（二次函数压轴大题）2020中考数学考点必杀500题（解析版）

2020中考考点必杀500题

专练14（二次函数压轴大题）（30道）

2

1.（2019•辽宁省中考模拟）如图，抛物线y=-§/+bx+c与x轴交于A8两点（点A在点3的左侧），点

A的坐标为（一1,0）,与）’轴交于点。（2,0）,直线。。：^=—+2与工轴交于点。.动点M在抛物线上

运动，过点用作加尸上刀轴，垂足为P,交直线CO于点N.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段8上时，ACDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说

明理由；

（3）点£是抛物线对称轴与x轴的交点，点尸是x轴上一动点，点”在运动过程中，若以C、E、F、M

为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点尸的坐标.

nA749

【答案】（I）y=—；x2+（x+2；（2）存在.当a=a时，S,、。”有最大值为五；（3）/点坐标为（3,0）

或（-1,0）或（a,o）或［"o）.

【解析】

解：（1）•.•抛物线经过点A（-1,0）,点C（0,2）,

——x(-l)--b+c=0b=—

3v7,解得J3,

c=2c=2

抛物线的解析式为y=-gx2+gx+2；

(2)存在.

当y=0,-x+2=0,解得x=2,则0(2,0),

X,_33+2，则N（x,—x+2）,

33

I27

2

■■SSCDM=-XM7VX2=--X+-X

2,、

*.*ci=—<0,

3

749

.,.当a=W时，S&CDM有最大值为~:

4

3

(3)•.•抛物线的对称轴为直线工

£(1,0),

当CM//EF时，则M(2,2),

•.•以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，

：.CM=EF=2,

尸点坐标为(3,0)或(一1,0)

当CE//MF时，

•.•以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，

:.CM=EF,

•••点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，

点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点，

设/&0),则/(f+l,—2),

把A/(/b+1,-2)代入y=+2得一1(『+1)++1)+2=—2,解得j=>/y,/?=~百>

此时F点坐标为(S,0),(-5,0),

综上所述，尸点坐标为(3,0)或(—1,0)或(V7,o)或卜刀,o).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的

性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.

2.(2019•山东省中考模拟)在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与x轴，y轴交于点4B,

点C是第一象限内的一点，且A5=AC,ABA.AC,抛物线.y=-;/+版+。经过AC两点，与x轴

的另一交点为D.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)判断直线AB与8的位置关系，并证明你的结论；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以AB,M,N四点构成的四边形为平行四

边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

讣

5-5-

4-

3-3-

2-2-

1-1-

12345678910x豆12345678910x

-2--2-

-3--3-

-4--4~

备用图

19

【答案】(1)二次函数的解析式为y二-X29+-X-7；(2)ABCD,证明见解析；(3)点N的坐标分别

22

力-屈-布(庖-底

(9n(9n9+n(9

2222

【解析】

解：(1)由题意可求点AQ,0),点B(0,1).

过点C作CEx轴，易证AOB1I1ECA.

OA=CE=2,OB=AE=1.

C点C的坐标为(3,2).

将点A(2,0),点C(3,2)代入>=—万/+笈+。，

-2+2b+c=Q,9

,,b=一

得9°,C，，解得｛2•

——+3b+c=2r

2c=-7

1o

二次函数的解析式为〉=-5》2+/%一7.

(2)ABUCD.证明如下：

1,9

令一一X2+-X-7=0,解得X=7.

22

D点坐标为(7,0).

可求AC=后,CO=2百,AD=5.

EACD为直角三角形，□ACD=90。.

又□[BAC=90°,

ABCD.

(3)如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到釉的距离

与点B到x轴的距离相等.

□B点坐标为(0,1),

□点N到x轴的距离等于1.

1,91,9

可得——x2+—X-7=[和——X2+—x-1

2222

解这两个方程得％=嘤，“驾2寸呼,％

L点N的坐标分别为(吟，,I),(巴普，心，心

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理和逆定

理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用.

