2020-2021学年南通市如皋市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年南通市如皋市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（5一左）16的二项展开式17个项中，整式的个数是（）

A.1B.3C.5D.7

3.如图是某县参加2008年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记

为4,A2........4o（如必表示身高（单位：cm）在［150,155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高

在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160〜185cm（含160cm,不含

185sn）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）

4.用zn,n表示两条不同的直线，a,0表示两个不同的平面，给出下列命题:

①若m_Ln,m1a,则n〃a；

②若m〃a，a上B，则

③若?nJ_£,Q_L£,则

④若？m1a,n1/?,则a_LS.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知直线I与直线x+何一3=0垂直，且与x轴关于双曲线C：捻一，=l（a>0,b>0）的一条

渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）

A.2B.V2C.2或2D.鱼或：

333

6.用一个边长为近的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢.现将半径

为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（）

A.：B.|C4D.|

8.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆今+，=l（a>b>0）的右焦点为F,上顶点为B,M为线

段BF的中点，若NMOF=30。，则该椭圆的离心率为（）

A.立B.渔C.立D.1

2333

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知曲线C：—+^=1,（）

mn

A.若m>n>0,则C是焦点在x轴上的椭圆

B.若m=2n（n>0）,则C是椭圆，且其离心率为苧

C.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为兰+日=0

mn

D.若m=—2n,则C是双曲线，其离心率为旧或立

2

10.已知函数/（X）=sin（3X+9）（3>0,3<今的最小正周期是兀，把它图象向右平移泠单位后得

到的图象所对应函数为奇函数，现下列结论中正确的是（）

A.函数/Xx）的图象关于直线x=*寸称

B.函数/（x）的图象关于点脸,0）对称

C.函数/"（X）在区间［-以一靠上单调递减

D.函数/（乃在白学］上有3个零点

11.下列结论正确的是（）

A.在△ABC中，若4>B,则sinA>sinB

B.在锐角三角形ABC中，不等式川+c2-a?>0恒成立

C.在△ABC中，若acosB-bcosA=c,则△力8C是直角三角形

D.在△ABC中，若b=3,A=60。，S^ABC=3A/3，则△ABC的外接圆半径为亨

12,已知正方体ABCn-ABiGDi的内切球的表面积为兀，P是空间中任意一点，则下列命题正确的

是（）

A.若点P在线段AD】上运动，则始终有GP_LCBi

B.若M是棱Ci/的中点，则直线4M与CQ是相交直线

C.若点P在在线段4以上运动，则三棱锥。-8PQ条件为定值

D.E为力。的中点，则过点当，且与平面4BE平行的正方体的截面面积为日

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.9人排成3x3方阵（3行，3列），从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人

至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为.（用数字回答）

22

14.若椭圆的方程为一一+上一=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=.

10-aa-2一

15.设AABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asi/M,则AABC的形状

为.

16,已知四棱锥P-4BCD的所有顶点都在球。的表面上，顶点P到底面ABCD的距离为1,若球。的体

积为弓兀，则四棱锥P-4BCD体积的最大值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.在A/IBC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且（a+2c）cosB+bcosA=0,b=5.

（1）求角B；

（2）若△ABC的面积为竽，求△ABC的周长.

18.在三棱锥P-ABC中，P4=PB=PC=5,AB=6，BC=AC=3vL

(1)求证：平面PAB_L平面ABC；

(2)若点M满足丽=2而，求二面角M-AC-B的余弦值.

19.已知抛物线C：y=2M和直线，：v卜工+1,。为坐标原点.

(1)求证：I与C必有两交点；

(2)设/与C交于A,B两点，且直线04和0B斜率之和为1,求k的值.

20.根据国家最新人口发展战略，一对夫妇可生育两个孩子，为了解人们对放开生育二胎政策的意

向，某机构在4城市随机调查了100位30到40岁已婚人群，得到情况如表：

意向男女合计

生402060

不生202040

合计6040100

(I)是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由(请参考所附的公式及相关

数据)；

(H)从这60名男性中按对生育二胎政策的意向采取分层抽样，抽取6名男性，从这6名男性中随

机选取两名，求选到的两名都愿意生育二胎的概率.

