的是②（只填序号）.

【考点】KB：全等三角形的判定.

【专题】553：图形的全等；67：推理能力.

【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS,SAS,AAS,ASA,据此可逐个对比求解.

【解答】解：：己知且BC=CB

，若添加①则可由44s判定△ABCgZkOCB；

若添加②AC=Z）8,则属于边边角的顺序，不能判定

若添加③则属于边角边的顺序，可以判定△ABC之△DCB.

故答案为：②.

【点评】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不

难判断.

15.（3分）（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度〃（单位：m）与飞行时间t（单

位：s）之间具有的关系为/1=20-5匕则小球从飞出到落地所用的时间为

【考点】AD：一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用.

【专题】536：二次函数的应用.

【分析】根据关系式，令〃=0即可求得f的值为飞行的时间

【解答】解：

依题意，令6=0得

0=20/-5?

得f（20-5f）=0

解得f=0（舍去）或t=4

即小球从飞出到落地所用的时间为4s

故答案为4.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.此题为数学建模题，关键在

于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题.此

题较为简单

16.（3分）（2019•襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于

点C,点。在A8上，

/BAC=NDEC=30°,AC与DE交于点F,连接AE,若BD=1,AO=5,则空=

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】过点C作于点M,过点E作ENLAC于点N,先证

求出AE的长及NCA£=60°,推出N£ME=90°,在RtZVME中利用勾股定理求出。£

的长，进一步求出CD的长，分别在RtADCM和RtAAEN中，求出MC和NE的长，再

证AMFCsANFE,利用相似三角形对应边的比相等即可求出b与所的比值.

【解答】解：如图，过点C作于点M,过点E作ENLAC于点N,

；8£>=1,AO=5,

：.AB^BD+AD^6,

:在Rt^ABC中，ZBAC=30°,ZB=90°-ZBAC=60°,

：.BC=^-AB^3,AC=~\[^BC=3M，

在RtABCA与RtZXZJCE中，

：NBAC=NZ)EC=30°,

tanZBAC=tanZDEC,

・BCDC

，，AC^EC，

'：BCA=ZDCE=90°,

'：BCA-ZDCA=ZDCE-ZDCA,

：.ZBCD=ZACEf

AABCD^AACE,

：.ZCAE=ZB=60°,.•里Jl,

ACAE

ZDAE^ZDAC+ZCAE^30°+60°=90°,—

3^3AE

:.AE=、眄,

在Rt^AOE中，

D£=22=2

VAD+AE7S+（V3）2=2A

在RtZvDCE中，ZD£C=30°,

AZ££）C=60°,DC=》E=5,

在RtAZJCM中，

MC=^-DC=^^~,

22

在RtZWEN中，

NE=^-AE=i,

22

•?ZMFC=ZNFE,ZFMC=ZFNE=90,

：.AMFCsANFE,

V21_

.CF_MC2,V21

,•瓯丽旦~~3~，

2

故答案为：返L

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键

是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比.

三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，

并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。

2

17.（6分）（2019•襄阳）先化简，再求值：（^-1）+三+：x+l,其中

xTx2-l

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】513：分式.

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可.

2

【解答】解：--1）

xTx2-l

_（、x_xT）-x2+2x+l

x-lx-lJ-]

=1X（x+l）（x-l）

x-l（x+1）2

=1

x+1'

当X=&-1时，原式=L1---=义2.

V2+1-12

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

18.（6分）（2019•襄阳）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和

我的祖国”主题学习竞赛活动.学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都

不低于60分（满分100分）.为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩

进行统计，得到如下不完整的统计表.根据表中所给信息，解答下列问题：

成绩尤（分）分组频数频率

60«70150.30

70Wx<80a0.40

80«9010b

90^x^10050.10

（1）表中a=20,b=0.2；

（2）这组数据的中位数落在70<x<80范围内:

（3）判断：这组数据的众数一定落在70Wx<80范围内，这个说法正确（填“正确”

或“错误”）；

（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80Wx<90范围内的扇形圆心角的大小为

72°；

（5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有900名学生获得优秀成绩.

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；W4：中位

数；W5：众数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】（1）调查学生总数：154-0.3=50（名），70Wx<80的频数：50-15-10-5=

20,即a=2080Wx<90的频率：1-0.3-0.4-0.1=0.2,即6=0.2；

（2）共50名学生，中位数落在“70Wx<80”范围内；

（3）"70Wx<80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在70Wx<80范围内；

（4）成绩在80Wx<90范围内的扇形圆心角：360。X①"=72°；

50

（5）获得优秀成绩的学生数：3000X—=900（名）.

