考点17弧长及扇形的面积（解析版）

2021年八年级数学《暑假作业翎课程无忧衔接》（苏科版）

考点17弧长及扇形的面积

【知识点梳理】

弧长公式：半径为R的圆中

I_nvrR

360°的圆心角所对的弧长（圆的周长）公式：C=2kK,n°的圆心角所对的圆的弧长公式：180（弧

是圆的一部分）

要点诠释：

1

（1）对于弧长公式，要理解1。的圆心角所对的弧长是圆周长的360,即

1.7TR

x2穴Rn=

360----------180.

（2）公式中的n表示1。圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半

扇形面积勿|径；

360°的围（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的积公式:

两个量就可以求出第三个量.

【新课程预习练•无忧衔接】

一、单选题

1.如图，两个半径长均为近的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CED的圆心C是AB的中点，

且扇形CED绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G,半径破，CO交于点H,则图中阴影面积等于（）

711

A.----1B.——2C.71—1D.7t—2

22

【答案】D

【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作CMJ_AE于M,CN工BE于N,连接EC,再

证明ACMG丝△CNH,可证得白色部分的面积等于对角线为行的正方形CMEN得面积，进而可求得阴影

部分的面积.

【详解】

解：•••两个直角扇形的半径长均为0,

.•.两个扇形面积和为20t（电x2=7，

360

过C分别作CMJ-AE于M,CNLBE于N,连接EC,则四边形CMEN是矩形，

是AB的中点，

ZAEC=ZBEC,即£C平分/AEB,

/.CM=CN,

二四边形C例EN是正方形，

NCMG=NMCN=NCNH,

：.ZMCG+ZGCN=ZNCH+ZGCN=90°,

：.ZMCG=ZNCH,

:.△CMGQXCNHCASA）,

；•白色部分的面积等于对角线为正的正方形CMEN的面积，

...空白部分面积为,x&xa=l,

2

••・阴影部分面积为万一2x1=兀一2,

故选：D.

E

【点睛】考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面

积是解答的关键.

2.如图，。。的半径为5,A、B是圆上任意两点，且A8=6,若弦48绕点。旋转一周，则扫过区

域的面积为（）

A.5"B.6乃C.8乃D.9乃

【答案】D

【分析】由题意，线段AB旋转一周的过程中，扫过区域的面积是圆环的面积，过。作OCLAB,由乖

径定理先求出0C的长度，即可求出圆环的面积.

【详解】

解：根据题意，

线段AB旋转一周的过程中，AB扫过区域的面积是圆环的面积；

过。作0C_LA8,如图

A

B

由垂径定理，则AC=BC=，AB=LX6=3,

22

,/04=08=5，

­-0C=^52-32=4，

圆环的面积为：S=7r»52—7r»4-2=25万一16%=9不；

故选：D.

【点睛】考查了垂径定理、勾股定理、以及圆环的面积公式,解题的关键是分析出线段48扫过的区域的形

状.

3.如图，在扇形QW中，已知NAQB=90°,。4=2,过43的中点C作CD_LQ4,CEVOB,垂

足分别为点。，E,则图中阴影部分的面积为（）

C

交

0

兀Y

A.7T—1B.71—2C.71—4D.--1

2

【答案】B

【分析】根据矩形的判定定理得到四边形ODCE是矩形，连接OC,根据全等三角形的性质得到。£>=OE,

然后得到矩形ODCE是正方形，最后利用扇形和正方形的面积公式计算即可.

【详解】

如图所示，连接0C

VZAOB^90°,CDIOA^CE±OB

，四边形。力CE是矩形

:点C是A8的中点

，乙COA=4COB

•••NCOD^JCOE

OD=OE

，四边形OOCE是正方形

二OD=CD

•••OD2+CD2=22

，OD2=2

KPS正方形0DCE=2

由扇形的面积公式可得：S扇形

S阴影="-2

故选：B

【点睛】考查矩形的判定定理和性质、正方形的判定定理和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积的

计算公式，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键.

4.如图，A3为OO的直径，点C在。。上.若NOCA=55°,AB=6,则8c的长为（）

111111

A.—KB.—7TC.—7tD.11〃

364

【答案】B

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出/A的度数，再利用圆周角定理得出/BOC的度数，再利用弧长

公式求出答案.

