专题11 有关三角形的综合问题（练）-备战2019年中考数学二轮复习讲练测（解析版）

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题11有关三角形的综合问题一练基础——基础掌握1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A．B．C．3D．【答案】A．【分析】首先证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题．【解析】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=，∵CA=CA1，∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，∴∠BCB1=∠ACA1=60°，∵CB=CB1，∴△BCB1是等边三角形，∴BB1=，BA1=2，∠A1BB1=90°，∴BD=DB1=，∴A1D==．故选A．考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形．2．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线于BD交于点F，连接CD．则线段BF，DF，CD三者之间的关系为()A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CDC．BF2+DF2＝CD2 D．无法确定【答案】C【解析】【分析】由题意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，由AB＝AC，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分线，可得BF＝CF，根据勾股定理可求BF2+DF2的值．【详解】解：如图连接CD，CF∵AC＝AD，AC⊥AD∴∠ACD＝45°＝∠ADC∵AB＝AC＝AD∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°∴∠CBD＝45°∵AB＝AC，AE⊥BC∴AE是线段BC的垂直平分线∴BF＝CF∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2．故选：C．3．如图，在中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的大小为（）A．20° B．30° C．36° D．40°【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴，由折叠的性质得：，，∴，，∴；故选：C．4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接.若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，CD=DA．即可得到∠DCE=∠A，而∠A和∠B互余可求出∠A，由三角形外角性质即可求出∠CDA的度数.【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，∴∠DCE=∠A，∵∠ACB=90°，∠B=34°，∴∠A=56°，∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°，

故选：B．5.等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或10【答案】B．【解析】试题分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况：①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，∴x=2，把x=2代入得，4﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；②当a=b时，方程有两个相等的实数根，∴△=﹣4（n﹣1）=0，解得：n=10，故选B．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．6.如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为．【答案】120°．【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题．【解析】如图：AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ACE中，∵CD=CA，∠DCB=∠ACE，CB=CE，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB，∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，∴∠AOH=∠DCH=60°，∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．故答案为：120°．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．7.如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为______．【答案】．【分析】由勾股定理求出DA，由平行得出∠1=∠2，由角平分得出∠2=∠3，从而得出∠1=∠3，所以HE=HA．再利用△DGH∽△DCA即可求出HE，从而求出HG．【解析】如图（1）由勾股定理可得：DA===，由AE是∠DAB的平分线可知∠1=∠2，由CD⊥AB，BE⊥AB，EH⊥DC可知四边形GEBC为矩形，∴HE∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，故EH=HA，设EH=HA=x，则GH=x-2，DH=．∵HE∥AC，∴△DGH∽△DCA，∴即．解得x=，故HG=EH-EG==．故答案为：．考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质；平行线的性质．8.如图，，，点在边上，，和相交于点．（1）求证：≌；（2）若，求的度数．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）用ASA证明两三角形全等；（2）利用全等三角形的性质得出，再利用等边对等角求解即可.试题解析：(1)证明：和相交于点.在和中，.又.在和中，.（2）.在中，，.考点：全等三角形的判定与性质9.在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF=DF；③请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；③；（2）13．【分析】（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．【解析】（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形；②由①得△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE，又∵AC=BC，∴EA=ED，∴点B、E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF=DF；③由②知BF⊥AD，AF=DF，∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴EF=4，∵在等边三角形ABD中，BF=AB•sin∠BAF=6×=，∴BE=BF﹣EF=；（2）如图所示，∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，∴∠BAE=∠ABC，∵AC=BC=AE，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC，∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，∵AC=BC，∴AH=BH=AB=3，则CE=2CH=8，BE=5，∴BE+CE=13．考点：三角形综合题；旋转的性质；压轴题．10．已知:如图，在中，点、分别在边和上，且，，分别延长、交于点．（1）求证:；（2）求证:．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ADC=∠ACD，∠B=∠BDE，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠F，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论．【详解】解:（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴．11．四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．（1）若点O在四边形ABCD的内部，①如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=______°；②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．【答案】（1）①125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由见解析；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数；②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；（2）g根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到结论．【详解】解：（1）①∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，∴∠AEC=110°，∴∠DOE=360°-110°-70°-55°=125°；故答案为：125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，∴∠B+∠C+2∠DOE=360°；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由：∵∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），∴360°-∠B-∠C=2（180°-∠DOE），∴∠B+∠C=2∠DOE．二练能力——综合运用1．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．B．C．D．【答案】C．考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．2.如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A．B．C．3D．4【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质．3．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（）A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°【答案】B【解析】【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选：B．4．如图，已知边长为的等边三角形纸片，点在边上，点在边上，沿着折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的长是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的性质可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60度角的三角函数求得ED=EC，列出方程EC+ED=（1+）EC=5，解方程即可求解．【详解】∵沿着折叠，使点落在边上的点的位置，∴AE=ED在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC∴ED=ECsin60°=EC∵AE+EC=AC=5，∴CE+ED=（1+）EC=5∴CE=20-10．故选D．5．如图，（n+1）个边长为2的等边三角形△B1AC1，△B2C1C2、△B2C2C3，…，△Bn+1CnCn+1有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，△B4D3C3的面积为S3，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S2016=___．【答案】【解析】【分析】首先求出S1，S2，S3，…，探究规律后即可解决问题．【详解】∵△B1AC1，△B2C1C2、△B2C2C3，…，△Bn+1CnCn+1为等边三角形，∴B1C1//B2C2//B3C3…∵AC1=C1C2，∴D1B2=AB2，∴S1=，∵=，∴S1=，同理可得：D2B3=AB3，D3B4=AB4…∴S2==×2=，S3==×3=，…Sn=，∵=×2×2×sin60°=，∴当n=2016时，S2016=.故答案为：6．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图1，点O是AB的中点，OM⊥AC于M，求证：AM=CM；(2)如图2，若∠A=30°，AB=8cm，动点P从点A出发，在AB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CA边上以每秒cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜4），连接PQ．①若△APQ是直角三角形，直接写出t的值；②求证：PQ的中点D在△ABC的一条中位线上．