K?_n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.如图，在五面体ABCDE/中，面ABCD是正方形,4D1DE,AD=4,DE=EF=2,且"DC=泉

(I)求证：ADI平面CDEF；

(n)求直线BD与平面40E所成角的正弦值；

(HI)设M是棱CF的中点，过M与平面40E平行的平面与棱4B交于点G,求线段4G的长度.

22.己知椭圆C：5+?=1和圆M：(x+3)2+(y-2)2=/&>o)交于力，⑶两点.

(1)若4B两点关于原点对称，求圆M的方程：

(2)若点4的坐标为(0,2),。为坐标原点，求AOAB的面积.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和双曲线的位置关系是解决本题的关键.

根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，

反之，当直线和双曲线渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但此时直线与双曲线是相交

的，不满足相切，

故“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，

故选：A.

2.答案：B

解析：解：展开式的通项为：G+1=仃6,（T）ryX6-久楙-8,

由题意，r=6,8,10,

故选：B.

r168

展开式的通项为：Tr+1=C[6•（-i）y-rxr-,即可得出结论.

本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题.

3.答案：A

解析：解：现要统计的是身高在160-18561之间的学生的人数，由图1可知应该从第四组数据累加

到第八组数据，即是要计算4、公、4、必、心的和，故流程图中空白框应是i<9,当i<9时就

会返回进行叠加运算，当i29将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i<9.

故选:A.

该程序的作用是统计身高在160〜185cm（含160cm,不含185cm））的学生人数，由图1可知应该从第

四组数据累加到第八组数据，故i值应小于9.

本题考查频率分布直方图，考查流程图，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

4.答案：B

解析：解：当7nln,mla时，除了n〃a外，还有可能是nua,.•.①错误.

当m〃a,al/?,ni与£的关系并不能确定，如右图，还可能出现mu£,Ip-l

②错误.

m

a

当m_LS，al/?,除了m〃a外，还有可能mua,.•.③错误

当m_Ln,mJ.a时，nu。或?!〃。，又「n_L£,；,a1。，④正确

故选：B.

利用空间直线与平面的位置关系，逐一判断.①考虑到n除了平行于a外，还有可能在a内，②画出

不成立的情况说明.

③除了m平行于a外，还有可能在a内，④利用两平面垂直的判定定理证明.

本题主要考查了直线，平面之间的位置关系的判断，需要学生具备空间想象力，逻辑推理能力，属

于易错题.

5.答案：C

解析：

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.

通过直线垂直，结合双曲线的渐近线的斜率关系，推出a,b关系，然后求解离心率即可.

解：由直线/与直线x+gy-3=0垂直，可得直线，的斜率为次，倾斜角为60。，

由直线I与x轴关于双曲线C的一条渐近线对称，

得双曲线C的一条渐近线的倾斜角为30。或120。，斜率为画或-K，

3

即3=g或6，由双曲线C的离心率6=+得e=¥或2,

故选：C.

6.答案：C

解析：解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为lsn,

蛋槽立起来的小三角形部分高度是:，

鸡蛋的半径根据已知的表面积47r=4"产得到丁=icm,

直径D=2cm,大于折好的蛋巢边长1cm,

四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm,

根据图示，4B段由三角形4B求出得：AB*

2

AE=AB+BE=^+l，

...鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为等.

故选C.

劭Klg

蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm,蛋槽立起来的小三角形部分高度是土鸡蛋

的半径根据已知的表面积4兀=4兀/得到「=icm,直径D=2cm,大于折好的蛋巢边长1cm,由此

能求出鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离.

本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空

间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用.

7.答案：B

解析：解：所有的“三段铁丝的长度”的情况共有：“1,1,5”、“1,2,4”、“1,3,3”、

“2,2,3”，共计4种.

其中能构成三角形的情况有2种情况:‘其，3,3”；“2,2,3”

则所求的概率是p(A)=^=~.

故选：B.

设构成三角形的事件为4先求出基本事件数有4种，其中能构成三角形的情况有2种情况，从而可

求能构成三角形的概率；

本题以实际问题为载体，考查概率知识的运用，解题的关键是分清是古典概型，还是几何概型，列

出事件即可，从而利用公式求解，属于中档题

8.答案：A

解析：

本题考查椭圆的基本性质，椭圆的离心率的求法，属于基础题.

求出8F的中点M的坐标，结合NMOF=30。，得到b,c关系，通过a,b,c的关系，求出椭圆的离心

率.