3.(2019•广东省中考模拟)已知抛物线y=a/+bx+3经过4(一1,0)和8(3,0)两点，与y轴交于点C,点P为

第一象限抛物线上一动点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接OP,交BC于点D,当〃CPD：S4BPD=1：2时,求出点P的坐标；

(3)如图2,点E的坐标为(0,-1),点G为x轴正半轴上一点，乙OGE=15°,连接PE,是否存在点P,使4PEG=

2NOGE?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-/+2x+3；(2)P(V3,2V3);(3)P(厘，誓)

【解析】

解：(1)将4(一1,0)和8(3,0)代入y=ax2+bx+3得：

(a—。+3=0

(9Q+3b+3=0

解得：『二1

Ib=2

抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.

(2)作DM1y轴，垂足为M,

图1

^ACPD-^ABPD=1：2

CD1CD1

一=一,一=一,

BD2BC3

UACMD〜/COB,

CMCDDM1

□—=—=—=一，

COCBOB3

匚8(3,0),C(0,3),

□08=OC=3,

匚CM=DM=1,OM=2

D(l,2),

匚直线。。为：y=2x,

由m“+3得：pg2国

(3)设PE交x轴于H点，

△OGE=15°，乙PEG=2乙OGE

乙PEG=30°,

U^OEG=75°,

□NOE"=75°-30°=45°,

匚乙OHE=Z-OEH=45°,

GOH=OF,

□E(0,-l),

DOH=OE=1,

□”(1,0),

直线PE为：y=x-l,

由/=_标+2：+3得：(—三1+V17，(X1~~1-LV1~7

Iy=x-l卜=等1%=符

□点P在第一象限，

图2

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等知识点，难度不大.

4.(2018•四川省中考模拟)已知：如图1,抛物线yuf+Z^+c与x轴交于A(—1,O),3(3,0)两点，与

y轴交于点C,点。为顶点.

(1)求抛物线解析式及点D的坐标；

(2)若直线/过点。，尸为直线/上的动点，当以N、B、尸为顶点所作的直角三角形有•且只有三个时，求

直线/的解析式；

(3)如图2,E为08的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE',旋转角为。(0。<a<90°)，连接？8、

E'C,当E'8+’E'C取得最小值时，求直线3?与抛物线的交点坐标.

2

【答案】(1)(1,-4)；(2)y=-百x+百—4或,=屈一4一石；(3).

【解析】

(1)；抛物线'=/+法+。与X轴交于A(—1,O),3(3,0)两点，

/.)^=(x+l)(x—3)=x2—2x—3.

,>,>»=x2-2JC-3=(x-1)2-4,

抛物线的顶点坐标为(1,-4).

(2)过点4、8分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线/总是有交点的，即2个点0.

以为直径的DG如果与直线/相交，那么就有2个点0；如果圆与直线/相切，就只有1个点0了.

如图所示：以为直径作口G,作。。与DG相切，则QG_LQO,过。作QELGO.

图1

vA（-l,0）,3（3,0）,

：.AB=4.

：.QG=2.

又•••£>0=4,

/.sinNG£>Q=g.

/.sinNGQE=；,

.•.QEZQG-GE?=G

二点。的坐标为（1—百,T）.

-k+b^-4

设/的解析式为y=H+。，则1,IT\<解得：k=—V3'/?=—4+J5,

11-5/3IK+P=-1

，直线/的解析式为y=—6x+G—4.

由图形的对称性可知：当直线/经过点(1+6,-1)时，直线/与DG相切,

k+b=-4

则快+。=—1'

解得：k=#>,b=-4—y/3>

二直线/的解析式为y=瓜一4-g.

综上所述，直线/的解析式为旷=一后+退一4或旷=屈-4-退.

OE0C

又•.•NMOE'=/E'OC，

.DOME,QOE'C，

.MEOE\

,cF-OC-2

：.ME'=-CE'.