【详解】

解：VZOCA=55°,OA=OC,

ZA=55°,

：.ZBOC=2ZA=WO0,

u

：AB=6f

：.BO=3f

110^x3117T

8c的长为:

1806

故选B.

【点睛】考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出/80C的度数是解题关键.

5.如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和。8的夹角为120。，OA长为10cm,贴纸部分的C4

长为5cm，则贴纸部分的面积为（）

B.257rm'C.487tcmD.75rtcm

【答案】B

【分析】贴纸部分的面积实际是扇形OAB和扇形OC。的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部

分的面积，进而可求出贴纸部分的面积.

【详解】

故选：B.

【点睛】考查了扇形面积的计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.

6.如图，在边长为2的等边AAHC中，。是边上的中点，以点A为圆心，4）为半径作圆与A8,AC

分别交于E，/两点，则图中阴影部分的面积为（）

E

BC

71717C2兀

A.-B.-C.一D.—

6323

【答案】c

【分析】

由等边AABC中，。是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解.

【详解】

•.•△ABC是等边三角形，。是BC边上的中点

ADLBC^ZA=60°

AD=^AET-BCr=722-12=G

2

60^-r_60万x(G>7T

S即2AEF

3603607

故选C.

【点睛】考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式，求出

等边三角形的高是解题的关键.

7.如图△ABC内接于。。，ZA=60°,OQLBC于点O,若00=3,则3c的弧长为（）

10

A.4兀B.—71C.2式D.兀

3

【答案】A

【分析】连接08,OC,根据圆周角定理求出/8OC的度数，可求出NCO£>=60。，求出OC=6,由弧长公

式可得出答案.

【详解】

解：连接08,0C,

ZA=60°,

・・・NBOC=2NA=120。.

•：0B=0C,0D±BC,

：.ZC0D=-ZB0C=60°,

2

N08=30。，

VOD=3,

:.OC=2DO=6,

…1205x6

••BC的长为---------=4兀.

180

故选：A.

【点睛】考查弧长计算，熟练掌握圆中的基本定理与性质，熟记弧长公式是解题关键.

8.如图，A3是。。的直径，A8=4,C为半圆A3的中点，P为弧AC上一动点，连接PC并延长，作

3。，「。于点。，若点P从点A运动到点C,则点。运动的路径长为（）

A

A.当

B.万C.叵兀D.4

2

【答案】A

【分析】苜先根据点P的轨迹，来确定点。的轨迹，确定轨迹为圆后，再利用弧长公式进行求解.

【详解】

解：由题意知点P的轨迹是圆，则点。的轨迹是以BC为直径的圆上，以为直径作圆，如下图:

要求点。运动的路径长，结合临界点法，当点尸与A重合时，点。到点C处，当点P与C重合时，点。到

点。处，

Q运动的路径长为CQ的长，

由已知：点C为半圆A3的中点,

BC=V27+27=2V2>

:点尸转过的圆心角为90°，

二点。转过的圆心角也为90°,

即C0对应的圆心角为90°，

根据弧长公式：

八八.90乂2兀乂亚y/2

CQ=---------------=——71，

」3602

二点。运动的路径长为：-71-

故选：A.

【点睛】考查了动点的轨迹问题，解题的关键是：根据点P的轨迹，来确定点。的轨迹，确定为圆后，利

用弧长公式求解时，要去找到所求弧长所对应的圆心角即可.

9.如图，正六边形A8CDM的边长为6,以顶点4为圆心，A8的长为半径画圆，则图中阴影部分的面

积为（）

A.44B.67rC.87rD.12万

【答案】D

【分析】根据正多边形内角和公式求出/府3,利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可.

【详解】

解：：六边形ABCDEF是正六边形,

（6-2）x180°

：.ZFAB=^---------=120°,AB=6,

6

，扇形A8F的面积=毁一色=1④，

360

故选择D.

【点睛】考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关

键.

10.量角器圆心为。，直径AB=12,一把宽为3的直尺的一边过。点且与量角器交于。、。两点，如图

所示，则弧CO的长为（）

3

A.2兀B.—71

2

【答案】D

【分析】根据直角三角形的边角关系求出弧C。所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可.

