2022年新高考全国II卷数学真题（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试

(新高考全国n卷)数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

L已知集合1*2%吟小小1},贝“8=()

A{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：求出集合B后可求AB.

【详解】［方法一］:直接法

因为8={x|0WxW2},故AB={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

x=—1代入集合6=卜卜—1区1},可得2W1，不满足，排除A、D；

x=4代入集合3=,卜一1区1},可得3K1,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【详解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

3.图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称

为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。是举，OA，DG，CB「BA是相等

DD.<CC,,BB..AA..

的步，相邻桁的举步之比分别为而L=0n5元/勺，二~=%2，二丁=勺.已知匕，&2,收成公差为的

CJD]L）A]

等差数列，且直线Q4的斜率为0.725,则%=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】

设则可得关于攵的方程，求出其解后可得正确的选项.

【分析】OD、=DC]=CB]=BA]=1,3

【详解】设1,则

OD[=DC1=CBi=BA]=CC}-k、,BB]-&2,AA=k3,

DD,+CC,+BB,+AA.八

依题意,有,且

k3-0.2=k、,%-0.1=k2M=0.725,

,0.5+3K一0.3

所rri以--------------=0.725,故％3=0.9,

4

故选：D

4.已知向量a=(3,4),》=(l,0),c=a+〃>,若<a,c>=<反c>,则，=()

A.—6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：c=（3+r,4）,cosa,c=cosb,c,gp——=-j^p解得f=5,

故选：C

5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方

式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列

方式：为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方

式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排

列方式，

故选：B

6.若5111（（7+/7）+（：05（£+/?）=2五（：05］£+?>111万，则（）

A.tan（a-尸）=1B.tan（a+尸）=1

C.tan（tz-/?）=-lD,tan（6z+/?）=-l

【答案】C

【解析】

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

详解】［方法一］:直接法

由已知得：sinecos(3+cosasin尸+cosacos/7-sin«sinf3=2(cosa—sina)sin尸,

即：sinacos/?-cosasin+cosacos/7+sinasin4=0,

即：sin(a—〃)+cos(a—/?)=0,所以tan(a—尸)=—1,故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设0=0则sina+cosa=0,取a=］,排除A,B；

冗

再取a=0则sin|3+cosB=2sinB，取0=一,排除D；选C.

4

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+夕)+cos(a+/)=V2sin(a+/+工)=^2sin［(«+—)+/7］

44

=V2sin(a+—)cos/?+V2cos(«+—)sin0=2^2cos(a+—)sinp

444

所以gsin(a+—)cos0=6cos((7+—)sin(3

44

JiTT

sin(<z+—)cos°-cos(a+w)sin夕=0即sin(a+1一夕)=0

/.sin(a-sin(a-/7)cos—+cos(a-Z?)sin—=-sin(a—/?)+^-cos(a—Z?)=0

44422

；.sin(a—Q)=-cos(a-〃)即tan(a-4)=-l,

故选：C.

［方法四］:

由已知得：sinacos/3+cosasin/?+cosacos/?-sinasin/?=2(cosa-sina)sin/7,

即：sinacos［5-cosasm/3+cosacos夕+sinasin/?=0,

即：sin(«->0)+cos(cz-/7)=0,

所以tan(a-⑶=-l,

故选：C

7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3后和4百，其顶点都在同一球面上，则该球的表面

积为()

A.KXhtB.128KC.144KD.192K

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径不4,再根据球心距，圆面半径，以及球的半

径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小弓，所以24=二^—,2弓=凶3-,即乙=3,乃=4,

1sin602sin60

设球心到上下底面的距离分别为4,4，球的半径为/?，所以4=JR2_9,4=JR2_]6,故

|4一4|=1或4+&=1，即,炉-9_J店-16=1或JR2_9+JR2_]6=I,解得R2=25符合题

意，所以球的表面积为5=4兀/?2=1007t.