【答案】（1）详见解析；（2）或2；②详见解析.【解析】【分析】（1）连接OC，依据OC=AB=AO，OM⊥AC于M，即可得到AM=CM；

（2）①分两种情况：当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，当∠AQP=90°时，△APQ∽△ABC，分别依据相似三角形的对应边成比例，即可得到t的值；②作PM⊥AC于点M，作PE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，利用梯形中位线定理，可得DF=，过AC的中点R作直线平行于BC，可得RC=AC=DF=成立，即可得到D在过R的中位线上，即可得到PQ的中点D在△ABC的一条中位线上．【详解】解：（1）如图1，连接OC，

∵点O是AB的中点，∠ACB=90°，

∴OC=AB=AO，

又∵OM⊥AC于M，

∴AM=CM；（2）①由题可得，AP=2t，CQ=，BC=AB=4，

∴AC=，AQ=，两种情况：

当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，，即，解得t=；当∠AQP=90°时，△APQ∽△ABC，，即,解得t=2，

∴t的值为或2；②如图3，作PM⊥AC于点M，作PE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则PM=AP=t，AM=∵∠ACB=90°，

∴DF为梯形PECQ的中位线，

∴DF=，∵QC=，PE=MC=AC-AM=-∴DF=，∵AC=过AC的中点R作直线平行于BC，

∴RC=AC=DF=成立，

∴D在过R的中位线上，

∴PQ的中点D在△ABC的一条中位线上．7．课本作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=SKIPIF1<0，试画出示意图，并求出SKIPIF1<0所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【答案】解：（1）如答图1作图：（2）如答图2①、②作△ABC．=1\*GB3①AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．【考点】1．新定义和阅读理解型问题；2．图形的设计；3．等腰三角形的判定；4．三角形内角和定理；5．相似三角形的判定和性质；6．方程思想和分类思想的应用．【分析】（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验--分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．8.（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．【答案】解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADG，AD=AB．在△ABE和△ADG中，∵SKIPIF1<0，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴∠BAE=∠DAG，AE=AG．∴∠EAG=90°．在△FAE和△GAF中，∵SKIPIF1<0，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG．（2）如答图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM，连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∵SKIPIF1<0，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．∴由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∵SKIPIF1<0，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32．∴MN=SKIPIF1<0.【考点】1．全等三角形的判定和性质；2．正方形的性质；3．等腰直角三角形的性质；4．勾股定理．【分析】（1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△GAF，根据全等三角形的性质求出即可．（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．9．如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）求证：BE=EC；（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=α时，求BE的长（用含k、α的式子表示）．【答案】解：（1）∠DCA=∠BDE．证明如下：∵AB=AC，DC=DE，∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．（2）证明：如答图1，过点E作EG∥AC，交AB于点G，则有∠DAC=∠DGE．在△DCA和△EDG中，∵∠DCA=∠GDE，∠DAC=∠EGD，DC=ED，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，CA=DG．∴DG=AB．∴DA=BG．∵AF∥EG，DF=EF，∴DA=AG．∴AG=BG．∵EG∥AC，∴BE=EC．（3）如答图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，∵AB=AC，DC=DE，∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．∴∠BDE=∠DBC﹣∠DEC=∠ACB﹣∠DCE=∠DCA．∵AC∥EG，∴∠DAC=∠DGE．在△DCA和△EDG中，∵∠DCA=∠GDE，∠DAC=∠EGD，DC=ED，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，CA=DG．∴DG=AB=1．∵AF∥EG，∴△ADF∽△GDE．∴SKIPIF1<0．∵DF=kFE，∴DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．∴SKIPIF1<0．∴AD=SKIPIF1<0．∴GE=AD=SKIPIF1<0．如答图2，过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH．∴BC=2BH．∵AB=1，∠ABC=α，∴BH=AB•cos∠ABH=cosα．∴BC=2cosα．∵AC∥EG，∴△ABC∽△GBE．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴BE=SKIPIF1<0．∴BE的长为SKIPIF1<0．【考点】1．相似形综合题；2．三角形的外角性质；3．全等三角形的判定和性质；4．等腰三角形的性质；5．相似三角形的判定和性质；6．锐角三角函数的定义．．【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，要证BE=CE，只需证BG=AG，由DF=FE可证到DA=AG，只需证到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需证明△DCA≌△△EDG即可解决问题．（3）过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，可求出BC=2cosα．过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，易证△DCA≌△△EDG，则有DA=EG，CA=DG=1．易证△ADF∽△GDE，则有SKIPIF1<0．由DF=kFE可得DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．从而可以求得AD=SKIPIF1<0，即GE=SKIPIF1<0．易证△ABC∽△GBE，则有SKIPIF1<0，从而可以求出BE．10.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据▲，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若▲，则△ABC≌△DEF．【答案】解：（1）HL．（2）证明：如答图1，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH．在△CBG和△FEH中，∵SKIPIF1<0，∴△CBG≌△FEH（AAS）．∴CG=FH．在Rt△ACG和Rt△DFH中，∵SKIPIF1<0，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）．∴∠A=∠D．在△ABC和△DEF中，∵SKIPIF1<0，∴△ABC≌△DEF（AAS）．（3）答如图2，△DEF和△ABC不全等．（4）∠B≥∠A．【考点】1．探究型问题；2．全等三角形的判定和性质；3．作图—应用与设计作图．【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明．（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等．（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等．（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．11如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之