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文档简介
§5.1定积分的概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质1一、定积分问题举例曲边梯形设函数y
f(x)在区间[a,
b]上非负、连续.
由直线x
a、x
b、y
0及曲线y
f(x)所围成的图形称为曲边梯形,
其中曲线弧称为曲边.
1.曲边梯形的面积
2观察与思考
在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积?3求曲边梯形的面积
(1)分割:
a
x0<
x1<
x2<
<
xn
1<
xn
b,Dxi=xi-xi
1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi(xi
1<xi<xi);(2)近似代替:
(4)取极限:
设
max{Dx1,
Dx2,
,
Dxn},曲边梯形的面积为(3)求和:曲边梯形的面积近似为;以直代曲42.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度v
v(t)是时间t的连续函数,且v(t)
0,计算物体在时间段[T1,
T2]内所经过的路程S.(1)分割:
T1
t0<t1<t2<
<tn
1<tn
T2,
Dti
ti
ti
1;(2)近似代替:
物体在时间段[ti
1,
ti]内所经过的路程近似为DSi
v(
i)Dti(
ti
1<
i<ti);物体在时间段[T1,
T2]内所经过的路程近似为(3)求和:
(4)取极限:
记
max{Dt1,
Dt2,
,
Dtn},物体所经过的路程为以不变代变5定积分的定义在小区间[xi
1,
xi]上任取一点xi(i
1,2,
,
n),
作和
max{Dx1,
Dx2,
,Dxn};
记Dxi=xi-xi
1(i
1,2,
,
n),a
x0<x1<x2<
<xn
1<xn
b;在区间[a,
b]内插入分点:设函数f(x)在区间[a,
b]上有界.
如果当
0时,
上述和式的极限存在,
且极限值与区间[a,
b]的分法和xi的取法无关,
则称此极限为函数f(x)在区间[a,
b]上的定积分,记为即二、定积分定义6定积分各部分的名称
————积分符号,
f(x)———被积函数,
f(x)dx
——被积表达式,
x————积分变量,
a
————积分下限,
b
————积分上限,
[a,
b]———积分区间,
二、定积分定义———积分和.
定积分的定义7二、定积分定义说明:定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即定积分的定义8函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,
b]上的定积分存在,
则称f(x)在区间[a,
b]上可积.
定理1
如果函数f(x)在区间[a,
b]上连续,
则函数f(x)在区间[a,
b]上可积.
定理2
如果函数f(x)在区间[a,
b]上有界,
且只有有限个间断点,
则函数f(x)在区间[a,
b]上可积.
二、定积分定义定积分的定义9例1
用定积分表示极限解二、定积分定义定积分的定义10注:
设f(x)在[0,1]上连续,则有二、定积分定义定积分的定义11
这是因为曲边梯形面积曲边梯形面积的负值定积分的几何意义
12各部分面积的代数和定积分的几何意义
曲边梯形面积曲边梯形面积的负值13例2解oxy例3
求极限解原式14两点规定三、定积分的性质15这是因为三、定积分的性质性质116三、定积分的性质性质1性质2性质3注:值得注意的是不论a
b
c的相对位置如何上式总成立
17三、定积分的性质性质1性质2性质3性质418推论1
如果在区间[a
b]上f(x)
g(x)
则这是因为g(x)
f(x)
0
从而所以如果在区间[a
b]上f(x)
0
则性质5
19这是因为
|f(x)|
f(x)
|f(x)|,所以推论1
如果在区间[a
b]上f(x)
g(x)
则如果在区间[a
b]上f(x)
0
则性质5
推论2
20推论1
如果在区间[a
b]上f(x)
g(x)
则如果在区间[a
b]上f(x)
0
则性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a
b]上的最大值及最小值
则21例4
试证:证明
设则在上,有即故即22如果函数f(x)在闭区间[a
b]上连续
则在积分区间[a
b]上至少存在一个点x
使下式成立
这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)
——积分中值公式
由介值定理,至少存在一点x
[a,b],使两端乘以b
a即得积分中值公式.23注:无论从几何上,还是从物理上,都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如果函数f(x)在闭区间[a
b]上连续
则在积分区间[a
b]上至少存在一个点x
使下式成立
性质7(定积分中值定理)
——积分中值公
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