22

8.已知函数的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(l)=l,则X/(6=()

*=|

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

/(1),/(2),,/(6)的值，即可解出.

【详解】［方法一］:赋值加性质

因为/(x+y)+/(x_y)=f(x)/(y)，令ly=o可得,2/(i)=/(i)/(o),所以"0)=2,

令x=()可得，f(y)+/(-y)=2〃y),即/(y)=/(—y),所以函数/(%)为偶函数，令y=i得，

/(x4-l)+/(x-l)=y(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知

/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故f(x+2)=/(x-4),即/(%)=/(%+6),所以

函数/(尤)的一个周期为6因为〃2)=/(1)—/(())=1-2=-1,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,

/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/(1)+/(2)++/(6)=().由于22除以6余4,

22

所以£/化)=/⑴+〃2)+/•⑶+〃4)=1—1—2-1=-3.故选：A.

£=1

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由/(%+y)+/(x-y)=/W/(y)，联想到余弦函数和差化积公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosACOsy,可设f(x)=acosa)x,则由方法一中"0)=2,,f(1)=1知

1JI

a=2,acosco=1,解得COSG=—,取0=一,

23

所以/(九)=2cos0x,则

(717C

71万cTTTV

/(x+y)+/(x-y)=2cosyX+yyI+2COS—x---y4cos-xcos—y=f(x)f(y),所以

(33

7T_____6

f（x）=2cos工x符合条件,因此，x）的周期四一，/（（））=2J（l）=l,且

3I

/（2）=-1,/（3）=-2,/（4）=-1,/（5）=1,/（6）=2,所以

/(D+f⑵+/(3)+/(4)+/(5)+f(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以£/仅)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1—1—2-1=一3.故选：A.

k=\

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题,

简单明了，是该题的最优解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sin(2x+9)(0<e<7i)的图像关于点(与,0)中心对称，则()

A./(x)在区间(0,号)单调递减

(兀1171A

B./⑴在区间|-ypwj有两个极值点

C.直线龙=工是曲线y=F(x)的对称轴

6

D.直线y=且一x是曲线y=/(x)的切线

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

【详解】由题意得:

4兀

即夕二———kit、左£Z,

2兀(2兀

又0<。<兀，所以％=2时，9=可，故/(x)=sin[2x+

,f5TnCA,_2兀2兀3兀,由正弦函数y=sin〃图象知y=/(x)在10,普

对A,当xwM0,—时，2xH---G上是单

I12J3T5T

调递减;

71117T,_2兀71571

对B,当xe时，2.XH---G,由正弦函数y=sin〃图象知y=/(x)只有1个极值

12977325T

点,由2'+?=卞，解得X=2,即x=2为函数的唯一极值点;

321212

7Tl2Ji77r77r

对c,当彳=——时，2x+—=3兀，/1(——)=(),直线尤=—不是对称轴;

6366

对,D,/=2cos(2x+^-,(_2n]_

=-1得：cosI2x+—

2

2JT2兀27r47r

解得2x+—=——+2E或2x+—=——+2E,keZ,

3333

JI

从而得：x=E或X=]+E,%£Z,

所以函数y=fM在点卜岑]处的切线斜率为k=儿=0=2cos5=—1,

切线方程为：y-等=一瓮—0）即y=2?—x.

故选：AD.

10.已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（p>0）焦点厂的直线与C交于A,B两点，其中4在第一

象限，点"（P，0）,若147HAM|,则（）

A.直线AS的斜率为2nB.\OBHOF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<ISO°

【答案】ACD

【解析】

【分析】由|A目=|AM|及抛物线方程求得A（学,,再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线

AB的方程，联立抛物线求得，即可求出用判断B选项：由抛物线的定义求出

|AB|=含即可判断C选项；由QVO8<0，MA.M3<0求得NAOB,Z4A仍为钝角即可判断D选

项.

