高二数学（必修5）全册导学案

必修五目录：

1.1正弦定理和余弦定理

L2应用举例

第一章解三角形

1.3实习作业

解三角形实际应用举例习题

2.1数列的概念与简单表示法

2.2等差数列

第二章数列2.3等差数列的前n项和

2.4等比数列

2.5等比数列的前F项和

3.1不等关系与不等式

3.2一元二次不等式及其解法

3.3二元一次不等式（组）与简单的

第三章不等式线性

3.4基本不等式：—

2

不等式练习题

第一章解三角形

1.1.1正弦定理

班级j组名J姓名J设计人：连秀叨审核人：魏帅举领导审批:

【学习目标】

1.通过对特殊三角形边角间的数量关系的探究发现正弦定理，初步学

会由特殊到一般的思想方法发现数学规律。（难点）

2.掌握正弦定理，并能用正弦定理解决两类解三角形的基本问题。（重

点）

【研讨互动问题生成】

1.正弦定理的概念；

2.什么是解三角形；

3.正弦定理适用于哪两种情况；

【合作探究问题解决】

1.在△ABC中，已知。=3,c=3百，ZB=30°,解此三角形。

2.在△ABC中，已知NA=45。4=30。，C=10,解此三角形。

3.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A,B为锐

_Vs,Vio

，sinAx---.sinB-----

510

(1)求A+B的值:

(2)若a-b=V2-1,求a,b,c得值

【点睛师例巩固提高】

1.在AABC中，已知sir?A+sin28=sin2。，求证：AABC为直角三角形

2.已知△43C中，44=60。，NB=45°,且三角形一边的长为他，解

此三角

【要点归纳反思总结】

1.正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系，

表示形式为_—=，_===2R，其中R是三角形外接圆的半

sinAsinBsinC

径。

2.正弦定理的应用

（1）如果已知三角形的任意两角与一边，由三角形的内角和定理可

以计算出另外一个角，并由三角形的正弦定理计算书另外两边。

（2）如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理

可以计算出另外一边对角的正弦值，进而可以确定这个角（此时特别

注意：一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角）和三角形其它的边

和角。

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价：

【课后训练】

1.在△ABC中，若5沦8$出。=8524,则448。是（）

2

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.正弦定理适用的范围是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.任

意三角形

3.在△A8C中，已知8=30。，b=506,c=150,那么这个三角形是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.在^ABC中，A:8:C=1:2:3,则a:b:c等于（）

A.1:2:3B.3:2:1C.1:73:2D.2:6:1

5.在AABC中，若角5为钝角，则sinB-sinA的值（）

A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定

6./XABC的内角48,C的对边分别为a,b,c,若

c=V2,h=V6,B=120。，贝1J。等于（）

A.瓜B.2C.GD.夜

7..在AABC中，若4=28,则a等于（）

A.2/?sinAB.2/?cosAC.2/?sinBD.2/?cosB

8.在△45C中,若NA=120。，45=5,BC=7,贝UAABC的面积

S=.

9.在AABC中，若此三角形有一解，则a,AA满足的条件为

10.在△ABC中，已知b=3,c=3#,Z.B=30>则“=

11.在△ABC中,已知sir?A+sin28=sin2。,求证：△ABC为直角三角

形

12.⑴已知△48C中，a=10,6=8,A=70°,求B;

（2）已知△ABC中,a=50,b=25y/6,A=45°,求5.

1.1.2余弦定理

班级2组名J姓名2_______设计人：连秀明审核人：魏帅举领导审批J

【学习目标】

1.会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的角度

问题是的作用；(难点)

2.会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，会运用余弦定

理解决三角形的基本问题；(重点)

3.会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。

【研讨互动问题生成】

1.余弦定理定义；

2.余弦定理适用于哪几种情况；

3.余弦定理的推论；

【合作探究问题解决】

1.在三角形ABC中，一直下列条件，解三角形。

(1)a=6,b=7,c=8

(2)a=7,b=9,c=13

2.在三角形ABC中，一直下列条件，解三角形。

(l)b=10,c=15,A=60°

(2)a=5.b=7.C=75°

【点睛师例巩固提高】

1.利用余弦定理说明aABC的内角C为锐角、直角、钝角的充要条件

222222

分别为/+〃>。2、a+b=c>a+b<c.