50

【解答】解：（1）调查学生总数：15+0.3=50（名），

70W尤<80的频数：50-15-10-5=20,即a=20

80Wx<90的频率：1-0.3-0.4-0.1=0.2,即6=0.2,

故答案为20,0.2；

（2）共50名学生，中位数落在“70―<80”范围内；

（3）"70Wx<80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在70Wx<80范围内，

故答案为正确；

（4）成绩在80Wx<90范围内的扇形圆心角：360°X—=72°,

故答案为72°；

（5）获得优秀成绩的学生数：3000X—=900（名），

50

故答案为900.

【点评】本题考查了中位数与众数，正确理解中位数、众数的意义是解题的关键.

19.（6分）（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长

（AD）16/7！,宽（AB）9机的矩形场地ABC。上修建三条同样宽的小路，其中两条与A8

平行，另一条与平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112/，则小路的宽

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】设小路的宽应为xm,那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x）,（9-尤）；

那么根据题意得出方程，解方程即可.

【解答】解：设小路的宽应为

根据题意得：（16-2x）（9-x）=112,

解得：xi=l,X2=16.

V16>9,

.•・x=16不符合题意，舍去，

・・1.

答：小路的宽应为

【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的

关键.

20.（6分）（2019•襄阳）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣

小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱和塔冠BE）进行了测量.如图

所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121%，拉索AB与桥面AC的

夹角为37°,从点A出发沿AC方向前进23.5如在。处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请

你求出塔冠BE的高度(结果精确到0.1加.参考数据sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°

20.75,我P1.41).

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】根据正切的定义分别求出EC、BC,结合图形计算，得到答案.

【解答】解：在Rt^ABC中，tanA=里，

AC

则BC=AC・tanAF21X0.75=90.75,

由题意得，CD=AC-AD=91.5,

在RtZ^ECD中，/EDC=45°,

：.EC=CD=975,

:.BE=EC-BC=6.75%6.8(m),

答：塔冠BE的高度约为68w.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

21.(7分)(2019•襄阳)如图，已知一次函数yi=fcx+b与反比例函数丫2=2的图象在第一、

x

第三象限分别交于A(3,4),B(a,-2)两点，直线A8与y轴，x轴分别交于C,D

两点.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)比较大小：AD=BC(填“>”或“〈”或“=”)；

(3)直接写出声<”时尤的取值范围.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用.

【分析】(1)把A(3,4)代入反比例函数”=更，根据待定系数法即可求得相，得到

x

反比例函数的解析式，然后代入8(a,-2)),求得a,再根据待定系数法求得一次函数

的解析式即可；

(2)求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断；

(3)根据图象即可求得.

【解答】解：(1)把A(3,4)代入反比例函数”=皿得，

X

4=—,解得m=12,

3

...反比例函数的解析式为”=空；

X

VB(〃，-2)点在反比例函数”=皿的图象上，

x

-2a=12,解得a=-6,

：.B(-6,-2),

•・•一次函数刀=依+力的图象经过A(3,4),B(-6,-2)两点，

“3k+b=4,解得「春

I-6k+b=-2匕=2

一次函数的解析式为户=点+2；

(2)由一次函数的解析式为竺=*+2可知C(0,2),D(-3,0),

••,AD=7(3+3)2+42=2仍互,fiC=V62+(-2-2)2=2^3,

：.AD^BC,

故答案为=;

(3)由图象可知：刃＜"时工的取值范围是xV-6或0VxV3.

【点评】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，

待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常

用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用.

22.（8分）（2019•襄阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆。。

相交于点。，过。作直线。G〃BC.

（1）求证：OG是。。的切线；

（2）若。E=6,BC=643,求优弧南的长.

【考点】MA：三角形的外接圆与外心；ME：切线的判定与性质；MI：三角形的内切圆

与内心；MN：弧长的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】（1）连接。。交于X,如图，利用三角形内心的性质得到

则而=而，利用垂径定理得到ODLBC,BH=CH,从而得到OOLOG,然后根据切线

的判定定理得到结论；

（2）连接班）、OB,如图，先证明NZ）班=ND3E得到。8=OE=6,再利用正弦定义

求出/8。〃=60°,则可判断△08。为等边三角形，所以/8。。=60°,OB=BD=6,

则NBOC=120。，然后根据弧长公式计算优弧南的长.