2

：.E'B+-E'C=BE'+ME',

2

，当M、E'、3在一条直线上时，E‘B+'E'C有最小值，

2

二E'8+gE'C的最小值=yj0B2+0M2=亚+弓）2=上手

【点睛】

本题考查二次函数综合题，主要用到了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、切线的性质、

锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是确定出EC取得最小值的条件.

2

5.(2019•江苏省中考模拟)如图，抛物线y=ax?+bx+2交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点，交y轴于

点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.

(1)求抛物线解析式及点D坐标；

(2)点E在x轴上，若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

(3)过点P作直线CD的垂线，垂足为Q,若将ICPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q，.是否存在点P,

使Q，恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由.

3+123

【答案】(1)y=—』x2+3x+2,点D坐标为(3,2)(2)Pi(0,2)；P2(^,-2)；P3(~^,

2222

-2)(3)存在，(辟”f樨').(一而?一9-3>)

鹫2

【解析】

解：(1)口抛物线产ax2+bx+2经过A(-1,0),B(4,0)两点,

a二

a-b+2=02

{16a+4b+2=0，解得:

b=2

2

1,3

抛物线解析式为y=—5X2+]X+2.

13

当y=2时，---x?+—x+2=2,解得：xi=3,X2=0(舍去).

22

匚点D坐标为(3,2).

(2)A,E两点都在x轴上，AE有两种可能:

L当AE为一边时，AEUPD,JPi(0,2).

□当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x

轴）的距离相等，匚十点的纵坐标为-2.

代入抛物线的解析式：一Lx2+』x+2=—2,屏汨3+历3-V41

用限得：X.=------,x=-------

2212922

P点的坐标为（3+回,-2）,（3-向,-2).

22

综上所述：Pi（0,2）；P2（3+«,.2）.p3（3-E,-2）.

22

（3）存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方.

设直线PQ交x轴于F,点P的坐标为（a,、,a24^+）,

22

□当P点在y轴右侧时（如图1）,CQ=a,

又CQ'CHFQT=90°,COQ'=QTP=90°,

□□FQT=QOCQZ,□□COQ/DDQfFP,

2

Q'CQ'P?Q1a--a?

==右7，即叱22，，解得FQ，=a-3

C0FQ2一―

□OQr=OF-FQ，=a-(a-3)=3,

CQ=CQ，々CO?+OQc="+22=布•

此时a=J万，点P的坐标为।建，B张屏).

I,3

当P点在y轴左侧时（如图2）此时a<0,,--a-+-1a+2<0,CQ=-a,（无图）

c「1，3c123

PQ=2-1-5a+—a+2=—a'——a.

22

又CDCQmLlFQgO。，CCQWnOCQMO0,

FQ'P=IOCQ\COQ,=QTP=90°.

COQ'「Q'FP.

123?9

Q'CQ'P?即-a?_2a/

FQ7解得FQ'=3-a.

2FQ'

OQ，=3，CQ=CQ'=^32+22=713•

此时a=-V131点P的坐标为（一在二必3）.

2

综上所述，满足条件的点P坐标为（施，坐匹），（-J医士独3）.

£2

（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标.

（2）分两种情况进行讨论，口当AE为一边时，AEPD,□当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到

另一条对角线距离相等，求解点P坐标.

（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a,〜La?看+）,分情况讨论，」当P

22

点在y轴右侧时，当P点在y轴左侧时，运用解宜角三角形及相似三角形的性质进行求解即可.

6.（2019•邢台市第八中学中考模拟）如图，已知抛物线^=如2+法+c（a声0）的对称轴为直线％=,

且抛物线与x轴交于A、3两点，与）'轴交于。点，其中A。,。），C（0,3）.