2.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c若，=ac且c=2a,

求cos8

【要点归纳反思总结】

1.已知三边求解三角形或已知两边及其夹角求解三角形时，使用余

弦定理。

2.A为锐角qCOSA=>o^b2+c2-a>0

222

A为钝角=cosA=b+c~a<0«K+c-a<0

3.在解三角形时，往往是正弦定理和余弦定理交替使用。

4.余弦定理求角时-，角的值是唯一的，这样可以避免产生增解。

5.已知三角形的两边两边的夹角，在解三角形时;要注意用余弦定

理求第三边，进而解出三角形。

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价:

【课后训练】

1.AABC中，a=3,b=V7,c=2,那么B等于()

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.已知AABC中,sinA:sinB:sinC=1：百：2,则A：B：C等于

A.1：2：3B.2：3：1

C.1：3：2D.3：1：2

3.在ABC中，B=6(r,b^ac,则ABC一定是

()

A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三

角形

4.若三条线段的长为5、6、7,则用这三条线段()

A、能组成直角三角形B、能组成锐角三角形

C、能组成钝角三角形D、不能组成三角形

5.在aABC中，若a=7,b=3,c=8,则其面积等于()

A.12B.—C.28D.673

2

6.在AABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c),则NA=()

A.90°B.60°C.120°D.150°

7.在AABC中，若a=7/=8,cosC=U,则最大角的余弦是()

14

A.--B.--C.--D.--

5678

8.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5”一7》-6=0

的根，

则三角形的另一边长为()

A.52B.2vHC.16D.

9.在△ABC中，若AB=0，AC=5,且cosC=—,则BC=.

10--------------

10.在△ABC中,]+c):(c+a):(a+P)=4:5:6,则△ABC的最大内角

的度数是

11.在△/a'中，NC=60°,a、b、c分别为N4N8、.C的对边，

则3+上=________.

b+ca+c

12.在△ABC中，4最大，C最小，且4=2C,a+c=2b,求此三角形

三边之比.

13.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，求x的范围

1.2.1应用举例

班级j组名j姓名j设计人：连秀明审核人：魏帅举领导审批:

【学习目标】

1.会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形，能够运用正、余弦定

理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。(重

点，难点)

2.了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的一些应用，体

会正，余弦定理在平面几何中的计算和推理中的工具作用。

【研讨互动问题生成】

1.测量中的有关概念、名词和术语

(1)基线：

(2)仰角与俯角：

(3)方位角与方向角：

(4)视角：

(5)坡角与坡度：

2.《1》三角形的几个面积公式

(1)S=；ah(h表示a边上的高)

(2)S=-absinC=-bcsin4='acsin5

222

(3)S=1r(a+b+c)(r为内切圆半径)

(4)S=Jp(p-4)(p)(p-c)(其中p=；(a+b+c))

【合作探究问题解决】

..A——B

1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之

间的距离，测量者在4的同侧，在所在的河岸边三-

D

选定一点C,测出AC的距离是55m，ZBAC=51°,zACB="。.求A、

8两点的距离（精确到0.1m）.

练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得NBC4=60。,

zACD=30°,NCDB=45'，ZBDA=60\

【点睛师例巩固提高】

1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距G的2的C、

。两点，并测得NACB=75°,NBCO=45°,ZADC=30°,NADB

=45°.4、B、C、。在同一个平面，求两目标A、B间的距离.

2.两灯塔A、8与海洋观察站C的距离都等于Q的I,灯塔4在观察站

。的北偏东30”,灯塔3在观察站C南偏东6CT,则A、8之间的距

离为多少？

【要点归纳反思总结】

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中

在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学

模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问

题的解

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价：

【课后训练】

1.如图，在山顶铁塔上8处测得地面上一点A的俯角a=5440,，在塔

2.某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、8两个目标，测得目

标A在南偏西57°,俯角是60°,测得目标B在南偏东78°,俯角

是45°,试求山高.