【解答】（1）证明：连接OD交BC于如图，

:点E是△ABC的内心，

；.A£）平分4BAC,

即

BD=CD,

C.ODLBC,BH=CH,

'：DG//BC,

：.OD±DG,

・・・0G是。。的切线；

(2)解：连接跳入0B,如图，

・・,点E是△A3C的内心，

ZABE=NCBE,

/DBC=/BAD,

：.ZDEB=ZBAD+ZABE=NDBC+NCBE=NDBE,

:・DB=DE=6,

■;BH=LBC=3如,

2

在RtZkB。"中，sinNBQH=^=^&=返，

BD62

1・NBDH=60°,

而OB=OD,

：.AOBD为等边三角形，

：.ZBOD=60°,0B=BD=6,

：.ZB0C=12Q°,

优弧血的长=(360T20)•兀，6=87T

180

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；

三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线的判定和弧长公式.

23.（10分）（2019•襄阳）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机

蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价

如下表所示：

有机蔬菜种类进价（元伙g）售价（元/小）

甲m16

乙n18

(1)该超市购进甲种蔬菜10依和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种

蔬菜10kg需要200元.求m,n的值；

(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100饭进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少

于20依，且不大于70依.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60依的部

分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获

得的利润额y(元)与购进甲种蔬菜的数量x(必)之间的函数关系式，并写出尤的取值

范围；

(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬

菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出。元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率

不低于20%,求“的最大值.

【考点】9A：二元一次方程组的应用；CB：解一元一次不等式组；FH：一次函数的应

用.

【专题】521：一次方程(组)及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函

数及其应用.

【分析】(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得机、w的值；

(2)根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y与尤的函数关系式；

(3)根据(2)中的条件，可以求得y的最大值，然后再根据题意，即可得到关于。的

不等式，即可求得。的最大值，本题得以解决.

【解答】解：(1)由题意可得，

5n=170,解得，0=10,

16nti4011=200ln=14

答：m的值是10,"的值是14；

(2)当20WxW60时,

y=(16-10)x+(18-14)(100-x)—2x+400,

当60<xW70时，

y=(16-10)X60+(16-10)X0.5X(x-60)+(18-14)(100-无)=-x+580,

,,_f2x+400(20<x<60)

[-x+580(60<x<70)

(3)当20Wx(60时，y=2x+400,贝ij当尤=60时，y取得最大值，此时y=520,

当60cxW70时，y=-x+580,贝！Iy<-60+580=520,

由上可得，当x=60时，y取得最大值，此时y=520,

•••在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜

每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不

低于20%,

■520-2aX60-4Qa>

60X10+40X14k

解得，aWL8,

即。的最大值是1.8.

【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答

本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答.

24.（10分）（2019•襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形中，点E,Q分别在

边BC,AB上，于点。，点G,尸分别在边CO,A8上，GF±AE.

①求证：DQ^AE；

②推断：更的值为1；

AE

（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中，里1=左（左为常数）.将矩形ABCD沿GP

AB

折叠，使点A落在8C边上的点E处，得到四边形PEPG,EP交CD于点H,连接AE

交GP于点。.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP,当左=工时，若tan/CGP=』，GP=2近5,

34

求CP的长.

【考点】so：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）①由正方形的性质得AB=ZM，ZAB£=90°所以NH40+/O4D

=90°,又知NADO+NO4D=90°,所以于是4ABE2乙DAH,可得

AE=DQ.

②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题.

(2)结论：毁="如图2中，作GALLAB于证明：即可解决问

AE

题.

(3)如图2-1中，作PMLBC交8c的延长线于利用相似三角形的性质求出PM,

CM即可解决问题.

【解答】(1)①证明：：四边形ABC。是正方形，

：.AB=DA,ZABE=90°^ZDAQ.

：.ZQAO+ZOAD=90°.

\'AE1DH,

：.ZADO+ZOAD=9Q°.

J.ZQAO^ZADO.

：.^ABE^/\DAQ(ASA),

：.AE^DQ.

②解：结论：如=1.

AE

理由：\"DQLAE,FGVAE,

J.DQ//FG,

'：FQ//DG,

.••四边形DQFG是平行四边形，

：.FG=DQ,

'：AE^DQ,

：.FG=AE,

.GF7

AE

故答案为1.

(2)解：结论：电■=£

AE

理由：如图2中，作GM_L48于

图⑵

AEYGF,

NAOF=NGMF=/ABE=90°,

ZBAE+ZAFO=90a,ZAFO+ZFGM=9Q°,

/BAE=/FGM,

△ABEs^GMF,

GF=GM

AEAB"

ZAMG^ZD=ZDAM^90°,

四边形4MGO是矩形，

GM=AD,

更=世=氏.