【详解】

对于A,易得由同=|40|可得点A在的垂直平分线上，则A点横坐标为

—+P

23oP,

2~4

代入抛物线可得V=2p•,=gp2,则A（学,殍），则直线AB的斜率为3〃2〃=2#,A正确;

T-2

L1P

对于B,由斜率为2n可得直线AB的方程为％=与后37+2，联立抛物线方程得

y2~^py~p2=Q>

设8（X1，x）,则巫〃+弘=巫〃，则,=—显

代入抛物线得=2p-X1,解得

263

对于C,由抛物线定义知：|48|=”+0+〃=号＞2〃=4|。同，C正确;

对于D,皿。3=（米字Mg-争=字（+冬卜当卜-等＜0,则ZAO5为钝

角，

钝角，

又ZAOB+NA"B+NOAM+NOBM=360，则NOAM+N08M<180，D正确.

故选：ACD.

11.如图，四边形ABC。为正方形，ED_L平面A8CD,FB〃ED,AB=ED=2FB,记三棱锥

E-ACD,F-ABC,尸—ACE的体积分别为匕,匕,匕，则（）

c.K=K+KD.2%=3匕

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由体积公式计算匕,修,连接8。交AC于点M,连接由匕%一EFM计

算出匕，依次判断选项即可.

【详解】

111?4

设"=a=2尸8=2”，因为皿_L平面ABC。，FBED,则V,=12分嗟(2。)一=§/,

23

V2=1-FBSAflC(2«)=|a,连接30交AC于点M,连接易得BO_LAC,

又匹，平面ABC。，ACu平面ABGD,则EDLAC,又EDBD=D,ED,BDu平面BDEF，

则AC_L平面8。£户，

又BM=DM=；BD=®i,过/作FGJ_O£于G,易得四边形8OGE为矩形，则

FG=BD=2后。，EG=a,

则EM=J(2a)2+(V2a)2=痘,FM=g+(啦a)=扃，EF=卜+修伍了=3a,

2222

EM+FM=EF>则Sf：rM=^EM-FM=^a,AC=20a，

则匕=匕一即材+%囱材=34。5"材=2/,则2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B错误；C、D

正确.

故选：CD.

12.若X,y满足Y+y2一盯=],则()

A.x+y<1B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+j2>1

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为〃人2)〈土卫(a,blR),由f+V一孙=1可变形为，

\2y2

/\2

(x+y)2-l=3043匕2，解得一2<x+y<2,当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当且仅当

\2J

x=y=1时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由V+y2一孙=1可变形为(v+y2)—1=孙《笑匕，解得/+,242,当且仅当x=y=±l时取等

号，所以c正确;

因为f+y2f=1变形可得卜f

y=sin。，所以

12

x-cos0+—；=sinay=—；=sin3,因此

V3V3

x2+y2=cos2。+-sin20+-^sin^cos^=1+U=sin2^--cos26+-

3百633

42/cC「24所以当x=乌尸.苴时满足等式，但是f+Vzi不成立，所以D

=—+—sin26—G—,2

33I6j1333

错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布N（2,b2）,且尸（2<XV2.5）=0.36,则P（X>2.5）=

7

【答案】0.14##—.

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为X7V（2,cr2）,所以P（X<2）=尸（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案为：（）.14.

14.曲线y=In|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】①.y=L②.y=-L

ee

【解析】

【分析】分x〉0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（毛，出面），求出函数的导函数，即可求出切线

的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线方程，当i<0时同理可

得；

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分x>()和x<0两种情况，当x>0时设切点为(毛,出天)，求出函数化导函数，即可求出切线的斜率,

从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出将，即可求出切线方程，当x<()时同理可得;

