专题08 解答题第22题(统计、方程、一次函数、解直角三角形应用)（16区）（解析版）

专题08解答题第22题(统计、方程、一次函数、解直角三角形应用)（16区）1．（2023·上海松江·统考二模）某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩x分（x为整数）评定为A、B、C、D四个等级，其中A等级：，B等级：，C等级：，D等级：．从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）．等级频数（人数）频率请根据所给信息，回答下列问题：(1)扇形图中，等级所在扇形的圆心角为；(2)此次测试成绩的中位数处在等级中；（填，、、）(3)该校决定对等级的学生进行安全再教育，已知是的倍，那么该校六年级名学生中，需接受安全再教育的约有多少人？【答案】(1)(2)(3)人【分析】（1）用乘以即可求解；（2）根据中位数的定义即可求解；（3）根据题意求得，然后根据样本估计总体即可求解．【详解】（1）解：扇形图中，等级所在扇形的圆心角为故答案为：．（2）等级的人数为人，等级的人数为人，频率为，等级的频率为，中位数在等级，故答案为：．（3）解：总人数为人∵是的5倍，∴（人）∴∴该校六年级名学生中，需接受安全再教育的约有人．【点睛】本题考查了频数分布表，中位数的定义，样本估计总体，熟练掌握频数与频率的关系是解题的关键．2．（2023·上海·杨浦二模）如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆O，其中水面截线，小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为，已知小树的高为米．(1)求直径的长；(2)如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，）【答案】(1)7米(2)6.7米【分析】（1）由题意知，根据，求的值即可；（2）如图，过点O作于D，并延长交于H，连接，则米，米，米，在中，由勾股定理求的值，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，，∴，∴，答：直径的长为7米；（2）解：如图，过点O作于D，并延长交于H，连接，∴米，∵的直径为7米，∴米∴米，在中，由勾股定理得，∴，答：水面的宽度约为6.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（2023·上海浦东新·统考二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：分档户年用水量（立方米）自来水单价（元/立方米）污水处理单价（元/立方米）第一阶梯0~220（含220）2.251.8第二阶梯220~300（含300）4第三阶梯300以上6.99注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：(1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？(2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式；(3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元(2)(3)他家全年用水量是270立方米【分析】（1）根据题意列出算式计算即可；（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；（3）根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将代入（2）中求出的函数解析式进行解答即可．【详解】（1）解：根据题意得：（元），答：她家全年应缴纳水费891元．（2）解：设线段的表达式为，把，代入得：，解得：，∴线段的表达式为．（3）解：∵，∴小明家全年用水量处于第二阶梯，把代入得：，解得：，答：他家全年用水量是270立方米．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合．4．（2023·上海金山·统考二模）空气质量指数（AirQualityIndex，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．）如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图．空气质量指数（AQI）0~5050~100100~150150~200200~250天数333频率0.10.10.1（注：每组数据可含最高值，不含最低值）(1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天．________；________；________；________．(2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面积．已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比为2022年的绿化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率（精确到0.01）（参考数据：，，，）【答案】(1)3，12，9，0.4，0.3(2)【分析】（1）根据样本容量=天数÷频率，求得样本容量，根据计算出良好的频率，后运用公式依次计算即可．（2）设平均增长率为x，根据题意得计算即可．【详解】（1）根据题意，得轻度污染天数为3天，样本容量为：，∵，∴良好天气的频率为，∴优秀天气的频率为，∴，∴优秀天气的频率为，故答案为：3，12，9，0.4，0.3．（2）设平均增长率为x，根据题意得，解得，∵，∴或（舍去）故这两年中绿化面积每年的增长率为．【点睛】本题考查了频数分布表，一元二次方程的增长率问题，熟练掌握频数分布表，增长率问题是解题的关键．5．（2023·上海嘉定·统考二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．(1)如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；(2)如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由．【答案】(1)(2)符合规定，理由见解析【分析】（1）根据时间=路程÷速度即可求出答案；（2）根据题意列分式方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得：提速前从A城到B城的所用时间为：（小时），提速后的速度为100千米/小时，∴提速后从A城到B城的所用时间为：（小时），∴提速后从A城到B城的行驶时间减少（小时）；（2）解：设列车提速前速度是每小时x千米，则解得：(舍去），，∴提速后的速度为，符合规定.【点睛】本题考查了分式方程应用题，运用路程=速度乘以时间解决问题．6．（2023·上海宝山·统考二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．(1)求“房顶”点A到盒底边的距离；(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．【答案】(1)点A到盒底边的距离为厘米；(2)新造型“盒身”的高度为厘米．【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进一步计算即可求解；（2）利用（1）的结论，结合角和的正弦、余弦，建立方程即可求解．【详解】（1）解：如图，作垂足为F，∵是等腰三角形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，在中，，∴，∴点A到盒底边的距离为厘米；（2）解：如图，作垂足为F，设，则，，∵，∴，由（1）得，∴，解得或3，当时，，不合题意，舍去；∴，即新造型“盒身”的高度为厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．7．（2023·上海崇明·统考二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；(2)该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．【答案】(1)(2)选购的甲、乙消毒剂的数量分别为30瓶，60瓶【分析】（1）设出函数解析式，根据图象，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，根据两种消毒剂的数量关系，列出分式方程，进行求解即可．【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，由图象可知，图象过点，∴，解得：，∴；（2）解：设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，由题意，得：，整理，得：解得：（负值已舍掉），经检验，是原方程的解，∴乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，∴甲消毒剂的数量为瓶，乙消毒剂的数量为瓶．