高考数学（理）高分计划一轮狂刷练第7章立体几何75a

[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案B解析如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD；A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D项，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD.故A，C，D三项都是错误的．而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B项正确．故选B.2．(2017·山西临汾二模)已知点A，B在半径为eq\r(3)的球O表面上运动，且AB＝2，过AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则()A．MN长度的最小值是2B．MN的长度是定值eq\r(2)C．圆M面积的最小值是2πD．圆M、N的面积和是定值8π答案B解析如图所示，平面ABC为平面α，平面ABD为平面β，则BD⊥BC.BC2＋BD2＋4＝12，∴CD＝2eq\r(2)，∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN的长度是定值eq\r(2).故选B.3．(2017·江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.4．(2018·江西九江模拟)如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.5．(2018·甘肃二诊)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝eq\r(3)，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是()A．(0,1] B．(0,2]C．(1，eq\r(3)] D．[1,4)答案B解析连接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P内两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0<AD≤eq\f(1,2)CD＝2.故选B.6．(2018·河北模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设eq\f(PE,ED)＝m，则“0<m<2”是“三棱锥C－ABE的体积不小于1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析如图，过E点作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥平面ABCD.∵VC－ABE＝VE－ABC，∴三棱锥C－ABE的体积为eq\f(2,3)EH.若三棱锥C－ABE的体积不小于1，则EH≥eq\f(3,2)，又PA＝3，∴eq\f(PE,ED)＝m≤1，∴0<m≤1.故选B.7．如图，三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案C解析∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正确．∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正确．∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，D正确．故选C.8．(2018·湖北武汉月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1－ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A．2 B．3C．4 D．5答案B解析设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1.又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1.∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3对平面互相垂直．故选B.9．(2018·静海月考)如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段 B．一条直线C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点答案D解析∵平面PAC⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC.又AC⊂平面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥平面PBC，而BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴点C在以AB为直径的圆上，∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点．故选D.10．(2018·吉林期末)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是()A．4 B．3C．2 D．1答案A解析满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P－ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD.这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PBC和△PDC都是直角三角形，故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PDC共4个．故选A.二、填空题11．(2017·开封二模)三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是eq\f(1,2)a.其中正确的是________．答案①②③④解析由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为eq\f(1,2)a，④正确．12．(2017·苏州期末)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC.其中正确的结论序号是________．答案①②④解析①由底面为正方形，可得AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，可得AD∥平面PBC；②在正方形ABCD中，AC⊥BD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，PA∩AC＝A，可得BD⊥平面PAC，BD⊂平面PBD，即有平面PAC⊥平面PBD；③PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AC，可得∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，显然∠BAC＝45°，故平面PAB⊥平面PAC不成立；④在正方形ABCD中，可得CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，PA∩AD＝A，可得CD⊥平面PAD，CD⊂平面PCD，即有平面PAD⊥平面PDC.综上可得，①②④正确．13．(2017·三元月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，平面BCD，平面ADC，平面ABC，平面ABD，互相垂直的有________．答案平面ABD⊥平面ACD、平面ABD⊥平面BCD、平面ABC⊥平面ACD解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.由CD⊥平面ABD，CD⊂平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，由CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB.故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC.14．(2018·泰安模拟)如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则∠BA′C＝________，VA′－BCD＝________.答案90°eq\f(1,6)解析由题设知：△BA′D为等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，∴∠BA′C＝90°，VA′－BCD＝VC－A′BD＝eq\f(1,6).B级三、解答题15．(2018·临汾期末)在三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2eq\r(2)，D是AA1中点，BD与AB1交于点O，且OC⊥平面ABB1A1.证明：平面AB1C⊥平面BCD.证明∵ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2eq\r(2)，D是AA1的中点，∴∠BAD＝90°，∠ABB1＝90°，BB1＝2eq\r(2)，AD＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(2)，∴tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(2),2)，tan∠AB1B＝eq\f(AB,BB1)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABD＝∠AB1B，∴∠AB1B＋∠BAB1＝∠ABD＋∠BAB1＝eq\f(π,2)，∴∠AOB＝eq\f(π,2)，即AB1⊥BD.∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，又BD∩CO＝O，∴AB1⊥平面BCD.∵AB1⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD.16．(2018·黄冈调研)在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝2，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．解(1)证明：在Rt△PAC和Rt△PBC中AC＝eq\r(PC2－PA2)，BC＝eq\r(PC2－PB2).∵PA＝PB，∴AC＝BC.取AB中点M，连接PM，CM，则AB⊥PM，AB⊥MC，∴AB⊥平面PMC，而PC⊂平面PMC，∴AB⊥PC.(2)在平面PAC内作AD⊥PC，垂足为D，连接BD.∵平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又BD⊂平面PBC，∴AD⊥BD，又Rt△PAC≌Rt△PBC，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形．设AB＝PA＝PB＝a，则AD＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△PAC中，由PA·AC＝PC·AD得a·eq\r(4－a2)＝2×eq\f(\r(2),2)a，∴a＝eq\r(2).∴S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(1,2)，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABD·PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).17．(2018·绵阳期末)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是AB的中点，M是AA1上一点，AM＝tAA1.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若3AB＝2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD?解(1)证明：连接AC1，交A1C于点O，那么点O是AC1的中点，连接OD，由点D是AB的中点，可得BC1∥OD，BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，可得BC1∥平面A1CD.(2)由3AB＝2AA1，D为AB中点可得eq\f(AD,AA1)＝eq\f(1,3)，∴当eq\f(A1M,A1B1)＝eq\f(1,3)时，可得Rt△A1AD∽Rt△B1A1M，∴∠DA1A＝∠MB1A1，∴∠A1MB1＋∠DA1A＝∠A1MB1＋∠MB1A1＝90°，∴B1M⊥A1D.∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面AA1B1B.∵B1M⊂平面AA1B1B，∴CD⊥B1M.∵CD∩A1D＝D，∴B1M⊥平面A1CD，此时eq\f(A1M,A1B1)＝eq\f(1,3)，3AB＝2AA1，所以A1M＝eq\f(