解：记椭圆的半焦距为c,

•••三+1=1的右焦点为心上顶点为B,

a2b2

・・・F(c,O),8(0,b),

•・・M为线段BF的中点，

••M&S

•・•乙MOF=30°,

・••tanzMOF=tan30°=-=-=

2cc3

AC2=3b2,

vb2=a2-c2,

:.3a2=4c2,

.•椭圆的离心率为e==J=4.

故选A.

9.答案：ACD

解析：解：曲线C：亡+”=1,

mn

若瓶>几>0,则C是焦点在％轴上的椭圆，故A正确；

若7n=2n(n>0),则C是椭圆，且e=£=%=立，故8错误；

若nm<0,则C是双曲线，其渐近线方程为正+^=0,故C正确；

mn

若m=-2九，贝i」C是双曲线，当九>0,可得双曲线的焦点在y轴上，

可得6=号=百，当n<0,可得双曲线的焦点在x轴上，

可得6=等^=立，故。正确.

V-2n2

故选：ACD.

由zn>n>0,可得C为焦点在x轴上的椭圆，可判断力；由m=2n(n>0),求得离心率，可判断B；

由nm<0,求得双曲线的渐近线方程，可判断C；由m=—2n,讨论n>0,n<0,求得离心率，

可判断D.

本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想、分类讨论思想和运算能力，属于中档题.

10.答案：AC

解析：解：函数f。)=sin(3%+w)(3>0,|w|<技的最小正周期是兀，

所以7=二=〃，解得①=2,

O)

因为/(X)的图象向右平移g个单位后得到的图象所对应函数为奇函数，

则y=sin[2(x-$+训为奇函数，

所以0=y+/C7T,fcGZ,

因为mi<5所以3=一枭

故/(x)=sin(2x-^),

对于4令2%冶=/时/€2,解得x=1+B，keZ,

所以函数f(x)的对称轴为X=.+浮,keZ,

当k=0时，X=等故选项4正确；

对于氏令2xT=kn,keZ,解得x=m+f,k€Z,

J62

所以函数/'(x)的对称中心为G+f,0),kGZ,

oN

故函数/(x)不关于点(专,0)对称，故选项8错误；

对于C,令一器+2/OTW2xYW—]+2k?r,解得一号+卜兀WxW-专+k%k6Z,

所以的单调递减区间为[—工+时，一行+kn],k&Z,

当k=0时，区间为[一条一各故/(x)在[-?一方上单调递减，故选项C正确；

对于D,令/(x)=sin(2x-9=0,解得％=(+AWZ,

•JoZ

则函数在冷争上有条V2个零点，故选项0错误.

故选：AC.

先利用周期性和图象变换以及奇偶性求出函数/(x)的解析式，由对称性判断选项A,B,利用单调性

判断选项C,由零点的定义判断选项D

本题命题的真假判断为载体考查了三角函数性质的应用，涉及了周期公式的应用，奇偶性、单调性、

对称性的应用，零点的求解，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

11.答案：ABC

解析：解：对于力：在AABC中，若A>B,故a>b,利用正弦定理：sinA>sinB,故A正确；

对于8：在锐角△ABC中，0</<，所以cosA>0,故cos4=二十，一%>0,所以坟+/-02>0

22bc

恒成立，故B正确；

对于C：在448c中，若acosB—bcosA=c,整理得：sin/lcosB—sinBcosA=sinC,所以/—B=C,

由于4+8+C=TT,解得力=今则△ABC是直角三角形，故C正确；

对于。：在△Z8C中，若b=3,4=60。,三角形面积S=3遮，所以S=工儿sim4=工x3xcx3=35

222

解得c=4,

所以。2=F+c2-2bccos4=13,所以a=g，贝必R=急=等=等，故。错误：

~2

故选：ABC.

直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查了三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数

学思维能力，属于基础题.