解：因为y=ln|x|,

当x>()时y=lnx,设切点为(毛』11天)，由丁'=工，所以'1=%=-!-,所以切线方程为

Xxo

y-lnx0=-(x-x0),

又切线过坐标原点，所以-lnxO=-!-(—/)，解得%=e,所以切线方程为y—l=l(x—e),即

与e

1

y=-x；

e

当x<0时y=ln(—x),设切点为,由y'='，所以了14丸=,，所以切线方程为

xx\

y-ln(-,

x\

又切线过坐标原点，所以-ln(-%)='(一%),解得玉=-e,所以切线方程为y—l=」-(x+e),即

尢1-e

y=­x；故答案为：y=—x；y=­x

eee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当x〉0时y=lnx,设切点为(毛』11%)，由y'=L,所以所以切线方程为

XX。

y-lnx0^—(x-x0),

玉)

又切线过坐标原点，所以-In%=一(一%),解得%=e,所以切线方程为y—l=!(x-e),即

xoe'

1

y=-x；

e

因为y=ln|x|是偶函数，图象为:

所以当x<0时的切线，只需找到丫=!z关于y轴的对称直线y=即可.

ee

［方法三］:

因为y=lnW,

当尤>0时y=lnx,设切点为(%,In%)，由了=‘，所以V’1.5。=」-，所以切线方程为

X演)

y-lnx。=—(x-x0),

又切线过坐标原点，所以—lnx0=-!-(—七),解得%=e,所以切线方程为y-l='(x—e),即

与e

1

y=-x；

e

当x<0时y=ln(—x),设切点为(5,ln(-xj),由y'=，，所以了1.『=’，所以切线方程为

X%

x\

又切线过坐标原点，所以一In(一王)='(一%),解得玉=一6,所以切线方程为y—l」(x+e),即

须-e

1

y二一x；

e

故答案为：y=-x；y=­x.

ee

6设点4—2,3),3((),/，若直线A8关于y对称直线与圆(x+3)2+(y+2>=1有公共点，则。

的取值范围是

【答案】—

32

【解析】

【分析】首先求出点A关于y=。对称点A的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离小于

等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：A(—2,3)关于y对称的点的坐标为A'(—2,2a—3),3(0,a)在直线y上,

所以AB所在直线即为直线/,所以直线/为y=—=x+a,即(a—3)x+2y—2a=0；

一2

圆C:(x+3y+(y+2)2=l,圆心。(一3,-2),半径r=l，

|—3（a—3）—4—24?|

依题意圆心到直线/的距离〃«1,

7（«-3）2+22

,,I313

即（5—5a『K（a—3）一+22,解得§<。4万，即aw

]_3

故答案为:

352

16.已知直线/与椭圆上+上=1在第一象限交于A,8两点，/与x轴，y轴分别交于M,N两点,且

63

|MA|=|NB|,|MN|=2G，贝U/的方程为.

【答案】x+0y-2&=（）

【解析】

【分析】令AB的中点为E，设A(x，yJ,8(马,%)，利用点差法得到七£次醺=一；，设直线

AB:y=kx+m,k<Q,m>0,求出M、N的坐标，再根据|MN|求出攵、m,即可得解；

【详解】［方法一］:弦中点问题：点差法

令AB的中点为E，设A(%,y),利用点差法得到后g=—g，

设直线A3:y=fcr+m,k<0,m>0,求出M、N的坐标，

再根据|MN|求出％、m,即可得解;

解：令AB的中点为E,因为=所以|ME|=|NE］,

2222

设A（X1,y）,8（%,%），M—+—=1.---------1-------1--.

6363

所以立_4+区_立=0,即（%-—）（-+々）Jx+/）（■—）、）一0

663363

所以夕一必?==,即％女=—_1,设直线M：y=履+加，攵<0,m>0,

（%-々）（内+々）22

rn（一,N（O,m）,

令x=0得丁=机，令丁=。得1=一一，即M

k

所以十也m

~2

m

二,解得k=-变或％=也（舍去）,

即Zx」一

m222

2k

又|MN卜2g,即|MN|=J疗+（后“J=273，

解得，篦=2或加=一2（舍去）,

［方法二］:直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点E既为线段AB的中点又是线段MN的中点,

