绿色通道北师大版-高中必修5数学-教学资源-课时跟踪检测15

课时跟踪检测15解三角形的实际应用举例(对应学生用书P099)基础检测题——顺畅轻松做一、选择题1．某人遥控一机器人，让机器人从点A出发向正北方向走了2eq\r(3)km到达点B后，向右转105°，然后朝新方向走了xkm后到达点C，结果发现机器人在点A的东北方向，则x为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或2eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理可得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(x,sin45°)，即x＝2eq\r(2).答案D2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处测得公路北侧一山顶D在西偏北30°(即∠BAC＝30°)的方向上；行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°(即∠CBE＝75°)的方向上，且仰角为30°，则此山的高度CD＝()A．300eq\r(6)m B．150eq\r(3)mC．100eq\r(6)m D．100eq\r(3)m解析由题意得在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°，AB＝600m，由正弦定理eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，BC＝300eq\r(2)m，又仰角为30°，即∠DBC＝30°，所以eq\f(CD,CB)＝tan30°，CD＝100eq\r(6)m，选C.答案C3．如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为0.07km，距测速区终点B的距离为0.04km，且∠APB＝60°，现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于()A．60至70km/h B．70至C．80至90km/h D．90至解析根据题意可知AP＝70m，BP＝40m，则有AB＝eq\r(4900＋1600－2×70×40×\f(1,2))＝10eq\r(37)，而eq\f(10\r(37),3)×3600＝12000eq\r(37)m/h＝12eq\r(37)km/h，因为70＜12eq\r(37)＜80，故选B.答案B4．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为()A.eq\f(3,5)米/秒B.eq\f(\r(3),5)米/秒C.eq\f(\r(6),5)米/秒D.eq\f(1,5)米/秒解析由条件得△ABD中，∠DAB＝45°，∠ABD＝105°，∠ADB＝30°，AB＝10eq\r(6)，由正弦定理得BD＝eq\f(sin∠DAB,sin∠ADB)·AB＝20eq\r(3)，则在Rt△BCD中，CD＝20eq\r(3)×sin60°＝30，所以速度v＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)米/秒，故选A.答案A5．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，则炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()米．()A．10eq\r(3) B．100eq\r(3)C．20eq\r(30) D．30解析如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD，Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30米，Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝eq\r(3)AB＝30eq\r(3)米，在△BCD中，BC＝30米，BD＝30eq\r(3)米，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos30°＝900，∴CD＝30米(负值舍去)，故选D.答案D6．已知在海中一孤岛D的周围有两个观察站A、C，且观察站A在岛D的正北5海里处，观察站C在岛D的正西方．现在海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站A与C的距离为()A.eq\f(\r(21),2)B.eq\r(21)C.eq\r(7) D．2eq\r(7)解析画出如右示意图．由题意可得，∠BCD＝120°，又∠BAD＝60°，所以A，B，C，D四点共圆，且AC为直径、∠ABC＝90°.在△BAD中，AB＝4，AD＝5，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝42＋52－2×4×5×eq\f(1,2)＝21，∴BD＝eq\r(21).∴AC＝2R＝eq\f(BD,sin∠BAD)＝2eq\r(7)(其中R为圆的半径)．选D.答案D二、填空题7．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里，请问此田面积为________平方里．解析由题意画出图形：且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(12,13)，则该沙田的面积：即△ABC的面积S＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)＝84.故答案为84.答案848．如图，我舰在岛A南偏西50°方向相距12nmile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向航行，若我舰以28nmile/h的速度用1小时追上敌舰，则敌舰的速度为________nmile/h.解析设敌舰的速度为v，则∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝v×1＝v，BC＝28×1＝28，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即282＝122＋v2－2×12×v×cos120°＝784，解得v＝20，即敌舰的速度为20海里/小时，故答案为20.答案209.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.解析依题意得OD＝100m，CD＝150m，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2×OD·CD·cos∠ODC，即OC2＝10000＋22500－2×100×150×eq\f(1,2)，∴OC2＝17500，∴OC＝50eq\r(7)m．即该扇形的半径为50eq\答案5010．已知某台风中心位于海港城市A东偏北α的150公里外，以每小时v公里的速度向正西方向快速移动，2.5小时后到达距海港城市A西偏北β的200公里处，若4cosα＝3cosβ，则风速v的值为________公里/小时．解析如图所示：AB＝150，AC＝200，∠B＝α，∠C＝β，在Rt△ADB中，AD＝ABsinα＝150sinα，BD＝ABcosα，在Rt△ADC中，AD＝ACsinβ＝200sinβ，CD＝ACcosβ.