3.为测某塔A8的高度，在一幢与塔A8相距20m的楼的楼顶处测

得塔顶4的仰角为30,测得塔基8的俯角为45。，则塔A3的高度

为多少机？

4.在平地上有A、B两点，4在山的正东，B在山的东南，且在A的

南25°西300米的地方，在4侧山顶的仰角是30°,求山高.

1.2.2解三角形实际应用举例习题

班级2组名j姓名^设计人：连秀明审核人：魏帅举领导审批：

一、选择题

27r

1.在△ABC中，若b=l,c=小,ZC=y,则Q的值是（）

A.1B.小C./D.2

2.在AABC中，下列各式正确的是（）

asinB

A.T~——:~B.asinC=csinB

bsinA

C.asin(A+B)=csinAD.c2=a2+b2—2abcos(A

+B)

3.已知的三边分别为a、b、4a-+b-+ab,则MBC的最大角是

()

A.135°B.120°C.60°D.90°

4有A、B两个小岛相距10nmile,从A岛望B岛和C岛成60°的视

角，从B岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是

()

10

A.5啦nmileB.nmileC.-7=nmileD.5mnmile

3季

5.如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据,

测量应当用数据

A.a、a、b

C.a、b、Y

8的三角形的最大角与最东角之和为

6、边长为5、7、

A、90°B、120°C、135°D、150°

7、在AABC中，b=8,c=80，SM=166，则44等于

()

A、30。B、60。C、30。或150°D、60。或120。

8、在△ABC中，B=60：b2=ac,则△ABC一定是

()

A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三

角形

9.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A

/:

的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距

L---------^―

——//

离为50m,/ACB=45°，NCAB=105°后，一^1^£二就可

-----------A；

以计算出A、B两点的距离为()

A.5(hj2mB.50^3m

C.25^/2mD.25科m

乙

10.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好

与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西

60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°

方向，则这只船的速度是每小时()

010c8

A.5海里B.5福海里

C.10海里D.1咪海里

二、填空题

11.在△ABC中，tanB=l,sinC=—,b=100,则c=.

2

12.在aABC中，已知b=506,c=150,6=30”,则边长。=。

13.某船开始看见灯塔在南偏东30。方向，后来船沿南偏东60。的

方向航行30nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离

是..

14.甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲

楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别

是..•

三.解答题

15.在AABC中，若A=120°,AB=5,BC=7,求AABC的面积。

16.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的

B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在

其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船沿直线CB前往

B处救援，求cosNACB的值

北

•工东

c

17、在锐角三角形中，边a、b是方程x2—2镉x+2=0的两根，角A、

B满足：2sin(A+B)—m=0,求角C的度数，边c的长度及AABC的

面积。

18.甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9nmile,并

以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲姆

的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追

>15°

C

必修五第一章测试题

班级2组名J姓名2设计人：连秀明审核人：魏帅举领导审批j

一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知△ABC中4=30",C=105。，b=8，则等于

()

A4B472C4百D475

2.AABC中，8=45。，C=60。，c=l,则最短边的边长等于

()

V6a

A~B-C2DT

3.长为5、7、8的三角形勺I最大角与最小角之和为

A90°B120°C135°D150°

a_b_c

4.△ABC中cosAcos5cosC,贝I」△ABC一定是

()

A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形

5.△ABC中,8=60。，b2=ac,则AABC一定是

()

A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形

6.AABC中，NA=60°,a=^6,b=4,那么满足条件的4ABC

A有一个解B有两个解C无解D不能确定

7.△ABC中，6=8,C=8G,SABC=166,则NA等于

()

A30。B60。C30。或150。D60。或120。

a+b-c

8.△ABC中，若A=6(T,a=6,贝sinA+sin8-sinC等于

()

J,昱

A2B2DT

9.AABC中，A:8=1:2,C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分,

则cosA=()

A-B-C-D0

324

10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形

的形状为()

A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决

定

11在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。、

60。，则塔高为()

A.蛆米B.竺迪米C.200百米D.200米

33

12海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60。视

角，从B岛望C岛和A岛成75。的视角，则B、C间的距离是()

A.10海里B.5海里C.5&海里D.573海里

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在△ABC中，如果sinA:sin8:sinC=2:3:4,那么cosC等