设A（5，M）,8（9,%），设直线A8:y=H+n?,k<0,m>0,

则知上£,0）,N（O,m）,因为|MN|=2百，所以|。目=6

y乙K乙J

y=kx+m

联立直线AB与椭圆方程得〈X2y2消掉y得（1+242）工2+4加丘+2/-6=0

—+—=1

63

其中△=⑷欣＞-4（1+2k?）（2/n2-6）＞0,x+x^=一-'欣）

■\+2k2

0mkMmm2inkm

/.AB中点E的横坐标4=一常步’又E一瓦方,.x,,=-----7=-------

L1+2r2k

•.”＜（）,m＞G,：.k=-母，又]OE[=J（-会＞+丐＞=百,解得m=2

所以直线AB:y=—/x+2,即x+&y-2忘=0

［方法三］:

令AB的中点为E,因为所以|ME|=pV国,

2222

设A（与，y）,B（x2,y2）,则卷+1_=1,竟+51=1,

所以立一五+支一立=0,即（'--（内+Q+^+乂心-⑴二。

663363

所以即％k=一_L,设直线A8:y=H+m,k<Q,m>0,

9（玉一工2）（玉+Z）'22

£,0）,N（0,根），所以E

令工=0得y=帆，令y=0得工=一］,即M［-

m

即上x，一=—:，解得”=-Yl或上=Y1（舍去），

m222

~2k

又|MN|=2jLB|J|MN\=X2+（V2/«）2=273.解得〃z=2或加=一2（舍去）,

所以直线A3:y=-与x+2,即工+收》-2亚二0；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且—仇=4-4.

（1）证明:q=瓦；

（2）求集合视仇=a,“+q,14加《500｝中元素个数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）9.

【解析】

【分析】（1）设数列｛/｝的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得m=2-2,即可解出.

【小问1详解】

6+d_2b、—ci,+2d—4bl

设数列｛4｝的公差为d,所以，，c,s/•,、，即可解得，4=4=不所以原命题得

4+d—2b、=8Z?j—（4+3d）2

证.

【小问2详解】

由（1）知，瓦=%=g,所以4=4“+4o4X2*T=4+（/77-1”+4,即2i=2〃z，亦即

加=2-2G[1,500],解得2<kW10,所以满足等式的解左=2,3,4,,10,故集合

{Z|4=a,,+q,lWmW500}中的元素个数为10-2+1=9.

18.记一ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次

为d，S2，S3，已知&一工+1=且,sin3=」.

•23

（1）求.ABC的面积；

万

（2）若sinAsinC=——>求b.

3

【答案】（1）—

8

⑵I

【解析】

【分析】（1）先表示出5,S2,S3,再由S「S2+SL5求得4+02-廿=2,结合余弦定理及平方关系

求得"C,再由面积公式求解即可；

（2）由正弦定理得一4一=―--,即可求解.

sin'BsinAsinC

【小问1详解】

由题意得岳=1七2•3=3层s,=立从,$立,2,贝”/5,+其=@/一直从+直02=立，

'22424341-34442

22r2

222

g|ja+c-b=2，由余弦定理得cosB=S十=-,整理得以'8SB=1,则COS8>0,又

2ac

sinB=~,

3

li,f1Y2V2130lI。1.V2

贝1n！JcosBR=JI—-=-----，ac=----=----，WnlOS=—acsinBR=——;

、3cos84ABC28

【小问2详解】

由正弦定理得：刍=上尸三，则三二/^^二七匕二4]，则号=5

sinBsinAsinCsinBsinAsinCsinAsinCJ24smB2

/?=—sinB=—.

22

19.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分

布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)己知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的

16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中

患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

【答案】(1)47.9岁；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【解析】

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解

出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【小问1详解】

平均年龄5=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).

【小问2详解】

设4={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

【小问3详解】

设8="任选一人年龄位于区间［40,50)”，。=“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得：

P(8)=16%=0.16,P(C)=0.1%=O.(X)1,P(B|C)=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

P(BC)P(CP(8|C0.001x0.23

P(C|B)==0.0014375®0.0014.