（1）若直线y=/噂+〃经过8、C两点，求直线8C和抛物线的解析式;

（2）在抛物线的对称轴x=-l上找一点使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M

的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴X=-l上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为丁=一/一28+3,直线的解析式为y=X+3.(2)M(-l,2)；(3)P的

坐标为(-h-2)或(-1,4)或(一1,3+丁)或(_i,3一

【解析】

h

----=-1(1

2aa=T

(l)依题意得：＜a+b+c=O,解得：\b=-2.

c=3c=3

抛物线的解析式为y=-2X+3.

对称轴为x=—l,且抛物线经过A(l,O)，

把3(—3,0)、。(0,3)分别代入直线＞=如+〃,

-3〃z+〃=0m=l

得〈,解之得:

〃=3〃二3

直线y=ax+〃的解析式为y=、+3.

(2)直线BC与对称轴x=—l的交点为M，则此时M4+MC的值最小，把工=一1代入直线y=工+3得

y=2,

M(—1,2).即当点M至隈工A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(一1,2).

(注：本题只求Af坐标没说要求证明为何此时M4+MC的值最小，所以答案未证明M4+MC的值最小

的原因).

(3)设P(-M，又8(—3,0),C(0,3),

8c2=18，PB2=(-l+3)2+r2=4+r2,PC2=(-1)2+(/-3)2=Z2-6Z+10.

若点3为直角顶点，则8c2+依？=pc?,即：18+4+产=产―6/+10解得：t=-2,

若点C为直角顶点，则8c2+pc2=pB2,即：18+产一6f+10=4+产解得：f=4,

若点尸为直角顶点，则PB?+PC?=,即：4+产+产―6，+10=18解得：

3+V173-V17

二'‘1=~

综上所述尸的坐标为(一1,一2)或(一1,4)或—1—+；17卜—I-一/J.

点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利

用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题.

7.(2019•广西壮族自治区中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=--x2+Zzr+c与x轴交于A、

D两点，与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形，点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点

E(m,0)是线段DO上的动点，过点E作PEELx轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似？若存在,

求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

4848

【答案】(1)y——7—x+4；(2)PG=—in9—m；(3)存在点P,使得以P、B、G为顶点的三

3333

角形与DEH相似，此时m的值为-1或--

16

【解析】

4

解：(1)抛物线y=-9+法+c与X轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,4),

4

,---i-/7+c=0b=—

{3解得{3.

c=4c=4

48

抛物线的解析式为y=9—：x+4.

(2)QE(m,0),B(0,4),PEZJx轴交抛物线于点P,交BC于点G,

48“

P(m,--—2加+4),G(m,4).

33

48—48

PG=——m~——2m+4-4=——m2——m.

3333

(3)在(2)的条件下，存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与1DEH相似.

4,84,8

y=—X2—x+4,口当y=0时，—X2—x+4=0,解得x=l或-3.

3333

□D(-3,0).

当点P在直线BC上方时，-3Vm<0.

设直线BD的解析式为y=kx+4,

4

将D(-3,0)代入，得-3k+4=0,解得k=—.

3

44

直线BD的解析式为y=—x+4.H(m,—m+4).

33

分两种情况：

如果BGPDEH,那么迫=电，即-m

m+34,

DEEH-m+4

3

由-3<m<0,解得m=-1.

428

如果PGBDEH,那么L=——，即一3----工一=:丝一

DEHE加+34m+4

3

23

由-3VmV0,解得m=---.

16

综上所述，在(2)的条件下，存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与UDEH相似，此时m的值为

考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用：4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.由实际

问题列代数式；6.相似三角形的判定和性质；7.分类思想的应用.

8.（2019•吉林省中考模拟）如图，已知抛物线y=ar2+/zr+c的顶点为A（4,3）,与N轴相交于点B（0,-5）,

对称轴为直线/,点以是线段AB的中点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点M的坐标并求直线的表达式;

（3）设动点P,。分别在抛物线和对称轴1上，当以A，P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,

求P,。两点的坐标.

2

【答案】（1）y=-1x+4x-5：（2）M（2,-l）,y=2x-5；（3）点尸、。的坐标分别为（6,1）或（2,1）、

（4,-3）或（4,1）.