于O

14.在aABC中，已知％=50百，c=150,8=30°,则边长。=。

15.在钝角AABC中，已知。=1,8=2,则最大边。的取值范围

是O

16.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60。，另两边之比为8：

5,则这个三角形的面积为。

三、解答题：本大题共4小题，70分，解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤。

cosA_〃_4

17（本题10分）在AABC中，已知边c=10,又知8$8一。一§,求边

a、b的长。

18（本题12分）在△ABC中，已知2。=%+。，sin"=sin8sinC,试判

断4ABC的形状。

19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程X2—2$x+2=0的

两根，角A、B满足：2sin（A+B）—43=0,求角C的度数，边c的长

度及aABC的面积。

20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求

击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据

经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，A游辽

/I弃建

问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）/‘府

B

本垒O

球运行方向

第二章数列

2.1数列的概念与简单表示法

班级j组名J姓名J设计人：乔晓丽审核人：魏帅举领导审批:

【学习目标】

1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；

了解数列是一种特殊的函数；

2、通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想

了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；

3、体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究

有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用

已知去研究未知的能力。

【研讨互动问题生成】

1.数列的概念

2.数列的记法

3.数列的通项公式

4.数列的本质

5.数列的分类

6.递推公式

【合作探究问题解决】

1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数：

（1）1,3,5,7

⑸2132-142-152-1

2'3'4'5

2.根据下面数列｛%｝的通项公式,写出前5项.

⑵an=(-1)"«

⑶an-2

【点睛师例巩固提高】

例1在数列｛%｝中，%=3吗0=21,通项公式是项数的一次函数.

⑴求数列㈤｝的通项公式,并求。2008；

(2)若么=%.，求数列也｝的通项公式.

例2.已知数列｛6,｝的通项公式为即=-2〃2+9n+3.

(1)试问2是否是数列｛%｝中的项？

(2)求数列｛环｝的最大项；

⑶若N0,求”.

例3已知数列4｝的首项4=1,且%=1+—匚(〃>1)，写出这个数列的

an-\

前5项.

例4已知数列｛许｝的递推公式是J=3--2%,且%=1,%=3.求:

(1)%；(2)127是这个数列中的第几项？

例5若记数列｛怎｝的前一〃项和为S“，试证明*=［一S,i〃>：

S,n=1

变式题：已知数列｛*｝的前〃项和为S“=2/一〃，求知.

【要点归纳反思总结】

(1)数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；

(2)了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能

发现数列规律找出可能的通项公式。

(3)了解数列是一种特殊的函数。

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价：

【课后训练】

1.下列说法正确的是(乙

A.数列1,3,5,7可以表示为｛1,3,5,7｝

B.数列与数列-2-1,0,1是相同的数列

C.数列｛竺1｝的第k项为1+工

nk

D.数列0,2,4,6,8……可记为｛2〃｝

2.设数列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通项公式是()

1117?

A.-(10M-1)B.-(1-)C.-(10z,-1)D.—(10n-1)

9310"910

3.已知数列｛%｝中，％=1,。2=3,%=*_]+」一(">3),则牝等于()

an-2

A.—B.—C.4D.5

123

4.已知数列｛4｝的首项为=1且=-；%_](〃>2),则知等于()

5.已知数列｛%｝满足则数列｛七｝是()

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

6.已知数列｛七｝满足%+2=。“+|+an,若1=1,%=8,则为等于()

A.-1B.2C.1D.3

7.数列｛*｝满足/=唾2(〃2+3)-2,则1(^3是这个数列的第一项.

8.数列｛”“｝的前〃项的积为〃2,则这个数列的第3项与第5项的和是

9.已知数歹!J｛%｝的前"项和为S“，且S“=2(%—1),贝IJ%=.

10.数列｛%｝满足%=2,%=3,an+2=3all+l-2an(n>1),写出数列的前6

项.

11.已知数列｛册｝的通项公式为an=+,且?=|",。4=|■，求a”和

a\o•

14.(1)已知数列&｝的前〃项和5“=2/+3〃,求明.

(2)已知数列｛%｝的前“项和5„=3"-2,求.