【详解】

解：如图，过点力作OELOC,垂足为E,

A0B

•.•直尺的宽度为3,即DE=3,

又；直径A8=12,

二半径OC=OD=6,

：.DE=—OD,

2

二ZCOD=30°,

故选：D.

【点睛】考查弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系和弧长的计算方法是得出正确答案的前提.

11.如图，。。是正五边形ABCQE的外接圆.若。。的半径为5,则半径OA,0B与围成的扇形的面

积是（）

A.2兀B.5兀C.—无D.10K

6

【答案】B

【分析】先求出圆心角NAOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解.

【详解】

,/OO是正五边形ABCDE的外接圆.

•208-360。

5

...08与AB围成的扇形的面积是=5兀

故选B.

【点睛】考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用.

12.已知一条圆弧的度数为120。，半径为6cm,则此圆弧长为（）

A.2^-cmB.4)cmC.8〃cmD.12乃cm

【答案】B

【分析】根据弧长公式/=噤解答.

180

【详解】

n元r120^x6

解：此圆弧长为/=’、=------=4%cm,

180180

故选：B.

【点睛】考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键.

二、填空题

13.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AANC的顶点A,B,C均在格点上，点尸是A3边上

任意一点，以点C为旋转中心.把AAHC按逆时针方向旋转90°,则在旋转过程中，点P运动的最短路径

长为.

【答案】号

【分析】画出旋转图形，求出△ABC的三边，根据垂线段最短，判断出CPLA8时，点P的运动路径最短,

求出此时CP的长，再利用弧长公式计算.

【详解】

解：画出旋转图形如图:

3

；A0=32+32=18,6(?=42+42=32,/1B2=72+12=5O,

AC1BC

而点P是AB边上任意一点，

/•当CP1AB时，点P的运动路径最短，

此时。片3£=巫空区1,

AB而5

..•点P的最短运动路径为90"x型=电里

----------5

180

故答案为：良红.

5

【点睛】考查了作图-旋转变换，求弧长，垂线段最短，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，

对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接

得出旋转后的图形.

14.如图，AB是。。的直径，FA切。。于点A,线段P。交。0于点C.若NP=30。，AB=4,则

弧BC的长为.

4

【答案】一万

3

【分析】求得半径和圆心角的度数，即可求得弧的长.

【详解】

解：切O。于点A

ZPAO=90°

又，:ZP=30°

二ZAOP=60°

二/BOC=T20。

；AB=4

OB=2

120万x24万

...弧BC的长=

180

4

故答案为一万.

3

【点睛】考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

15.在汝AACB中，NACB=90°,N8=30°,BC=26，以C为圆心，AC长为半径画弧，交A3于

点。，交8c于点E,以E为圆心，CE长为半径画弧，交AB于点F.交弧AE于点G,则图中阴影部分的

面积为.

【答案】兀-下）

【分析】连接CG、GE,通过观察图形得到S阴影=S扇形GCO+S扇形GEC-S^EG，分别求出每块面积即可.

【详解】

解：连接CG、GE,过点G作GHJ_CE于点”

观察图形可以的得到S阴影=5扇形GCO+S扇形GEC-S&CEG>

AAC=2,AB=4,ZBAC=60°

由题意可知，CD=CG=CE=EG=2

•••△ACD为等边三角形，ACEG为等边三角形

**•AC=CD=AD=2

...BD=CD=2

，ZDCE=NDBC=30。

：.ZGCD=30°

在△CEG中，CG=CE=EG=2,GH=—CE=^

2

•c_30^x22_n

扇形G8=』r=§

_60%x22_2%

扇形。氐-360一V

SMEG=；CEXGH=逝

,,S阴影=S扇形Ga>+S扇形GEC_kCEG=兀_0

故答案为万一班.

【点睛】考查了勾股定理、三角形和扇形面积的计算，将阴影部分表示成规则图形的面积是解题的关键.

16.如图，在用AACB中，ZACB=9Q°,48=30°,8。=4豆，以点C为圆心，AC的长为半径画

弧，分别交AB，BC于点、D,E,以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交A3于点尸，交舛七于点G,

则图中阴影部分的面积为.

【答案】4万-40

【分析】

连接CG,EG,则阴影部分的面积为S扇形。后。-SMEG+S扇形we，计算即可.