12.答案：ACD

解析：解：对于人因为正方体4BCC-&B1GD1内切球的表面积为兀，

设内切球的半径为r,则47n'2=兀，解得r=：,

所以正方体4BCD-&B1C1D1的棱长为2r=1,

因为CBJBCi，CBilAB,RBC^AB=B,

所以CBi_L平面ABCiDi，因为QPu平面4BC15,

所以GPJ.CB1，故A正确；

对于B：

由图可知，直线AM与CCi是异面直线，故8错误;

由图可知：因为CD〃平面BP。]，三棱锥。-BPG体积等于三棱锥C-BPG的体积,

由4可知，CBi_L平面8PG，

所以C点到平面BPG的距离为日，

因为动点P到直线BG的距离等于1,

所以△BPG的面积等于2x遮x1=当，

所以Vo-BPCi=：X当X苧=[,

故棱锥。-BPG的体积为定值，故C正确；

对于。：

取中点为M,BC中点为N,连接MD,DN,B、N,

因为B\N“A\E,

所以平面81“。/7〃平面43£,

所以过点Bi，且与平面4BE平行的正方体的截面为面当MDN,

由图可知面BiMDN是菱形，其中对角线长为=遮，MN=V2,

所以S&MON=：XKX&='，故D正确.

所以真命题有3个，

故选：ACD.

对于4：根据线面垂直的性质定理判断4是否正确；对于B：由图可知直线4M与CCi是异面直线，即

可判断B是否正确;对于C：利用等体积转化法得到三棱锥D-BPG体积等于三棱锥C-BPG的体积,

接着求点到平面的距离和底面积,从而证明三棱锥。-BPG体积为定值，做出过点名,且与平面4BE

平行的正方体的截面为面/MON,最后求出面积即可.

本题考查与球有关的组合体，解题关键是作出合适的截面图，属于中档题.

13.答案：468

解析：解：从9人任选3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，共有用=504种，

其中位于不同行且不同列的种数为用片=36种，

故这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为504-36=468,

故答案为：468.

利用间接法，先求出没有限制的排列，再排除位于于不同行且不同列，问题得以解决.

本题考查了排列组合的问题，采取正难则反的原则，利用间接法，属于基础题.

14.答案：4或8

解析：本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在%轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，

及相关的运算问题.

解：①焦点在x轴上时：10-a-(a-2)=4

解得：a=4.

②焦点在y轴上时Q-2-(10-Q)=4

解得：a=8

故答案为：4或8.

15.答案：直角三角形

解析：

本题主要考查了正弦定理的应用，根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公

式化简求得sin/的值进而求得4判断出三角形的形状.

解：vbcosC+ccosB=asinA,

・•・sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2>l,

0<<4<TT,sin.A>0，

・•・sinA=1,%

故三角形为直角三角形，

故答案为：直角三角形.

16.答案：|

解析：

本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

由题意求出球。的半径，可知要使球内接四棱锥体积最大，则底面的面积最大，则

ABCD的外接圆为球的一个大圆，且当四边形4BCD为正方形时面积最大，求出底面正方形的面积,

代入棱锥体积公式得答案.

解：设球。得半径为r,由：兀/=日兀，可得「=2.

高确定，要使球内接四棱锥P-4BCD体积最大，则底面力BC。的面积最大，

如图，

\5/

则4BCD的外接圆为球的一个大圆，且当四边形力BCD为正方形时面积最大.

•••球的半径为2,则正方形4BCC的边长为2vL

"S四边形ABCD~8-

.•・四棱锥P-4BC0体积的最大值为5x8xl=1.

故答案为|.

17.答案：解：(1)根据题意，中，(<a+2c)cosB+bcosA=0,

由正弦定理可得：sinAcosB+2sinCcosB+sinBcosA=0,

即cosB=-1,又BG(0,7T),则8=|TT.

(2)由△ABC的面积为-acsinB=则ac=15,

424

由余弦定理炉=a2+c2-2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB>

得a+c=2A/10»

则周长a+b+c=24U+5.

解析：(1)根据题意，由正弦定理，将(a+2c)cosB+bcosA=0变形可得sin4cosB+2sinCcosB+

sinBcosA=0,进而可得cosB的值，结合8的范围，分析可得答案；

(2)根据题意，由三角形面积公式可得［acsinB=竽，即可得ac=15,由余弦定理分析可得炉=

a2+c2-2accosB=(a+c)2-lac-laccosB,整理可得a+c的值，即可得答案.

本题考查三角形中几何计算，关键掌握正弦定理、余弦定理的形式.

