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第二节定积分在几何上的应用二、体积一、平面图形的面积三、平面曲线的弧长1一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线及x轴所围曲边梯形面积为A.取x为积分变量，其变化区间为[a,b]，取任一小区间[x,x+dx],从而此区间的窄曲边梯形面积可以由底为dx、高为f(x)的窄矩形面积f(x)dx近似表示,所以面积元素为2解:例1.相应于其间任一区间[x,x+dx]的窄条面积近似等于底为dx,高为的窄矩形面积3解:得交点计算抛物线与直线的面积.所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则y的变化区间为[2,4].例2.由相应于任一区间[y,y+dy]的窄条面积近似等于底为dy,高为的窄矩形面积,从而4故思考:为什么此处选取y为积分变量?5由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍．解：例3.椭圆的参数方程为或将代入求积分也可.取x为积分变量，其变化区间为[0,a].62.极坐标系的情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为7对应

计算阿基米德螺线解:从0变到2

所围图形面积.例4.8利用对称性知解:例5.9二、体积1.旋转体的体积圆柱圆锥圆台旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.直线叫做旋转轴.10xyo旋转体体积求法11旋转体的体积为类似地，12解:例6.xx1314解:例7.15于是旋转椭球体的体积为16解:例8.17182.平行截面面积已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.xyo19特别,考虑连续曲线段考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积为轴旋转一周围成的立体体积为20解:例9.如图建立直角坐标系.21解:例10.22三、平面曲线的弧长并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，若折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长，并称是可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.231.直角坐标系情形弧长的计算24所求弧长为解:例11.252.参数方程情形26

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