【解析】

2

解：（1）函数表达式为：y=a（x=4）+3,

将点8坐标代入上式并解得：a=--,

2

1,

故抛物线的表达式为：y=--X2+4X-5；

2

（2）A（4,3）、B（0,-5）,则点M（2,—1）,

设直线A8的表达式为：y=kx-5,

将点A坐标代入上式得：3=4%-5,解得：k=2,

故直线AB的表达式为：y=2x-5,

⑶设点Q（4,s）、点产（加,一；源+4加—5）

当AM是平行四边形的一条边时，

点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,

同样点尸卜，一（机2+痴—5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4,s）,

即：m—2=4,—•-m2+4m—5—4=5,

2

解得：7n=6,s——3,

故点尸、Q的坐标分别为（6,1）、（4,-3）；

当AM是平行四边形的对角线时，

由中点定理得：4+2=m+4,3—1=一,m2+4m―5+s,

2

解得：m=2,5=1,

故点尸、。的坐标分别为（2,1）、（4,1）；

故点P、。的坐标分别为（6,1）,（4,一3）或（2,1）、（4,—3）,（2,1）或（4,1）.

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3）,要

主要分类求解，避免遗漏.

9.（2019•江苏省中考模拟）已知：如图，抛物线乂=狈2+/+c的顶点为A（0,2）,与x轴交于B（-

2,0）、C（2,0）两点.

（1）求抛物线％=依2+笈+。的函数表达式；

（2）设点P是抛物线y上的一个动点，连接PO并延长至点Q,使OQ=2OP.若点Q正好落在该抛物线

上，求点P的坐标；

（3）设点P是抛物线y上的一个动点，连接PO并延长至点Q,使OQ=mOP（m为常数）；

匚证明点Q一定落在抛物线y=—x2-2??7±；

22m

口设有一个边长为m+1的正方形（其中m>3）,它的一组对边垂直于x轴，另一组对边垂直于y轴，并且

1

该正方形四个顶点正好落在抛物线必=o?9+"+c•和必=丁工9-2〃?组成的封闭图形上，求线段PQ被

2m

该正方形的两条边截得线段长最大时点Q的坐标.

重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最氏，此时点Q的坐标为(2+&,-5-4,/2)或(2血,-5-472).

【解析】

解：(1)由条件可设抛物线yi=ax2+2,将C(2,0)代入

可得抛物线y=-；炉+2；

1

设点p(t,--r9+2),

2

利用nPEO「「OFQ可求得点Q(-2t,t12-4).

1

把Q(-23t2-4)代入y=—万/9+2中，

1

得：t2-4=一一(一21)92+2,

2

□3t2=6,

t=±V2，

Pl(0,1),P2(-亚，1)：

1

(3)，证明：设点P(t,——广?+2),

2

利用相似可求得点Q（-mt,).

2

将x=-mt代入y2=」一九-2m中,

2m

2

得：y2=—(-mt)-2m=^--2m・

2m2

1

92

匚点Q一定落在抛物线y2=—x-2m±；

2m

由抛物线的对称性可知

777+1

正方形右边两个顶点横坐标为——，

2

,774-1

将X=代入抛物线解析式

2

+11+|

可得两点纵坐标分别为：一；；（一^）2+2和丁（一^）2-2机,

222m2

+-(—―)2—2m=m+l,

222m2

解得：m=3±2丘.

m>3,

m=3+2>/2•

3+2夜+1

正方形右边两个顶点横坐标为丝」=2+72.

22

L1o

将x=2+及代入y=-/r+2得：

y=-y（2+V2）2+2=-l-2V2,

正方形右下顶点的纵坐标为-1一2及-（3+2&+1）=-5-4夜.

正方形右下顶点的坐标为（2+后，-5—4血），

同理，正方形左下顶点的坐标为（一2-&，-5-472）.