2.2等差数列

班级j组名j姓名j设计人：乔晓丽审核人：魏帅举领导审批:

【学习目标】

1.通过实例，理解等差数列的概念；

2.探索并掌握等差数列的通项公式；

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解

决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

【研讨互动问题生成】

1.等差数列的概念

2.等差数列的通项公式

【合作探究问题解决】

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为*=3〃-5的数列的图象。这个图

象有什么特点？

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？

据此说一说等差数列明=P〃+q与一次函数y=px+q的图象之间有什么

关系。

【点睛师例巩固提高】

例1.⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5,-9,~13,…的项？如果是，是第

几项？

例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初

的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往

14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,需要支付多少车费?

例3.已知数列｛*｝的通项公式为a“=pn+g,其中p、q为常数，且p

70,那么这个数列一定是等差数列吗?

【要点归纳反思总结】

①等差数列定义：即%=d(nN2)

②等差数列通项公式：%=%(nNl)

推导出公式：an=am+(n-m)d

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价：

【课后训练】

1.在等差数列｛a“｝中，已知%=2,电+%二，3,则氏+%+%等于

()

A.40B.42C.43D.45

2.设｛%｝是公差为正数的等差数列,若q+%+%=15,qa2a3=80,则

%]+42+为3=()

A.120B.105C.90D.75

3.已知等差数列2,5,8,……，该数列的第3k(k£N*)项组成的新

数列｛ZU的前4项是o｛bn｝的通项公式

为。

4.数列｛aj是首项为2,公差为3的等差数列，数列｛bj是首项为-2,

公差为4的等差数列。若an=bn,则n的值为()

(A)4(B)5(C)6(D)7

5.关于等差数列，有下列四个命题中是真命题的个数为()

(1)若有两项是有理数，则其余各项都是有理数(2)若有两项是无

理数，则其余各项都是无理数(3)若数列｛4｝是等差数列，则数列

｛ka“｝也是等差数列(4)若数列区｝是等差数列，则数列｛a：｝也是等

差数列

(A)1(B)2(C)3(D)4

6.在等差数列｛aj中，am=n,a„=m,则为+n的值为()

(A)m+n(B)g(〃z+〃)(C)g(m-〃)(D)0

7.在等差数列列J中，若ai+a4+a尸39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为

()

(A)30(B)27(C)24(D)21

8.一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的

比为()

(A)4：5(B)5：13(C)3：5(D)12：13

10.在等差数列｛aj中，已知a2+a7+a8+a9+ai4=70,则a8=。

11.在数列｛q｝中，q=l,a“+1=2,则与的值为()

A.99B.49C.102D.101

12.已知等差数列｛%｝的前三项为a-l,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为

13.已知数列｛aj的前n项和S“="+〃，那么它的通项公式为

an=

2.3等差数列的前n项和

班级j组名j姓名j设计人：乔晓丽审核人：魏帅举领导审批:

【学习目标】

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问

题

【研讨互动问题生成】

L等差数列的前〃项和公式1

2.等差数列的前〃项和公式2

【合作探究问题解决】

1.一般地,如果一个数列的前n项和为S“=p"+的+「，其中p、

q、r为常数，且pwO,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，

它的首项与公差分别是多少？

2.对等差数列的前〃项和公式2：S,,="％+次产可化成式子：

2

Sn=jn+(a,-j)n,当d#0,是一个常数项为零的二次式

【点睛师例巩固提高】

例1.一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差

是27,求这个等差数列的通项公式。

例2.差数列｛%｝中，fl4=-15,公差d=3,求数列｛%｝的前n项和

5„的最小值。

【要点归纳反思总结】

1.前n项和为S“=p〃2+q"+r,其中p、q、r为常数，且pwO,一定

是等差数列，该数列的首项是4=p+q+r;公差是d=2p

通项公式是。JS-+q+r,当〃=1时

"〔S“一Sj=2p〃一5+。),当〃22时

2.等差数列前项和的最值问题有两种方法：

(1)当%>0,d<0,前n项和有最大值.可由%20,且%+1W0,求得n

的值。

当凡<0,d>0,前n项和有最小值.可由%W0,且%M20,求得n的

值。

(2)由S0=小2+e「,利用二次函数配方法求得最值时门的值

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价：

【课后训练】

1.在等差数列出,｝中，S产S”贝lJSm+n的值为()

