新教材第八章 函数应用 练习-苏教版高中数学必修第一册

第八章函数应用

一、单选题

1.下列函数不存在零点的是（）

A.y=x—-B.y=y]2x1—x—l

Jx

x+1,烂0,1,x>0,

C.y=\D.y=\

x—1,x>0[x—1,x<0

【答案】D

【解析】分别令y=0，A,B,C均有解；

x>0»fx<0,

对于D或无解.

(x+1=0[x—1=0,

2.函数旷=(*一1)(小-2%—3)的零点为()

A.1,2,3B.1,-1,3

C.1,—1,—3D.无零点

【答案】B

【解析】令y=0,即（x—l）（x~—2x—3）=0,解得X]=l,》2=—1＞》3=3.故选B.

3.设方程1?一3|=。的解的个数为〃?，则用不可能等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出函数），|=状一3|和以="的图象，如图所示.

可知方程解的个数为023或4,不可能有1个解.

4.已知函数兀0=2'+%—5,则处0的零点所在的区间为（）

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

113

【解析】人0)=2°—5<0,.川)=2'+^—5<0,丸2)=22+]—5<0,/3)=23+^-5>0,/(4)=24+1

一5>0,则有|2)哄3)<0.故选C.

5.若函数Ax)=ak)g2x+a4'+3在区间Q，1)上有零点，则实数。的取值范围是()

A.a<-3

33

B.—2<«<—

3

C.-3VaV—a

31

D--2<a<-2

【答案】C

【解析】•••函数y=log2X，y=4*在其定义域上单调递增，.•.函数_/U）=Hog2x+a4'+3在区间（；，1）

上单调且连续，由零点存在性定理可得贡1）<0,

即（一。+2"+3）（44+3）<0,

解得一3<a<一/

6.某企业2017年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2017年度产值的月平均增长

率为（）

Ap~iB.折一［

C.i呼D.-^p

【答案】B

【解析】设1月份产值为。，增长率为x,贝iJ“P=a（l+x）“，.•.X=折一1.

7.已知在x克a%的盐水中，加入y克6%（右纳）的盐水，浓度变为c%,将y表示成x的函数关系式

为（）

c-ac-a

A-尸二^B-尸广不

c-bh-c

C.y=xD.y=x

c-aJc-a

【答案】B

【解析】根据配制前后溶质不变，有等式4%x+b%y=c%（x+y）,即or+by=cx+0,故

8.我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股

票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨

跌情况是（）

A.跌1.99%B.涨1.99%

C.跌0.99%D.涨0.99%

【答案】A

【解析】设四天前股价为则现在的股价为4X1.12x0.92=0.9801”，跌1.99%.

多选题

9.已知函数/■(%)=xr-logix,若0<a<b<c,且满足/'(tO/SXc)<0(0<a<b<c>则下列说

2

法一定正确的是()

①了(幻有且只一个零点；②了(耳的零点在(0,)内；

③f(幻的零点在(必)内；④/⑴的零点在(c+8)内。

A.①B.②C.③D.④

【答案】AB

(解析】根据题意，函数/1(%)=xi-logix,

2

函数y=3在(°，+8)上为增函数，而y=］。97为减函数，则/1(%)在(0,+8)上为增函数，

又由/'(1)=1-0=1，〃,=Jj-i<0，则函数/"(X)在(a1)上存在।个零点，并且只有1个零

点：

^0<a<b<c,则有/•(a)<f(b)<f(c)，

又由〃a)/(b)/(c)<0，则/'(a)*：0,f(&)>0.〃c)>0或/•((!)<0,/(b)<0./(c)<0；

据此分析选项：

对于①，函数/■(幻在6,1)上存在1个零点，且〃幻单调递增，则〃幻有且只一个零点，正确;

对于②，函数/"(幻在((1)上存在1个零点，则〃幻的零点在(0,1)内，正确；

对于③，④，不能确定。、b、c的具体值，错误；

故选AB.

10.以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是

【解析】。选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同，因此不能用二分法求零点，

而4、B、C选项符合利用二分法求函数零点的条件.

故选ABC.

11.已知函数/'(X)=(10g2%)2—log2%2—3，则()

A./(4)=-3

B.函数y=/(X)的图象与x轴有两个交点

C.函数y=/(x)的最小值为一4

D.函数y=f(x)的最大值为4

【答案】ABC

22

【解析】A选项：f(4)=(log24)—logz4—3=—3，正确;

B选项：因为/'(x)=(logzx)2—210g2、—3,xe(ft+oo).令/'(X)=0得：(log2尤+1)QogzX—3)=0,

即得Iog2X=-1或log2X=3,所以％=:或X=8,即r(幻的图像与X有两个交点，正确.

C选项：因为/'(X)=(log24—1)2—W(0,+8),所以当10g2X=l，即X=2时，fmin(x)=—4，

正确.

。选项：由上可知，〃幻没有最大值.