P(B)P(B)0.16

20.如图，PO是三棱锥P—ABC的高，PA=PB，ABIAC,E是P3的中点.

P

(1)证明：QE//平面P4C；

(2)若NABO=NC8O=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—A£-5的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵U

13

【解析】

【分析】（1）连接8。并延长交AC于点。，连接。4、PD，根据三角形全等得到Q4=QB,再根据直

角三角形的性质得到40=00,即可得到。为的中点从而得到。石〃P。，即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的

基本关系计算可得.

【小问1详解】

证明：连接B。并延长交AC于点。，连接。4、PD，

因为P。是三棱锥产一ABC的高，所以P0J_平面ABC,AO,80u平面ABC,

所以POJ.AO、POLBO,

又PA=PB，所以△PQ4w△尸08,即。4=03,所以NQ4B=NQ&1,

又A8_LAC,即ZR4c=90°,所以N（MB+NO4Z）=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以NOZM=NQ4O

所以AO=r＞。，即40=00=03,所以。为8。的中点，又E为P8的中点，所以OE/IPD,

又OEO平面P4C,PDu平面PAC,

所以0E〃平面P4C

【小问2详解】

解：过点A作4z〃0P,如图建立平面直角坐标系,

因为P0=3,AP=5,所以04=',尸_002=4,

又NO3A=NO3C=30°，所以80=204=8,则A£>=4，A8=46,

所以AC=12,所以0（26,2,0）,网4百,0,0）,网26,2,3）,C（0,12,0）,

所以

则AE=(3百/，T],A8=(4G,0,0),AC=(0,12,0),

n•AE=3百x+y+—z=0

设平面A£A的法向量为〃=(x,y,z),则j2，令z=2，则丁=-3，x=0,

n-AB=4^3%=0

所以〃=(0,-3,2)；

L3

-,、m-AE=36a+b+—c=0

设平面AEC的法向量为机=(a,"c),贝叫2

[m-AC=\2b=0

令a=y[i，贝！Jc=-6，b=0,所以加=(G,0,-6)；

/\nm-124也

所以cosg＞丽=而庖=一石.

设二面角C—AE—3的大小为6,则|cos0=cos(〃,,

21.已知双曲线C：r-=1(。＞0,b＞0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为y=

a

(1)求C的方程;

(2)过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点，点P(x，y),Q(马，必)在C上，且

%＞々＞0,必＞0.过P且斜率为的直线与过。且斜率为G的直线交于点M.从下面①②③中选取

两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在AB上；©PQ//AB.③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2

【答案】(1)%2_上_=]

3

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)利用焦点坐标求得。值，利用渐近线方程求得〃功的关系，进而利用a,>,c的平方关系求

得。涉的值，得到双曲线的方程;

(2)先分析得到直线A5的斜率存在且不为零，设直线A3的斜率为太〃(用,次)，由③二3何I等价分

析得到方+6。=告；由直线和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得

到直线PQ的斜率〃?=双，由②PQ//AB等价转化为@>=3x°,由①M在直线AB上等价于

丁0

2

ky0=k(x0-2),然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.

【小问1详解】

右焦点为尸(2,0),，。=2,：渐近线方程为丫=±怎，...2=6，，匕=。，；.

a

c2—cr+h2=4cr=4‘Ja=1，•*.h—A/3•

2

；.c的方程为：X2--=1：

3

【小问2详解】

由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x

轴上，即为焦点产，此时由对称性可知产、。关于工轴对称，与从而玉=々，已知不符；

总之，直线A6的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为鼠直线A6方程为y=%(》—2),

则条件①〃在AB上，等价于%=-2)o机=F(%-2)；

两渐近线的方程合并为3x2-/=0,

联立消去y并化简整理得：（二-3）x2-4k2x+4k2=0