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，列出分式方程．8．（2023·上海静安·统考二模）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米．小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟．如图反映了这个过程中小明离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：(1)小明从家到街心公园的速度为______（米/分）；(2)小明从街心公园到超市的速度为______（米/分）；(3)小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的函数解析式，并写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题图信息即可求解；（2）根据题图信息即可求解；（3）由题可知，妈妈回家所用时间为；妈妈比小明早到家10分钟，小明骑自行车返回家的时间为：；小明到家时途中所对应的坐标为；；将相关点代入函数解析式中即可求解；【详解】（1）解：，故答案为：；（2），故答案为：；（3）由题可知，妈妈回家所用时间为；妈妈比小明早到家10分钟，∴小明骑自行车返回家的时间为：；∴小明到家时途中所对应的坐标为；；设小明从超市骑车返回家时，他离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的函数解析式为将、代入得，；解得：，∴．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题图信息得到相关点的坐标是解本题的关键．9．（2023·上海·闵行二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；（参考数据：，，）．(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？【答案】(1)1200米(2)原计划单向开挖每天挖100米【分析】（1）由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程，然后求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，米，∴米；答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．（2）解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：，解得：，经检验：是原方程的解且满足题意，答：原计划单向开挖每天挖100米．【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．10．（2023·上海黄浦·统考二模）已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且．(1)求弦的长；(2)求图中阴影部分面积（结果保留π）．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，则，由线段垂直平分线性质得．进而由勾股定理得，再由垂径定理即可求解；（2）连接，，先证是等边三角形，再证，利用扇形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接，则，∵弦垂直平分，∴．在中，∵半径垂直，∴∴；（2）解：在中，，∴．连接，，∵，∴，．又∵，∴是等边三角形．∴，∵，．∵，∴∴，∴．【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，扇形面积的计算以及勾股定理关键是由条件推出阴影的面积=扇形的面积．11．（2023·上海徐汇·统考二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度厘米的A处，花洒的长度为厘米．(1)已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号）(2)某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了元，求这个此款花洒的原价是多少元？【答案】(1)(2)120元【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，过点B作于点E，构造出矩形ABHE，，然后解直角三角形求解，（2）设此款花洒的原价是元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元列分式方程即可求解．【详解】（1）解：过点作，垂足为点，过作，垂足为点，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，又∵，∴，在中，，，∴，，在中，，∴流喷射到地面的位置点C与墙面的距离，（2）设此款花洒的原价是元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，列方程得：，解得：，经检验：是方程的解，答：这个此款花洒的原价是120元．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，熟记理解题意，明确每一个量的意义是解题的关键．12．（2023上海虹口二模）（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图8，在△ABC中，AB=5，AC=，tan∠BAC=2．小明根据下列步骤作图：①以点C为圆心，AC的长为半径作弧，交AC的延长线于点D；②以点A为圆心，取定长a为半径作弧分别交∠BAC的两边于点M、N；③以点D为圆心，a为半径作弧，交CD于点P；④以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交前弧于点Q，联结DQ并延长交BC的延长线于点E．（1）填空：由作图步骤①可得CD=AC；由作图步骤②③④可得▲=▲；又因为∠ACB=∠DCE；所以△ABC≌△DEC，理由是▲．（2）联结AE，求tan∠EAD的值．EE图8CBADMNPQ解：（1）∠CDE，∠CAB；A.S.A.……………（2分，2分）（2）过点E作EF⊥CD于点F，…………………（1分）∵△ABC≌△DEC∴ED=AB=5∵∠BAC=∠CDE∴tan∠CDE=tan∠BAC=2……………（1分）∴cos∠CDE=，sin∠CDE=…………（1分）在Rt△EFD中，，……（2分）∵CD=AC=，∴CF=，∴AF=在Rt△EAF中，.………（1分）13.（2023上海奉贤二模）22．（本题满分10分，每小题满分5分）图7-1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图7-2是它的示意图．经过测量，支架的立柱AB与地面垂直（∠BAC=90°），AB=2.7米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB=33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE=66°，又测得CE=2.2米．（1）求该支架的边BD的长；（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到0.1米）图图7-2ABCDEM图7-1立柱支撑杆斜杆（1）由题意得，∠BAC=90°，AB=2.7米，∠ACB=33°，∠DBE=66°，CE=2.2米，DE⊥BC．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，即（米）． （2分）∴（米）． （1分）在Rt△BED中，∠BED＝90°，，即（米）． （2分）答：该支架的边BD的长7米．（2）过点D作DH⊥AM，垂足为H，过点B作BF⊥DH，垂足为F． （1分）∵BF//AM，∴∠FBC=∠ACB．∵∠ACB=33°，∴∠FBC=33°．∵∠DBE=66°，∴∠DBF=33°． （1分）在Rt△DBF中，∠DFB＝90°，，即（米）． （2分）∵FH=AB=2.7（米），∴（米）． （1分）答：支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为6.5米．14．（2023上海青浦）（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图6所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题．（1）求参加篮球和足球运动的总人数；（2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？图图6篮球乒乓球40%足球其它球类10%解：（1）（人）． （2分）（人）． （2分）（2）设参加篮球运动的有x人，也就是购买了x只篮球．根据题意，得