设PQ与y轴所成的角为a,当PQ与正方形上下两边相交时，

PQ被正方形上下两边所截线段的长小1=4+20,

cosacosa

当a增大时，cosa减小，4+2&增大,

cosa

当PQ经过正方形右下顶点时，a最大，PQ被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q与正方形右下或左

下顶点重合；

当PQ与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着a的增大，PQ被正方形上下两边所截线

段的长减小，

综上所述，当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，

此时点Q的坐标为（2+夜，-5-4&）或（-2-近,-5-472）.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、抛物线的性质，计算量较大，本题将正方形与抛物线很好的结合起来，是一道

很典型的数形结合压轴题.

10.（2019•广东省中考模拟）如图，已知抛物线经y=ax，+bx-3过A（1,0）、B（3,0）、C三点.

(2)如图1,点P是BC上方抛物线上一点，作PQL3y轴交BC于Q点.请问是否存在点P使得BPQ为

等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,连接AC,点D是线段AB上一点，作DEBC交AC于E点，连接BE.若BDE匚LCEB,

求D点坐标.

【答案】(1)y=-X2+4X-3；(2)存在点P使得DBPQ为等腰三角形，P点坐标为Pi(1,0),P2(2,1),

P,(72,472-5)；(3)

【解析】

/八、/八、、{a+h—3=0

(1)将A(l,0)、3(3,0)代入y=or+bx~3得：《,

9。+3b—3=0

a—-\

解得「)，

/?=4

抛物线解析式y=-/+4x—3；

(2)存在点P使得BPQ为等腰三角形，

B(3,0),C(0,-3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

。=一3

<3左+〃=0'

解得：k=1,h=—3，

直线BC的解析式为>=k3,

设/\“,一4+4。—3）,则。（。，。一3）,可分三种情况考虑：

当P5=BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称，

-CT+4。-3+。-3=0，

解得：a=2,a=3（舍去），

K2,l）,

当PQ=8。时，（_/+3苏2=2（加3）2,

a-V2，a——V2（舍去），a=3（舍去）,

户（0,4夜-5）,

□当时,有（一/+382=（a-3P+（a2-4a+3>,

整理得：a?=1+（所1）2,

解得a=4.

H1.0）.

综合以上可得P点坐标为Pl（1,0）,p2（2,1）,P,（V2,4V2-5）；

（3）□□BDEODCEB,

ABE=UACB,

BAE=0CAB,

□□ABEnOACB,

又匚AC=Vl2+32=710-

AEAB

-------

ABAC

AE2

~7T=~j=

2V10

_2V10

AE=-----

5

DE^BC,设。（机,0）,

AEAD

--------

ACAB

2V5

工_M-l

Vio-2

9

m=—

5

9

£>(-,0).

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质、利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定

与性质、两点间的距离公式、解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及解方程是解

题的关键.

11.(2019•天津中考模拟)已知抛物线y=ax2+bx+3Ca,b是常数,且aH0),经过点A(-l,0),B(3,0),

与)'轴交于点C.

(□)求抛物线的解析式；

(口)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H,交抛物线于点。，设Q点横坐标为t,

线段PQ的长为"，求出d与，之间的函数关系式，并写出相应的自变量f的取值范围；

(□)在(口)的条件下，当点P在线段8C上时，设PH=e,已知d,，是以z为未知数的一元二次方

程z2-+3)z+；(5/〃2_+13)=0(机为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接M。，，

PM,且平分NQMH，求出，值及点M的坐标.

【答案】(。y=-x2+2x+3；(1)d=—/+3f(0</<3),d=t?-3t(f>3)；()f值为1，M

点坐标为(1+2)或(1—0,2).

【解析】

解：(匚)将A(-l,0),B(3,0)代入y=ax?+bx+3,

a—Z?+3=0,Cl=-1,

9a+3匕+3=0.解得‘

b=2.