所以答案为ABC.

12.为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时

尚.假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一

年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是()(参考数据：

Igl.2ao.07G,Ig2ao.301)

A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年

【答案】CD

【解析】设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元,

则投入的资金为丫=5000X(1+20%)”，

由题意可得：y=5000x(1+20%)”>12800,

BP1.2">2.56

nlgl.2>Ig2.56=lg28-2，

IgZ8—2_8x0.301-2

.%n>*5.16,

lgL2——0.079-

•/HWZ,：•71之6,

即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，

故选CD.

三、填空题

13.函数y=f与函数y=xlnx在区间(1,+s)上增长较快的一个是.

【答案】y=?

【解析】y—x=xx,y=xlnx,其中y=x比y=lnx在(1,+8)上增长较快，也可取特殊值验证.

14.在用二分法求方程d—2x—1=0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步

可以断定该根所在区间为.

【答案】(1.5,2)

【解析】设«r)=x3—2x—1,

则/1)=/一2—1=-2<0,

/(2)=23-2x2-l=3>0,

X15)=-0.625<0.

...该根在区间(1.5,2)内

15.若函数,/U)是定义在R上的偶函数，在(一8,0]上是减函数，且一个零点是2,则使得./(x)<0的

x的取值范围是.

【答案】(-2,2)

【解析】因为函数4X)是定义在R上的偶函数且一个零点是2,则还有一个零点为一2.又函数人x)

在(-8,0]上是减函数，则凡¥)<0的比的取值范围是(一2,2).

[/x,x>0,

16.已知函数/(x)=a|10gMi+1(。翔)，定义函数F(x)=给出下列四种说法：

[f—x，x<0.

①"x)=l/U)|；②函数Rx)是偶函数；③当。<0时，若则有Z7"")一F(〃)V0成立；④

当〃>0时，函数y=F(x)—2有4个零点.其中正确说法的序号是.

【答案】②③④

【解析】①易知尸(x)=mx|),故&x)=[/(x)|不正确；②,"(x)=/(|x|),x)=F(x),函数/(x)

是偶函数；③当“V0时，若0<加<"<1,则F(，”)一尸(〃)=—alog2，〃+1一(―alog2"+l)=a(log2”一

11

log2M<0；④当。>0时.，尸(x)=2可化为火国)=2,即。|1。82国|+1=2,即|log2M=”故国=2"或因

=2一"故函数y=F(x)—2有4个零点，故②③④正确.

四、解答题

17.已知函数式》)=%3-/+5+：.证明：存在沏G(o,g,使y(xo)=M).

证明令g(x)=/(x)—x=f—f—%+；.

：g(o)=；,g(；)=-**(。>周<0.

又函数g(x)在0,1上连续，

...存在必任(0'/)，使g(x())=0,即./(xo)=xo.

18.已知若函数y=a?-x—i只有一个零点，求实数。的取值范围.

解(1)当a=0时，y=-x—1只有一个零点一【；

⑵当a加时，y=a?-x-i为二次函数，

'：y=cu?-x-\只有一个零点，.'.a?—X-1=0只有一个实根，

=1+4白=0,

•〃一」

4.

综上所述，4=0或一；.

19.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%

进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按210g5(A+1)进行奖励,

没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为武单位：万元).

(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；

(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

fO.lx,0X15,

解(1)由题意，得y=।J'、"

[1.5+21og5x—>x>15.

(2)，.,当xG(0,15]时,0.1烂1.5,

又y=5.5>1.5,：.x>15,

/.1.5+21og5(x-14)=5.5,解得x=39.

答老张的销售利润是39万元.

20.已知函数式用=〃加一3尤+1的零点至少有一个大于0,求实数机的取值范围.

解(1)当〃?=0时，由y(x)=o,得x=g,符合题意，

(2)当*0时,

9

①由4=9—4〃?=0,得加=彳，

2

令yu)=o,解得x=§,符合题意；

_9

②/>0,即9一4"?>0时，mV]

设段)=0的两根为为,必且由〈工2，

93

若0V加〈币则加+必=/>。，

汨・应=\>0，

即即>0,应>。，符合题意，

3

若m<0f则Xi+x2=~<0,

如应=«0，

即©<0,必>0,符合题意，

9C9'

综上可知机q,即m的取值范围为(一8,a.

21.用模型7^)=奴+6来描述某企业每季度的利润加X)亿元和生产成本投入X亿元的关系.统计表

明，当每季度投入1亿元时，利润乃=1亿元，当每季度投入2亿元时，利润”=2亿元，当每季度

投入3亿元时，利润为=2亿元.又定义：当犬x)使伏1)一)，|『+优2)—>2『+优3)一%|2的数值最小时

为最佳模型.

2

⑴当6=]时，求相应的a,使人x)=ax+h成为最佳模型；

(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4亿元时利润为亿元的值.

解⑴当〃等寸，四)一力