∴150sinα＝200sinβ，即3sinα＝4sinβ，①，又cosα＝eq\f(3,4)cosβ，②由①②解得sinβ＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴BD＝ABcosα＝150×eq\f(3,5)＝90，CD＝ACcosβ＝200×eq\f(4,5)＝160，∴BC＝BD＋CD＝90＋160＝250，∴v＝eq\f(250,2.5)＝100，故答案为100.答案100三、解答题11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约eq\r(3)km的B处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最多需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离均为1km.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f(ABsin30°,AC)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1.在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.∵eq\f(BC,12)×60＝5，∴在BC段需要5min，在CD段需要5min.则最多需要5min，检查员开始收不到信号，并至少持续5min.12．在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰，在A处收到某商船在航行中发出求救信号后，立即测出该商船在方位角为45°、距离A处为10nmile的C处，并测得该船正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度航行，“徐州”舰立即以21nmile/h的速度航行前去营救．(1)“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船？(2)在营救时间最少的前提下，“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进？(角度精确到0.1°，时间精确到1min，参考数据：cos21.8°≈0.9286)解(1)如图，由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间为xh.AB＝21xnmile，BC＝9xnmile，AC＝10nmile.又∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋(180°－105°)＝120°，根据余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，即(21x)2＝102＋(9x)2－2×10×9x即36x2－9x－10＝0，解得x1＝eq\f(2,3)，x2＝－eq\f(5,12)(舍去)．故“徐州”舰最少需要40min才能靠近商船．(2)由(1)知AB＝21x＝14(nmile)，BC＝9x＝6(nmile)，由余弦定理可得cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(142＋102－62,2×14×10)≈0.9286，∴∠BAC≈21.8°，故“徐州”舰前进的方位角约为45°＋21.8°＝66.8°.13．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，求A，B两点的距离？解由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))；△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600(8－4eq\r(3))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20解得AB＝80eq\r(5)，∴两目标A，B间的距离为80eq\r(5).素养能力题——从容有序过14．如图，从高为h的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是α，桥头(C)的俯角是β，则桥BC的长为()A.eq\f(sinα－β,cosαcosβ)·hB.eq\f(cosα－β,sinαsinβ)·hC.eq\f(sinα－β,sinαsinβ)·hD.eq\f(cosα－β,cosαcosβ)·h解析如图，由题意得：∠ACD＝β，∠ABD＝α，AD＝h，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，即tanβ＝eq\f(h,CD)，整理得：CD＝eq\f(h,tanβ)；在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)，即tanα＝eq\f(h,BD)，整理得：BD＝eq\f(h,tanα)，则BC＝CD－BD＝eq\f(h,tanβ)－eq\f(h,tanα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosβ,sinβ)－\f(cosα,sinα)))h＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,sinαsinβ)h＝eq\f(sinα－β,sinαsinβ)h，故选C.答案C15.如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8分钟，AC长为1260米，若cosA＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(63,65).为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v(米/分钟)的取值范围是________．解析在△ABC中解三角形：已知b＝1260，cosA＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(63,65)，则：sinA＝eq\f(5,13)，由正弦定理可得：a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(1260×\f(5,13),\f(63,65))＝500，乙从B出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤eq\f(500,v)－eq\f(710,50)≤3，解得eq\f(1250,43)≤v≤eq\f(625,14)，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1250,43)，\f(625,14)))范围内．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1250,43)，\f(625,14)))16.西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE，其中三角形区域ABE为球类活动场所；四边形BCDE为文艺活动场所，AB，BC，CD，DE，EA为运动小道(不考虑宽度)∠BCD＝∠CDE＝120°，∠BAE＝60°，DE＝2BC＝2CD＝6千米．(1)求小道BE的长度；(2)求球类活动场所△ABE的面积最大值．解如图所示，连接BD，(1)在三角形BCD中，BC＝CD＝eq\f(DE,2)＝3千米，∠BCD＝120°，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝27，所以BD＝3eq\r(3)(千