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（「）C点的坐标为（0,3）,

设直线BC的方程为y=kx+3,

将B（3,0）代入，得3k+3=O.

解得k=L

直线BC的方程为y=-x+3.

产点的横坐标为t,且PQ垂直于x轴，

尸点的坐标为（t,-t+3）,Q点的坐标为（t,—t?+2t+3）.

如图，当点P在线段CB上时，

PQ=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t.

如图，当点P在射线BN上时，

PQ=-t+3-(-t2+2t+3)=t2-3t.

OB=3,

2

Jf-t+3z(0<f<3)

u=<

t2-3r«>3)

()d,e是z2-(m+3)z+；(5m2—2m+13)=0的两个实数根.

A>0,即△=[-（m+3）J-4x^5m2-2m+13）..O.

整理得：A=-4（m-l）2..O.

4（m-l）2<0.

m=L

方程为Z2—4Z+4=0.

解得Z]=z?=2.

PQ与PH是z2-4z+4=0的两个实数根，

所以PQ=PH=2.

即PH=—t+3=2.

t=L

如图，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ,LH,

LP=MP-PQ=PH,

四边形LQMH是平行四边形.

LHOQM

/QML=/MLH.

/QML=/LMH,

^MLH=^LMH.

HL=HM

□LQMH是菱形.

PM±QH.

点M的纵坐标与点P纵坐标相等，都是2.

在y=-x?+2x+3中，当y=2时，一x?+2x+3=2.

X2-2X-1=0.

解得X1=l+0,x2=1—5/2.

综上所述：t值为1，M点坐标为0+衣2）或（1-夜,21

【点睛】

本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，根的判别式的运用，一元二

次方程的解法的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，

解答时求出二次函数的解析式是关键.

12.（2018•吉林省中考模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3,0）,与y轴交于点C（0,

3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MNLiy轴交直线BC于点N,求线段MN的最大

值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴1上是否存在点P,使1PBN是等腰三

39

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-4x+3.（2）当m=1•时，线段MN取最大值，最大值为（3）点

P的坐标为（2,-）、（2,-叵）、（2,叵）、（2,土姮）或（2,工姮）.

22222

【解析】

解：

(1)将点B(3,0),C(0,3)代入抛物线y=x2+bx+c中，

{b--4

得＜9+3/?+.c=0，得c，

c=31c=3

抛物线的解析式为y=x2-4x+3.

(2)由题意可设点M的坐标为(m,m2-4m+3),设直线BC的解析式为y=kx+3,

把点(3,0)代入y=kx+3,中，

得：0=3k+3,解得：k=-l,

直线BC的解析式为y=-x+3.

MNy轴，

□点N的坐标为(m,-m+3),

39

MN=-m+3-(m2-4m+3)=-(m-—)2+—.

39

当m=一时，MN；,；＞=—.

24

333

(3)由(2)可得：当01=一时，点N的坐标为(一，一)，

222

□点P在抛物线的对称轴上，

匚可设点P坐标为(2,n),

明=#一|1+6步|0,

若口尸为等腰三角形，则存在以下三种情况:

L当依=PN时，即Ji+〃2+(〃一解得：〃=；，此时点P的坐标为(2，；

3^714

当尸B=BN时,即Ji+〃2=3血，解得：n=±----,

2

此时点P的坐标为(2,-恒)或(2,巫)；

22

匚当PN=5N时，即=|'后，解得：n=3±Vn,

2

此时点P的坐标为(2,3+'万)或(2.3-历).

22

综上可知：在抛物线的对称轴/上存在点P，使口尸即是等腰三角形，点P的坐标为(2,-),(2,--),(2,

22

V143+Vn,3-V17.

从WN9，)•

2----------2--------------2

点睛：解本题第2小题时，当利用设出的点P的坐标和已知的点B、N的坐标表达出线段PB、PN和BN的

长度时，需注意题目中没有指明LPBN为等腰三角形时的底和腰，因此要分：(1)PB=PN；