18.答案：(1)证明：取4B的中点。，连接。P和。C,

由于P4=PB,因此POJ.AB,

而由PA=PB=5,AB=6,得P。=4,

又因为48=6,AC=BC=3V2，。为4B的中点，因此C。=3,

在APOC中，由于。。2+。。2=p02,

故根据勾股定理的逆定理知P。10C,

由于直线P。和平面4BC内的两条相交直线AB,。。都垂直，

因此根据直线和平面垂直的判定定理知，直线P。L平面4BC,

又因为P。u平面PAB,因此平面P4B1平面4BC.

(2)由(1)知0P、0C、0B两两垂直,

以。为原点，0C、OB、0P分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-xyz,

则C(3,0,0),F(0,3,0),71(0,-3,0),P(0,0,4),

设MQ),yo，Zo),由于丽=(%o，yo，Zo-4)，MB=(-x0,3-y0,-z0)»

而PM=2MB,因此x()=0,y0=2»Zg=

因此M(0,2,9,

设平面MAC的一个法向量为元=(x,y,z),

4

5y+产=0,

(3x+3y=0

因此可得其中一个法向量为元=(-4A-15),

而平面4BC的一个法向量为芯=(0,0,1),

则8S〈元尼>=器=溪=等，

因为二面角M—AC—8为锐角，

所以二面角M-AC-B的余弦值为竺里.

257

解析：(1)取AB的中点0,连接OP和OC,根据等腰三角形可知POLAB,通过数据结合勾股定理的

逆定理可得PO_LOC，再根据直线和平面垂直的判定定理知，直线PO1平面4BC,最后根据线面垂

直的判定定理即可证得结论；

(2)以。为原点，OC、OB、。尸分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-盯z,根据丽=2而求

出M点坐标，然后分别求出平面MAC和平面4BC的法向量，利用两向量的夹角公式可求出二面角"-

AC-B的余弦值.

本题主要考查了面面垂直的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立

合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，考查了学生转化化归能力与

运算能力，属于中档题.

19.答案：解：(1)证明：联立抛物线C：、=2/和直线［：y=kx+l,可得2/-h一1=0,

•••4=/c2+8>0,

.•"与C必有两交点；

(2)解：设4(xi，yi),B(x2,y2),则自+£=1①；

因为丫1=5+1，%=依2+1,代入①，得2k+(/+P)=1②；

又由韦达定理得Xi+&=；鼠^1^2="1>代入②得上=L

解析：本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以

及方程思想，属于基础题.

(1)联立抛物线C：y=2/和直线&y=kx+l,可得2x2-kx-T=0,利用/>0,即可证明(与C

必有两交点；

(2)根据直线04和OB斜率之和为1,利用韦达定理可得k的值.

n(ad-bc)100(40-20-20・20)225

20.答案：解：(1)由于/<2==-<3.841,

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)60-40-60-40

故没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”.

(n)抽取6名男性，4名愿意生二胎，2名不愿意生二胎，从这6名男性中随机选取两名，有鬣=15种

方法，选到的两名都愿意生育二胎，有废=6种方法，概率P=^=|.

解析：(I)计算K2<3.841,可得结论.

(II)抽取6名男性，4名愿意生二胎，2名不愿意生二胎，从这6名男性中随机选取两名，有盘=15种

方法，选到的两名都愿意生育二胎，有盘=6种方法，即可求出概率.

本题主要考查独立性的检验，考查概率的计算，属于基础题.

21.答案：解：(I)因为4BCD是正方形，所以4nlC。，又因为40J.DE,DEu平面CDEF,

CDu平面CDEF,CDODE=D,所以AD1平面CDEF；

(II)由(I)知，4。_L平面CDEF,所以平面ABC。1平面CDEF,

过点E作E0J.CD,垂足为0,则0E1平面ABC。，

在平面48CD内，过。作0Hlec，则。El0H,建立如图空间直角坐标系。—xyz,

因为AD=4,DE=EF=2,且ZEDC=g,所以DO=1,OE=百，

则4(4,一1,0),B(4,3,0),C(0,3,0),D(0,-l,0),E(0,0,百)，

•••AD=(-4,0,0),荏=(-4,1,V3).BD=(-4,-4,0).

设平面ADE的一个法向量为元=(x,y,z),

<：S：0'即d+修=0,令贝…z…于是"(0,8T),

设直线BD与平面ADE所成角为仇贝Ils讥。