(A)0(B)Sm+Sn(C)2(Sra+Sn)(D)g(S,,,+S“)

2.在等差数列｛a“｝中，S4=6,S8=20,JJPJS12=。

3.在项数为n的等差数列｛aj中，前三项之和为12,最后三项之和

为132,前n项之和为240,贝ljn=。

4.已矢口等差数歹[｛4｝和｛6J的前n项和分另U为S”和且&=上，

T”2n+l

求幺=—O

b]

5.已知数列｛aj为等差数列，前30项的和为50,前50项的和为30,

求前80项的和。

6.a,6,c都是实数，那么"2b=a+c"是"a,Z?,c成等差数歹!J”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

7.若lg2』g(2-l),lg(2，+3)成等差数列，则x的值等于()

A.9B.log25C.32D.0或32

8.三个数成等差数列，平方和为450,两两之积的和为423,则其中

间数为()

A.150B.V150C.±V150D.±12

9.已知等差数列的首项为工，第10项是第一个比1大的项，则该

25

等差数列公差d的取值范围是()

A.d)—B.d<—C.—(J<—D.—｛d<—

752575257525

10.数列｛%｝是公差为d(dw0且d/1)的等差数列，它的前20项的和

§2。=10%则下列等式中正确的是()

A.m=2a54-6Z10B.m=ax4-2t?10

C.m=a5+a｝5D.m=2al0+d

11.在等差数列｛a.｝中,a2+a5=19,S5=40,则a.为()

A.27B.28C.29D.30

12.等差数列共有2〃+l项，所有奇数项之和为132,所有偶数项之和

为120,贝=()

A.9B.10C.11D.12

13.等差数列｛aj中，公差d<0,前〃项和S“，当〃22时一定有()

ASn>na｝BSn>nanCS„<nanDSn<叫

14.在公差为非零实数的等差数列｛%｝中，若。1,出是方程

一一+々4=。的两根，贝U通项公式

15.一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°,则最大角

为________

16.在等差数列｛a“｝中，an=a,a2n=/3,则如“=

17.在等差数列｛%｝中，％=-14/=3,贝ljn=时，S”有最小

值，最小值是_____

18.若三个数旃至数列，其和为15,其平方和为83,求此三个数

19.等差数列｛%｝中，％=-60,a*=T2,求其前〃项绝对值之和

2.4等比数列

班级j组名j姓名j设计人：乔晓丽审核人：魏帅举领导审批:

【学习目标】

1.理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模

型之一

2.探索并掌握等比数列的通项公式。

【研讨互动问题生成】

1.等比数列定义

2.等比数列通项公式

3.等比中项

【合作探究问题解决】

1.公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。

2.当首项等于。时，数列都是0。当公比为。时，数列也都是0。所

以首项和公比都不可以是0。

3.当公比q=l时，数列是怎么样的，当公比q大于1,公比q小于1

时数列是怎么样的？

4.等比数列和指数函数的关系

5.思考：/=43%是否成立呢？%;%%成立吗？

2

a,,=*an+,(n>l)成立吗？

6.思考：如果％也是两个等比数列，那么/却是等比数列吗？

如果是为什么？%是等比数列吗？

b“

7.思考:在等比数列里,如果机+"=p+q,a"a"成立吗？

如果是为什么？

【点睛师例巩固提高】

例：已知等比数列{a.},a2=2,%=128

(1)求通项％;

(2)若Z?“=log2%,数列也,｝的前〃项的和为S.，且S”=360,求"的值

【要点归纳反思总结】

1.等比数列的通项公式

2.等比数列的性质

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价：

【课后训练】

1.若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中

项是.

2.在等比数列｛“｝中，

(I潘q=、=3色%与=>

4lo----

(2)若S3—7^3,贝IIq—;

⑶若8j+a2+a3=—3,2a3=8,则Si=____.