AEABAB'

(3)解：如图2-1中，作PM_LBC交BC的延长线于

图(2)

'：FB//GC,FE//GP,

：.ZCGP=ZBFE,

：.tanZCGP=tanZBFE=^-=^

4BF

，可以假设BE=3上BF=4k,EF=AF=5k,

•.其=2,FG=2%画,

AE3

.-.AE=3V10.

(3k)2+(9k)2=(3^/10)2,

，K=1或-1(舍弃)，

:.BE=3,42=9,

,:BC：AB=2：3,

:.BC=6,

：.BE=CE=3,AD=PE=BC=6,

,：NBEF=NFEP=NPME=90°,

；./FEB+/PEM=90°,ZPEM+ZEPM^90°,

NFEB=ZEPM,

:.△FBEsAEMP,

.EF=BF__BE

"PEEM而，

■"?EMPM"

；.EM=毁，产加=巡，

55

CM^EM^EC^--3=工，

55

；•PC=VCM2+PM2=-1^-

【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判

定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全

等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

25.(13分)(2019•襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y=-导+3与x轴，y轴分别交于

点、B,点C,对称轴为尤=1的抛物线过3,C两点，且交x轴于另一点A,连接AC.

(1)直接写出点A,点8,点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点尸的

坐标；

(3)抛物线上是否存在一点0(点C除外)，使以点Q,A,B为顶点的三角形与aABC

相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论；34：方程思想；6；：数据分析观

念.

【分析】(1)y=-L+3,令x=0,则v=3,令y=0,则x=6,故点3、c的坐标分别

2

为(6,0)、(0,3),即可求解；

(2)P”=PGcosa=2/5(-L^+LX+3+LX-3),即可求解；

5842

(3)分点。在x轴上方、点。在x轴下方两种情况，分别求解.

【解答】解：(l)y=-Lx+3,令x=0,则y=3,令y=0,贝Ux=6,

2

故点8、C的坐标分别为(6,0)、(0,3),

抛物线的对称轴为x=l,则点A(-4,0),

则抛物线的表达式为：y—a(x-6)(x+4)—a(x2-2x-24),

即-24〃=3,解得：a=-—,

8

故抛物线的表达式为：y=-L2+L+3…①；

-84

(2)过点P作y轴的平行线交8c于点G,作PHL8C于点H,

将点8、C坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y=-L+3,

-2

则/HPG=/C2M=a,tanZCAB=-^=—=tana,则cosa=，

OB2

设点P(x,--x2+—x+3),则点G(无，-—x+3),

842

则PH-PGcosa-士辰（-1?+1尤+3+1x-3）--叵W,阻x,

58422010

Vj/X<o,故PH有最小值，此时x=3,

20

则点尸（3,2L）；

8

（3）①当点。在x轴上方时，

则点Q,A,8为顶点的三角形与△ABC全等，此时点。与点C关于函数对称轴对称,

则点Q（2,3）；

②当点。在x轴下方时，

Q,A,8为顶点的三角形与AABC相似，则/AC8=N。'AB,

当NABC=NAB0时，

直线5c表达式的k值为-方，则直线20表达式的左值为5，

设直线B。'表达式为：y^x+b,将点2的坐标代入上式并解得：

2

直线BQ'的表达式为:y=L-3…②,

联立①②并解得：x=6或-8（舍去6）,

故点。（。‘）坐标为（-8,-7）（舍去）；

SZABC=Z.ABQ'时，

同理可得：直线8。的表达式为：y=3x-2…③，

42

联立①③并解得：x=6或70（舍去6），

故点。（。'）坐标为（-10,-12）,

由点的对称性，另外一个点。的坐标为（12,-12）；

综上，点。的坐标为：（2,3）或（12,-⑵或（-10,-12）.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似

等，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

考点卡片

1.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，。的绝对值是它的相反数-。；

③当。是零时，a的绝对值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通

常将小数转化为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的

两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

3.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成。义10〃的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aXlO",其中lWa<10,

力为正整数.】

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

4.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

5.同底数塞的乘法

（1）同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

（^•an=am+n（m,〃是正整数）

（2）推广：am-all-aP=an,+n+P（机，n,p都是正整数）

在应用同底数募的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（/.）3与（/房）

4,（x-y）2与G-y）3等；@a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数哥.

6.累的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（暧）n=0nmCm,〃是正整数）

注意：①累的乘方的底数指的是暴的底数；②性质中“指数相乘”指的是塞的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

(M)(〃是正整数)

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

7.同底数塞的除法

同底数暴的除法法则：底数不变，指数相减.

/+(1"=心一"(aWO,"2,〃是正整数，，，?>〃)

①底数aWO,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数累除法的法则时，底数。可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

8.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

9.负整数指数事

负整数指数幕：a-P=lapQWO,