【详解】

如图，连接CG,EG,

vZACB=90°.ZB=30°.BC=4币,

：.AC=CG=CD=CE=EG=4,ZA=60°,

：.AACD是等边三角形，△CEG是等边三角形,

ZGCD=ZDCE=30°,ZGCE=60°,

,阴影部分的面积为：

S扇形CEG-SACEG+S扇形DCG

60x乃X4[14X4X3+30X"42

36022360

=4乃-4百.

故答案为：4万一4g.

【点睛】考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，拱形的面积，熟练运用扇形

的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键.

三、解答题

17.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，AABO的三个

顶点坐标分别为4(-1,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)画出AABO关于x轴对称的AAG。，并写出点A的坐标；

(2)画出AABO绕点O顺时针旋转90°后得到的V&与O,并写出点&的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点&所经过的路径长(结果保留万).

【答案】(1)见解析，同(-1,一3)；⑵见解析，4(3,1)；(3)巫兀

2

【分析】

(1)分别作出点4、8关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点A1的坐标；

(2)根据旋转的性质分别作出点A、8绕点。旋转90。的点，然后依次连接，最后根据图象可得点儿的坐

标；

(3)由(2)可先根据勾股定理求出OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解.

【详解】

解：(1)如图所示：即为所求,

•••由图象可得4（-1,一3）；

（2）如图所示：V4B2。即为所求，

二由图象可得4（3,1）；

（3）由（2）的图象可得：点A旋转到点为所经过的路彳仝为圆弧,

OA-A/32+12=V10'

n7ur90x

.••点A旋转到点4所经过的路径长为I

Tso180~2

【点睛】考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计

算公式是解题的关键.

18.如图1,四边形A8CO内接于O。，AO为直径，过点C作CELAB于点E，连接AC.

图1图2

(1)求证：NCAD=ZECB；

（2）若CE是。。的切线，ZG4D=30°,连接0C，如图2.

①请判断四边形A8CO的形状，并说明理由；

②当A8=2时，求A£>,AC与CO围成阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析；（2）四边形A8C0是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为g+：力.

【分析】

（1）利用圆内接四边形的性质证得再利用圆周角的性质证得/。+/。。=90°,即可证明

ZCAD=ZECB；

（2）①利用切线的性质得到。CLEC,从而证明OC〃AE,再证明NBAO=/EBC=60。，推出BC〃A。，即

可证明四边形ABCO是菱形:②先计算S^=V3,再利用扇形的面积公式计算S扇形0。=60靠2=g万，

AOC

即可求得阴影部分的面积.

【详解】

（1）证明：：四边形ABCO内接于。O,

：.ZD+ZABC=1SO°,

'：NEBC+/A8C=180。，

，ZD=ZEBC,

为（DO直径，

NA8=9（）。，

：.ZD+ZCAD=90°,

'：CELAB,

；.NECB+NEBC=90°,

/.ZCAD=ZECB；

（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下:

・・・。石是。。的切线，

:.OCLEC,

V4B1EC,

：.ZOCE=ZE=9Q0,

.'.ZOCE+ZE=180°,

JOC//AE,

：.ZACO=ZBAC,

・；OA=OC,

：.ZACO=ZCAD,

BAC=/CAD,

'：ZCAD=ZECBfZCAD=30°,

・•・ZEBC=90°-30°=60°,

/.ZBAO=ZEBC=60°,

:・BC〃AO,

・・・四边形ABCO是平行四边形，

VOA=OC,

・••四边形ABCO是菱形；

②：四边形ABCO是菱形，

.t.AO=AB=2,AD=4,

,：ZCAD=30°,

：.CD=^-AD=2,AC=2百,

过点C作CF±AD于点F,

E

：.CF=y/3,

.,•%"=；x2xg=5

OC//AE,

：./£)OC=/R4O=60°,

_60%x22__2

扇形。co-360一铲,

...阴影部分的面积为6+2%.

3

【点睛】考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形

面积的求法是解答此题的关键.

19.如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A,B,C的

坐标分别为A(-2,-1),5(-5,-2),C(-l,-3).

（1）将AABC向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，画出平移后得到的"gG，并直接

写出点4的坐标；

（2）将AABC绕着原点。逆时针旋转90。后得到△儿与&.

①画出旋转后的△