重庆市合川区高三下学期5月模拟理科数学试题

合川区高2018级理科数学模拟试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为()A．(0,1) B．[0,1]C．(－∞，0)(1，＋∞) D．(－∞，0][1，＋∞)[答案]C2.若，，则A∩B中元素个数为()A．0B．1C．2 D．3[答案]B3.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)[答案]A4.已知命题：，总有，则为()A．，使得 B．，使得C．，总有 D．，总有[答案]B5.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10.5,14.5)2[14.5,18.5)4[18.5,22.5)9[22.5,26.5)18[26.5,30.5)11[30.5,34.5)12[34.5,38.5)8[38.5,42.5)2根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)[答案]B6.若x、y满足，且的最小值为，则的值为()A．2B．－2C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)[答案]D7.函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心是()A．(eq\f(π,3)，1)B．(eq\f(π,12)，0)C．(eq\f(5π,12)，0)D．(－eq\f(π,12)，0)[答案]B8.阅读下面的程序框图，输出结果的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),16)C．eq\f(1,16)D．eq\f(1,8)[答案]C9.函数，则y＝f(1－x)的图象是()[答案]C解析：画出y＝f(x)的图象，再作其关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．10.(2015·江西理)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.eq\f(4,5)πB.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))πD.eq\f(5,4)π[答案]A11.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8[答案]B解析：不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0,2eq\r(2))，D，点A(x0,2eq\r(2))在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0,2eq\r(2))在圆x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al(2,0)＋8＝r2，②点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋＝r2，③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B．12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}[答案]D解析：选D当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－eq\r(7)，x4＝－2＋eq\r(7)>0(舍)，∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－eq\r(7)，1,3}，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13.如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于________.[答案]－eq\f(2,3)14．展开式中的常数项为__________.[答案]－2015．已知函数，若f(m)>1，则m的取值范围是________．[答案](－∞，0)(2，＋∞)[解析]当m>0时，由f(m)>1得，log3(m＋1)>1，∴m＋1>3，∴m>2；当m≤0时，由f(m)>1得，3－m>1.∴－m>0，∴m<0.综上知m<0或m>2.16.设双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__________．[答案](2eq\r(7)，8)解析：如图，由已知可得a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得－1＋eq\r(7)＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2eq\r(7)＜2m＋2＜8．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4).（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求的值．[解析]（Ⅰ）在△ABC中，由cosA＝－eq\f(1,4)，得sinA＝eq\f(\r(15),4)，由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝3eq\r(15)，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(\r(15),8).（Ⅱ）＝cos2Acoseq\f(π,6)－sin2Asineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)(2cos2A－1)－eq\f(1,2)×2sinAcosA＝eq\f(\r(15)－7\r(3),16).18．(12分)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次)，且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示：（Ⅰ）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列及数学期望．【答案】：(1)由题意得，∴，，∴．记甲、乙两人所付停车费相同为事件，则，∴甲、乙两人所付停车费相同的概率为．（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为，的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，，的分布列为：012345∴．19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D­AF­E的余弦值．[解析](1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD．又CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD．又PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC．又AF⊥PC，AD∩AF＝A，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.(2)设AB＝1，则在Rt△PCD中，CD＝1，又∠DPC＝30°，∴PC＝2，PD＝eq\r(3)，∠PCD＝60°.由(1)知CF⊥DF，∴DF＝CDsin60°＝eq\f(\r(3),2)，CF＝CDcos60°＝eq\f(1,2).又FE∥CD，∴eq\f(DE,PD)＝eq\f(CF,PC)＝eq\f(1,4)，∴DE＝eq\f(\r(3),4).同理EF＝eq\f(3,4)CD＝eq\f(3,4).如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，0，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)，0))，P(eq\r(3)，0,0)，C(0,1,0)．设m＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥\o(AE,\s\up6(→))，,m⊥\o(EF,\s\up6(→)).))又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，0，－1))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝\f(\r(3),4)x－z＝0，,m·\o(EF,\s\up6(→))＝\f(3,4)y＝0.))令x＝4，则z＝eq\r(3)，m＝(4,0，eq\r(3))．由(1)知平面ADF的一个法向量为eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,0)，设二面角D­AF­E的平面角为θ，可知θ为锐角，故cosθ＝|cos〈m，eq\o(PC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|m·\o(PC,\s\up6(→))|,|m||\o(PC,\s\up6(→))|)＝eq\f(4\r(3),\r(19)×2)＝eq\f(2\r(57),19).故二面角D­AF­E的余弦值为eq\f(2\r(57),19).20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为．（Ⅰ）求的方程．（Ⅱ）已知直线，分别交直线于点，，轨迹在点处的切线与线段交于点，求的值．【答案】（Ⅰ）设点坐标为，则直线的斜率，直线的斜率，由已知有，化简得点的轨迹的方程为．（Ⅱ）设，则．直线的方程为，令，得点纵坐标为．直线的方程为，令，得点纵坐标为．设在点处的切线方程为，由得．由，得，整理得．将，代入上式并整理得：，解得，所以切线方程为．令得，点纵坐标为．设，则，所以．所以．将代入上式，得，解得，即．21.（本小题满分12分）已知，函数在点处与轴相切．（Ⅰ）求的值，并求的单调区间；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数在点处与轴相切．，依题意，解得，所以．当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）令，．则，令，则，（ⅰ）若，因为当时，，，所以，所以即在上单调递增．又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立．（ⅱ）若，可得在上单调递增．因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，所以当时，，即不成立．综上所述，的取值范围是．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）设点在上，点在上，求的