3.在等比数列｛aj中,

(1)若&7,@12=5,则&8,39,310*311=；

(2)若ai+a2=324,a3+a«=36,则a$+a6=；

(3)若q为公比，ak=m,则ak+p=；

30

(4)若an>0,q=2,且a1•a2•a3---a30=2,则a3,a6,a,?…a3o=.

4.一个数列的前n项和Sn=8"-3,则它的通项公式a1,=__.

5.已知等比数列｛氏｝中，a2-10,“3=20，那么它的前5项和

S5~O

6.等比数列｛*｝的通项公式是%=2"",则a=o

7.在等比数列｛”“｝中，。2。。8=16,则牝=O

8..数列m,m,m,---■定[]

A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不

是等差数列

C.是等差数列，但不一定是等比数列D.既是等差数列,

又是等比数列

9.已知a,b,c,d是公比为2的等比数列，则"等于()

2c+d

A.1B.-C.-D.-

248

10.已知｛%｝是等比数列,且>09a2+2〃3•a5+a4•a6=25，那么

a3+a5的值是（）

A.5B.6C.7D.25

11.在等比数列｛七｝中，已知/=4，应=3,则该数列前5项的积为（）

A.±1B.3C.1D.±3

12.一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的

公差等于（）

A.0°B.15°C.30°D.60°

13.各项均为正的等比数列｛氏｝中，q；那么当4=二时，该数列

216

首项小的值为（)

A.1B.-1C.2D.-2

14.若6,x,y,z,54这五个数成等比数列，则实数x的值是（）

A.±673B.6百C.38D.±3痴

15.在数列｛4｝,已知a尸-1,a〃+a»i+4/2=0。

⑴若加a+2〃，求证：伍｝为等比数列，并写出依｝的通项公式;

⑵求｛4｝的通项公式'

2.5等比数列的前n项和

班级j组名j姓名j设计人：乔晓丽审核人：魏帅举领导审批:

【学习目标】

1.掌握等比数列前n项和公式及其获取思路；

2.会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问

题

【研讨互动问题生成】

1.等比数列的前〃项和公式1

2.等比数列的前〃项和公式2

【合作探究问题解决】

当"1时，s"=幺支q①或应②

\-q\-q

当q=l时一，S„=na{

当已知外,q,n时用公式①；当已知处,q,时、用公式②

【点睛师例巩固提高】

例L求和：S“=l+3x+5/+7/+…+(2〃—1)X"T

例2.求数列|提卜亭…前n项的和.

例3.求数列的前n项和：1+1—+4,上+7「,一】+3〃-2,•

aaa

11I

例4.求数列，…的前n项和.

1+,\/2-\p2,+V3V/J++1

【要点归纳反思总结】

等比数列求和的公式

【多元评价】

自我评价：小组成员评价：小组长评价：

学科长评价：学术助理评价：

【课后训练】

1.在等比数列｛%｝中，a7•a”=6.+%4=5，则\=（）

。10

2.等比数列也,｝中，已知4避242=64,则“4%的值为

3.实数%七依次成等比数列，其中却=2,a5=8,则a：,的值为_

4.设等比数列｛4｝的前n项和为S,，若区=3,则&=

5,S

5.等比数列｛4｝的前〃项和为S,,若S4=2&,则公比为

6.已知等比数列｛a“｝的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为

7.已知等比数列｛叫的首项为8,5.是其前n项的和，某同学经计算

得Sz=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了，则该

数为_______

8.已知数列｛吗的前〃项和S“=W（g0,为非零常数），则数

列｛4｝为（）

A.等差数列B.等比数列

C.既不等比也不等差D.既是等差又是等比

=

9.右an>0,q2,且a1•a?•a?…a3o=2,则a3•a6•^9***Q-3O=.

10.已知1,aba2,4成等差数列，1,bbb2,b3,4成等比数列，则

Q]+。2_

“2

n.等比数列伉｝的公比q>0,«2=1,。“+2+。向=6。“则数列｛凡｝的$=

12.等比数列M｝的前〃项和S“=a.2"+a-2,贝lja,=

21

13.已知数列｛a〃｝中，&=1,必x，4+2=§。”+|N+)

(1)求证：是等比数列。(2)求数列｛&｝的通项公式。

14.在等上匕数列｛%｝中,有>1,公比4>0,设b“=l